Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 6: Aplicaciones de la Integración

Transcripción

1 por Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 6: de la Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico

2 Esquema por 1 por 2

3 Esquema por 1 por 2

4 por Al contrario de lo que ocurre con las derivadas, no hay algoritmos que permitan calcular cualquier integral que podamos plantear. Hay una serie de métodos que permiten calcular integrales en ciertos casos. Estos métodos son bastante generales y permiten calcular muchas de las integrales que nos encontramos en la práctica. A continuación revisaremos algunos de ellos. Es importante recalcar, sin embargo, que no todas las funciones continuas definidas en un intervalo cerrado tienen una primitiva que se pueda escribir en términos de las funciones elementales.

5 por Método de A partir de la regla de la cadena para las derivadas podemos introducir un primer método de integración que se conoce como el método de sustitución o de cambio de variable Comenzamos considerando el caso de la integral indefinida. Sea g una función derivable y sea F una primitiva de f, entonces f (g(x)) g (x) dx = F(g(x)) + C.

6 por La manera de utilizar el resultado anterior es la siguiente. En una integral del tipo f (g(x)) g (x) dx hacemos el cambio de variable u = g(x), de modo que du/dx = g (x) y du = g (x)dx. La integral inicial se transforma en f (g(x)) g (x)dx = f (u) du = F(u) + C = F (g(x)) + C.

7 por Ejemplo Calcule x sen(x 2 ) dx. Usamos la sustitución u = x 2 y entonces du = 2x dx 1 x sen(x 2 ) dx = 2 sen(x 2 ) 2x dx = 1 sen u du = cos u + C = 1 2 cos(x 2 ) + C.

8 por Ejemplo Calcule x sen(x 2 ) dx. Usamos la sustitución u = x 2 y entonces du = 2x dx 1 x sen(x 2 ) dx = 2 sen(x 2 ) 2x dx = 1 sen u du = cos u + C = 1 2 cos(x 2 ) + C.

9 por En el caso de las integrales definidas tenemos la siguiente versión del método de sustitución. Sea g una función con derivada continua en [a, b] y sea f una función continua en el rango de g, entonces b a donde u = g(x). f (g(x)) g (x) dx = g(b) g(a) f (u) du

10 por Ejemplo Calcule 1 0 x + 1 (x 2 + 2x + 6) 2 dx. Hacemos el cambio de variable u = x 2 + 2x + 6, de modo que du = (2x + 2)dx = 2(x + 1)dx y vemos que cuando x = 0, u = 6 y cuando x = 1, u = 9. Por lo tanto 1 0 x + 1 (x 2 + 2x + 6) 2 dx = = = 1 18 ( (x + 1) (x 2 + 2x + 6) 2 dx ( u 2 du = 1 2u ) =

11 por Ejemplo Calcule 1 0 x + 1 (x 2 + 2x + 6) 2 dx. Hacemos el cambio de variable u = x 2 + 2x + 6, de modo que du = (2x + 2)dx = 2(x + 1)dx y vemos que cuando x = 0, u = 6 y cuando x = 1, u = 9. Por lo tanto 1 0 x + 1 (x 2 + 2x + 6) 2 dx = = = 1 18 ( (x + 1) (x 2 + 2x + 6) 2 dx ( u 2 du = 1 2u ) =

12 por Ejemplo Calcule π 2 /4 π 2 /9 cos x x dx. Hacemos el cambio de variable u = x, de modo que du = dx/(2 x) y vemos que cuando x = π 2 /9, u = π 2 /9 = π/3 y cuando x = π 2 /4, u = π/2. Por lo tanto π 2 /4 π 2 /9 cos x x dx = 2 = 2 π 2 /4 π 2 /9 π/2 π/3 = 2 3. cos x 1 2 x dx ( cos u du = 2 sen u π/2 π/3

13 por Ejemplo Calcule π 2 /4 π 2 /9 cos x x dx. Hacemos el cambio de variable u = x, de modo que du = dx/(2 x) y vemos que cuando x = π 2 /9, u = π 2 /9 = π/3 y cuando x = π 2 /4, u = π/2. Por lo tanto π 2 /4 π 2 /9 cos x x dx = 2 = 2 π 2 /4 π 2 /9 π/2 π/3 = 2 3. cos x 1 2 x dx ( cos u du = 2 sen u π/2 π/3

14 por por Método de por Este método se basa en la regla de derivación para productos de funciones: Si f, g son funciones diferenciables D x (fg) = g(x)d x (f ) + f (x)d x (g). A partir de esta ecuación obtenemos f (x)d x g = D x (fg) g(x)d x f. Si integramos ahora obtenemos f (x) dg dx = f (x)g(x) dx g(x) df dx dx.

15 por por Si ponemos u = f (x) y v = g(x) podemos escribir la fórmula anterior como u dv = uv v du

16 por Ejemplo Halle la integral por log x dx. Ponemos u = log x y v = x. Entonces du = (1/x)dx y dv = dx. Por lo tanto log x dx = u dv = uv v du = x log x 1 dx = x log x x.

17 por Ejemplo Halle la integral por log x dx. Ponemos u = log x y v = x. Entonces du = (1/x)dx y dv = dx. Por lo tanto log x dx = u dv = uv v du = x log x 1 dx = x log x x.

18 por por Ejemplo Halle e x sen x dx. Ponemos u = e x y dv = sen x dx. Entonces du = e x dx y v = cos x Si llamamos I a la integral que queremos calcular tenemos I = e x cos x e x cos x dx = e x cos x + e x cos x dx. La integral en el segundo sumando es similar a la integral con la que iniciamos, así que parece que no hemos avanzado mucho.

19 por por Ejemplo Halle e x sen x dx. Ponemos u = e x y dv = sen x dx. Entonces du = e x dx y v = cos x Si llamamos I a la integral que queremos calcular tenemos I = e x cos x e x cos x dx = e x cos x + e x cos x dx. La integral en el segundo sumando es similar a la integral con la que iniciamos, así que parece que no hemos avanzado mucho.

20 por por Volvemos a usar integración por partes para calcular la segunda integral. Ponemos t = e x dx y dz = cos x dx. Entonces dt = e x dx y z = sen x. La segunda integral es t dz = e x sen x e x sen x dx y vuelve a aparecer la integral inicial I pero con un signo menos. Por lo tanto I = e x sen x e x cos x I

21 por por En consecuencia 2I = e x sen x e x cos x y I = 1 2 ex (sen x cos x).

22 Esquema por 1 por 2

23 por Un espacio de probabilidad es un trío de objetos matemáticos que tienen como objetivo modelar un experimento aleatorio, es decir, un experimento en el cual el resultado no puede predecirse. El primer objeto de este trío es el espacio muestral, que es un conjunto que contiene todos los resultados posibles del experimento. La notación usual para este espacio es Ω. Sus elementos se conocen como los eventos elementales y los denotamos por ω.

24 por El segundo elemento es una colección de subconjuntos de Ω, que se conocen como eventos, y que satisfacen las dos condiciones siguientes: 1 Si A Ω es un evento, entonces su complemento A c = Ω A también es un evento. 2 Si A 1, A 2,... es una colección numerable de eventos, entonces su unión n 1 A n también es un evento. La colección de eventos la denotaremos por F.

25 por El tercer elemento para el modelo es la probabilidad. Esta es una función que a cada evento A F le asocia un número entre 0 y 1 y satisface las siguientes condiciones: 1 0 P(A) 1, P(Ω) = 1. 2 Si A n, n 1 es una colección de eventos disjuntos entonces P( n 1 A n ) = n 1 P(A n ). A la colección (Ω, F, P) la llamamos Espacio de.

26 por Ejemplo Si lanzamos una moneda al aire tenemos dos resultados posibles, Aguila (A) y Sol (S). Podemos tomar como espacio muestral al conjunto que contiene estas dos letras: Ω = {A, S}. Si no tenemos razón para suponer que la moneda no es balanceada, asignamos a cada uno de estos resultados la misma probabilidad. Por lo tanto P(A) = P(S) = 1 2

27 por Una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad que toma valores reales. Es usual denotar las variables aleatorias por letras mayúsculas, como X, Y o Z y a sus valores por letras minúsculas, como x, y o z. En el ejemplo del lanzamiento de una moneda al aire, podemos asignar a Sol el valor 1 y a Aguila el valor 0, por ejemplo: X(S) = 1, X(A) = 0.

28 por A los valores de una variable aleatoria les podemos asociar una probabilidad, que se conoce como la distribución de la variable aleatoria, y que denotaremos por P X. Si I es un intervalo de números reales, la probabilidad asociada a este intervalo es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores en él: P X (I) = P(X I) = P({ω : X(ω) I})

29 por Una variable aleatoria es discreta si toma una cantidad finita o numerable de valores. La distribución de una variable aleatoria discreta se describe a través de su función de probabilidad: Si los valores de la variable son x 1, x 2,..., la función de probabilidad es una colección de números reales p 1, p 2,... que satisfacen p i 0, p 1 + p 2 + = 1 y P(X = x i ) = p i.

30 por Ejemplo Lanzamos un dado y llamamos X al resultado del lanzamiento. X toma valores {1, 2, 3, 4, 5, 6} con probabilidad 1/6 para cada valor. La probabilidad de que el resultado sea par es P(X {2, 4, 6}) = 3 6 = 1 2

31 por Ejemplo Si consideramos un experimento con dos resultados posibles, como en el caso del lanzamiento de una moneda, siempre podemos asociarle una variable aleatoria que toma valores 0 y 1. En este caso existe un número p [0, 1] tal que P(X = 1) = p, P(X = 0) = q = 1 p. El valor 1 lo identificamos con un éxito en el experimento mientras que el valor 0 es un fracaso. Decimos que X es una variable aleatoria de Bernoulli con probabilidad de éxito p.

32 por Supongamos que realizamos n veces el experimento de manera independiente, es decir, que el resultado de cualquiera de las realizaciones no afecta el resultado del resto, y llamamos S n a número total de éxitos en los n ensayos. Si X i es el resultado del i-ésimo ensayo, entonces S n = X 1 + X X n. Cuál es la distribución de S n?

33 por Para hallar P(S n = k) tenemos que ver de cuántas maneras se pueden obtener k éxitos en n ensayos y luego multiplicar este número por la probabilidad de obtener k éxitos en n ensayos, en un orden particular. Para ver de cuantas maneras podemos obtener k éxitos observamos que tenemos n lugares para escoger dónde colocar los k éxitos. Esto lo podemos hacer de ( ) n k maneras distintas.

34 por Por otro lado la probabilidad de tener k éxitos y luego n k fracasos es p k q n k. Esta es la misma probabilidad de cualquier orden particular. Así ( ) n P(S n = k) = p k (1 p) n k k Esta distribución se conoce como la distribución binomial con parámetros n y p.

35 por Antes de entrar a considerar variables continuas debemos introducir dos conceptos. El primero de ellos es el de la función de distribución. La función de distribución asociada a la variable aleatoria X, que denotamos por F X (x), se define como F X (x) = P(X x) F X (x) es una función definida sobre los números reales que toma valores en [0, 1].

36 por Propiedades de las Funciones de Distribución. 1 Las funciones de distribución son crecientes (en sentido débil): x < y F X (x) F X (y). 2 Las funciones de distribución son continuas por la derecha y tienen límites por la izquierda. 3 lim x + F X (x) = 1, lim F X (x) = 0. x Es posible demostrar que si una función F tiene estas tres propiedades entonces es la función de distribución de una variable aleatoria X.

37 por Propiedades de las Funciones de Distribución. 1 Las funciones de distribución son crecientes (en sentido débil): x < y F X (x) F X (y). 2 Las funciones de distribución son continuas por la derecha y tienen límites por la izquierda. 3 lim x + F X (x) = 1, lim F X (x) = 0. x Es posible demostrar que si una función F tiene estas tres propiedades entonces es la función de distribución de una variable aleatoria X.

38 por El otro concepto fundamental que necesitamos es el de valor esperado o esperanza de una variable aleatoria, que corresponde al concepto empírico de promedio. Si una variable aleatoria X toma valores x 1, x 2,... con probabilidades respectivas p 1, p 2,..., definimos su valor esperado E(X) como E(X) = p 1 x 1 + p 2 x x n p n + = x n p n n=1 En el caso finito esto es simplemente el promedio de los valores pesados por su probabilidad respectiva.

39 por Ejemplos En el caso de una variable X de Bernoulli con probabilidad de éxito p tenemos E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p. En el caso de un dado, los valores posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con l probabilidad 1/6. Por lo tanto E(X) = 1 21 ( ) = 6 6 = 3.5 Observamos en ambos casos que el valor esperado de las variables no es un valor que la variable puede tomar.

40 por Hasta ahora hemos supuesto que los valores que puede tomar una variable aleatoria están en un conjunto finito o numerable, pero en muchas ocasiones este no es el caso. Por ejemplo, si medimos el tiempo de vida de un componente electrónico, la velocidad de un cometa, la dirección del viento o el voltaje de un circuito, el resultado puede estar en un conjunto que no es numerable. Así como las distribuciones de probabilidad de las variables discretas se describen a través de una función de probabilidad, en el caso de una variable continua necesitamos función de densidad.

41 por Una (función de) densidad es una función f definida sobre el conjunto de valores de X que satisface dos condiciones: 1 f (x) 0 para todo x. 2 f (x) dx = 1. Si tenemos un intervalo [a, b] R P(X [a, b]) = b a f (x) dx. La función de distribución de la variable X es F X (x) = P(X x) = x f (t) dt

42 por Ejemplo: La Distribución Uniforme Consideremos una variable que toma valores en el intervalo [0, 1] con densidad constante f (x) = k. Como la integral de la densidad debe valer 1 y la integral corresponde al área bajo la densidad, que es el área de un rectángulo de base 1, la altura también debe ser igual a 1. Por lo tanto la densidad es la función { 1 si 0 x 1 f (x) = 0 en otro caso.

43 por Si 0 < a < b < 1, la probabilidad de obtener un valor de la variable en [a, b] está dada por P(X [a, b]) = b a f (x) dx = b a, es decir, es igual a la longitud del intervalo. La función de distribución de esta variable está dada por F X (x) = P(X x) = x 0 si x 0, = x si 0 x 1, 1 si x 1. f (t) dt

44 por Si 0 < a < b < 1, la probabilidad de obtener un valor de la variable en [a, b] está dada por P(X [a, b]) = b a f (x) dx = b a, es decir, es igual a la longitud del intervalo. La función de distribución de esta variable está dada por F X (x) = P(X x) = x 0 si x 0, = x si 0 x 1, 1 si x 1. f (t) dt

45 por Densidad Uniforme x Distribucion Uniforme x

46 por Una variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo [a, b] si su densidad está dada por { 1 f (x) = b a si a x b, 0 en otro caso. La función de distribución es, en este caso 0 si x a, F X (x) = x a b a si a x b, 1 si x b.

47 por Una variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo [a, b] si su densidad está dada por { 1 f (x) = b a si a x b, 0 en otro caso. La función de distribución es, en este caso 0 si x a, F X (x) = x a b a si a x b, 1 si x b.

48 por Ejemplo: La Distribución Exponencial Una variable X tiene distribución exponencial si toma valores en [0, ) y tiene densidad { λe λx si x 0, f (x) = 0 en otro caso, donde λ > 0 es el parámetro de la distribución. La función de distribución de esta variable está dada por x F X (x) = P(X x) = f (t) dt { 0 si x 0, = 1 e λx si x 0.

49 por Ejemplo: La Distribución Exponencial Una variable X tiene distribución exponencial si toma valores en [0, ) y tiene densidad { λe λx si x 0, f (x) = 0 en otro caso, donde λ > 0 es el parámetro de la distribución. La función de distribución de esta variable está dada por x F X (x) = P(X x) = f (t) dt { 0 si x 0, = 1 e λx si x 0.

50 por f(x) Densidad Exponencial x Distribucion Exponencial f(x) x

51 por Ejemplo: La Distribución de Cauchy Demuestre que f (x) = 1 π(1 + x 2 ) para x R es una densidad de probabilidad. Tenemos que verificar dos condiciones: que la función es positiva y que su integral vale 1. La primera es sencilla. Para la segunda recordamos que D x arctan x = x 2

52 por Ejemplo: La Distribución de Cauchy Demuestre que f (x) = 1 π(1 + x 2 ) para x R es una densidad de probabilidad. Tenemos que verificar dos condiciones: que la función es positiva y que su integral vale 1. La primera es sencilla. Para la segunda recordamos que D x arctan x = x 2

53 por Por lo tanto b a 1 π(1 + x 2 ) dx = 1 (arctan b arctan a) π y si hacemos ahora a y b + obtenemos que 1 ( lim π arctan b b ) lim arctan a = 1 ( π a π 2 + π ) = 1. 2 arctan(x) x

54 por Densidad de Cauchy f(x) x Distribucion de Cauchy f(x) x

55 por Si f es una función no negativa en R que tiene integral finita, podemos usarla para definir una densidad de probabilidad. Llamemos entonces la función K = f (x) dx < g(x) = 1 K f (x) es una densidad de probabilidad porque es no-negativa y su integral vale 1.

56 por Ejemplo: La Distribución Normal o Gaussiana Veamos que f (x) = e x 2 /2, para x R es una función no-negativa e integrable, que por lo tanto puede normalizarse para definir una densidad de probabilidad. En lugar de calcular esta integral sólo demostraremos que es convergente. Esto es suficiente para saber que existe una constante que normaliza esta función para que sea una densidad.

57 por En primer lugar observamos que la función f es simétrica porque f ( x) = e ( x)2 /2 = e x 2 /2 = f (x) y en consecuencia basta demostrar que la integral existe. 0 e x 2 /2 dx Observamos inicialmente que e x 2 /2 en [0, ) es una función decreciente que alcanza su máximo en x = 0. El máximo valor de la función es 1.

58 por f(x) x

59 por Tenemos 0 e x 2 /2 dx = 1 0 < 1 + e x 2 /2 dx + 1 e x/2 dx 1 e x 2 /2 dx = 1 + ( 2e x/2 1 = e Por lo tanto e x 2 /2 dx existe. Es posible demostrar que el valor de esta integral es 2π.

60 por La densidad ϕ(x) = 1 2π e x 2 /2, para x R se conoce como la densidad normal o Gaussiana típica o estándar. Su función de distribución es Φ(x) = x ϕ(t) dt

61 por f(x) Densidad Normal x Distribucion Normal f(x) x

62 por Ejemplo: La Distribución Gamma Veamos que la función f (x) = Cλ α x α 1 e λx, para x > 0, define una densidad de probabilidad si escogemos la constante C adecuadamente. La primera condición es que la función f sea positiva, lo cual es cierto. Falta ver que f es integrable. De nuevo, no vamos a calcular la integral sino a demostrar que la integral existe.

63 Veamos primero que por lim x α 1 e λx = 0. x Si α 1 entonces tanto x α 1 como e λx van a 0 cuando x. Si α > 1 tenemos que x α 1 y e λx 0 por lo que el límite es una indeterminación. Para usar L Hôpital escribimos lim x α 1 e λx x α 1 = lim x x e λx Ahora tenemos una indeterminación de tipo / y podemos derivar numerador y denominador para hallar el valor del límite.

64 por Observamos que al derivar el numerador, la potencia α 1 desciende una unidad y aparece un factor igual a la potencia. D n x x α 1 = (α 1)(α 2) (α n)x α 1 n En cambio, cada vez que derivamos el denominador aparece un factor igual a λ que multiplica la exponencial inicial. D n x e λx = λ n e λx Por lo tanto, para hallar el límite derivamos numerador y denominador tantas veces como sea necesario para obtener una potencia negativa en el numerador.

65 por Si k = [α] es el mayor entero menor o igual que α, derivando k veces obtenemos Dx k x α 1 lim x Dx k e λx = lim x (α 1)(α 2) (α k)x α 1 k λ k e λx y ahora el numerador va a 0 mientras que el denominador va a infinito, y el cociente converge a 0. Por lo tanto lim x α 1 e λx = 0. x

66 por Cambiando λ por λ/2 obtenemos x α 1 e λx/2 0 cuando x. Por el límite anterior existe m < tal que para x > m x α 1 e λx/2 < 1. Por lo tanto, para b > m, b 0 x α 1 e λx dx = < = m 0 m 0 m 0 = C 1 b x α 1 e λx dx + x α 1 e λx dx + m b m x α 1 e λx/2 e λx/2 dx e λx/2 dx x α 1 e λx dx + (2/λ)e λm/2

67 por Por lo tanto la integral 0 λ α x α 1 e λx dx existe y tiene un valor finito que llamaremos A. Si ponemos C = 1/A entonces f (x) = Cλ α x α 1 e λx, para x > 0, define una densidad de probabilidad, que corresponde a la distribución Gamma con parámetros α y λ.

68 por Definimos la función Gamma por Γ(α) = 0 λ α x α 1 e λx dx = 0 u α 1 e u du. La densidad de la distribución Gamma es ahora f (x) = 1 Γ(α) λα x α 1 e λx, para x > 0, Si α es un entero positivo, integrando por partes se obtiene que Γ(n) = (n 1)!.

69 por En el caso particular λ = 1/2 y α = n/2 para n N, f (x) = 1 2 n/2 Γ(n/2) x n 2 1 e x/2 que se conoce como la densidad Ji-cuadrado con n grados de libertad y se denota χ 2 n.

70 por Definición Sea X una variable aleatoria con densidad f. Si x f (x) dx < entonces X tiene esperanza o valor esperado E(X) definido por E(X) = xf (x) dx También se usa la notación µ o µ X para el valor esperado de X.

71 por Ejemplo: Distribución Uniforme Sea X una v.a. con distribución uniforme en (a, b), con densidad f (x) = 1 para a < x < b b a y f (x) = 0 en otro caso. Entonces b 1 E(X) = xf (x) dx = a b a x dx = 1 [ x 2 b b a 2 = b2 a 2 a 2(b a) = b + a 2.

72 por Ejemplo: Distribución Exponencial Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro λ, con densidad f (x) = λe λx para x > 0 y f (x) = 0 en otro caso. Entonces, integrando por partes E(X) = xf (x) dx = λxe λx dx 0 [ = xe λx + e λx 0 0 [ = λ 1 e λx = 1/λ. 0

73 por Ejemplo: Distribución Normal Sea X una v.a. con distribución normal típica, con densidad f (x) = 1 2π e x 2 /2 para x R. Entonces E(X) = xf (x) dx = 1 2π xe x 2 /2 dx Antes de calcular esta integral vamos a demostrar un resultado general sobre integración de funciones pares e impares.

74 por Recordemos la definición. Una función es par si f ( x) = f (x) y es impar si f ( x) = f (x), para todo x R. Teorema (a) Si f es una función par, para cualquier a > 0, 0 a En consecuencia a a f (x) dx = f (x) dx = 2 a 0 a 0 f (x) dx. f (x) dx.

75 por (b) Si f es una función impar, para cualquier a > 0, 0 a f (x) dx = a 0 f (x) dx. En consecuencia a a f (x) dx = 0.

76 por Demostración. En la integral 0 a f (x) dx hacemos el cambio de variable y = x, dy = dx y obtenemos 0 a 0 f (x) dx = = a a 0 f ( y) dy f ( y) dy.

77 por Si f es par, tenemos a 0 f ( y) dy = a 0 f (y) dy. Si, en cambio, f es impar, a 0 f ( y) dy = a 0 f (y) dy.

78 por Ahora podemos usar este resultado para calcular la esperanza de una v.a. Gaussiana típica. Observamos que la densidad ϕ(x) = 1 2π e x 2 /2 es una función par, y si la multiplicamos por x obtenemos una función impar. Por lo tanto, para cualquier a > 0 0 a 1 a xe x 2 /2 1 dx = xe x 2 /2 dx 2π 0 2π

79 por Si hacemos a obtenemos 0 1 2π xe x 2 /2 dx = 0 1 2π xe x 2 /2 dx y en consecuencia xϕ(x) dx = 0 xϕ(x) dx + Es decir, E(X) = 0 0 xϕ(x) dx = 0

80 por Ejemplo: Distribución de Cauchy La densidad de Cauchy es f (x) = 1 π(1 + x 2 ), para x R que también es una densidad par. Por lo tanto, podríamos esperar que, al igual que en el caso Gaussiano, el valor esperado sea 0, pero en este caso el valor esperado no existe, porque la integral no converge. 0 x π(1 + x 2 ) dx

81 por Como el integrando es positivo en (0, ), 0 x π(1 + x 2 ) dx 1 x π(1 + x 2 ) dx Para x [1, ), 1 x 2 y en consecuencia 1 x π(1 + x 2 ) dx = 1 1 x π(x 2 + x 2 ) dx x 2πx 2 dx = 1 2π = 1 2π lim log(b) =. b 1 1 x dx

82 por Definición Si X es una variable aleatoria con densidad f, y k N, el momento de orden k de X es E(X k ) = x k f (x) dx, siempre que la integral exista. El momento centrado de orden k de X es E((X E(X)) k ) = siempre que la integral exista. (x µ X ) k f (x) dx

83 por Si k = 1, el momento de orden k no es más que el valor esperado. En momento centrado de orden 2 se conoce como la varianza de la variable aleatoria X, y es una medida de la dispersión o concentración de la densidad alrededor de la media. Usamos la notación σ 2 = σ 2 X = Var(X). La raíz cuadrada de la varianza se conoce como la desviación típica.

84 por La siguiente fórmula resulta muy útil para el cálculo de la varianza. Var(X) = E((X µ X ) 2 ) = E(X 2 2µ X X + µ 2 X ) = E(X 2 ) 2µ X E(X) + µ 2 X = E(X 2 ) µ 2 X

85 por Ejemplo: Distribución Uniforme Si X tiene distribución uniforme en (a, b) sabemos que µ X = (a + b)/2. Hallemos el segundo momento: E(X 2 ) = x 2 f (x) dx = 1 b a = 1 [ x 3 b b a 3 = 1 b 3 a 3 a 3 b a = a2 + ab + b 2 3 y la varianza es b a x 2 dx Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = a2 + ab + b 2 3 (b a)2 =. 12 (a + b)2 4

86 por Ejemplo: Distribución Exponencial Si X tiene distribución exponencial de parámetro λ > 0 sabemos que µ X = 1/λ. Hallemos el segundo momento integrando por partes dos veces: E(X 2 ) = x 2 f (x) dx = [ = x 2 e λx [ = 2 λ xe λx λ 0 x 2 λe λx dx 2xλe λx dx e λx dx y la varianza es = 2 λ 2 Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ 2

87 por Ejemplo: Distribución Normal Si X tiene distribución normal típica sabemos que µ X = 0. Por lo tanto la varianza es igual al segundo momento: E(X 2 ) = x 2 f (x) dx = x 2 1 2π e x 2 /2 dx = 2 x 2 e x 2 /2 dx = 2 x(xe x 2 /2 ) dx 2π 2π 0 [ = 2 xe x 2 /2 + 2 e x 2 /2 dx 2π 0 2π = y la varianza es 1 2π e x 2 /2 dx = Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 1.

88 por Supongamos que X es una v.a. con media µ y varianza σ 2. Veamos cuales son la media y varianza de la función Y = ax + b: E(Y ) = E(aX + b) = = a xf (x) dx + = a E(X) + b. (ax + b)f (x) dx bf (x) dx

89 por Var(Y ) = Var(aX + b) = E((aX + b E(aX b)) 2 ) = E((aX + b a E(X) b) 2 ) = E(a 2 (X E(X)) 2 ) = a 2 (x µ X ) 2 f (x) dx = a 2 (x µ X ) 2 f (x) dx = a 2 Var(X).

90 por La Distribución Normal Sea X una v.a. con distribución normal típica y ponemos Y = σx + µ. Entonces es posible demostrar que Y tiene densidad ϕ(x; µ, σ 2 ) = 1 2πσ exp( (x µ) 2 /(2σ 2 )) Por el resultado anterior tenemos que E(Y ) = µ, Var(Y ) = σ 2

91 por Decimos que Y tiene una distribución normal o Gaussiana con parámetros µ y σ 2. Usando transformaciones lineales podemos pasar de una distribución Gaussiana a otra. Por ejemplo, si Z tiene distribución normal de media µ y varianza σ 2, la variable X definida por X = Z µ σ tiene distribución normal típica.