Práctica 8 Series de Fourier

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1 MATEMATICA 4 - Análisis Matemático III Primer Cuatrimestre de 8 Práctica 8 Series de Fourier. (**) a) Verificar que f n (x) = { n si x n si x > n converge uniformemente a cero en R pero que (f n ) no converge a cero en media cuadrática. b) Verificar que f n (x) = nxe nx converge puntualmente a cero en [,] pero que (f n ) no converge en media cuadrática en [, + ). c) Mostrar que la convergencia en media cuadrática no implica la convergencia puntual.. Encontrar los valores A, A y A 3 de modo que la función y = A sen( x) + A sen(x) + A 3 sen( 3 x) sea la mejor aproximación (en media cuadrática) de la función f(x) = en (, ). 3. Sea F : R 3 R dada por F (a, b, c) = el punto donde F alcanza su mínimo. (x a b cos x c sen x) dx. Determinar 4. Sea f : [, ] C integrable y tal que se extiende a R con período. Sean c n (n Z), a n (n N ) y b n (n N) los coeficientes de su desarrollo de Fourier exponencial y trigonométrico, respectivamente. a) Calcular c n en función de a n y b n suponiendo que c n = c n y comprobar que esta relación se cumple cuando f(x) R para todo x R. b) A partir del desarrollo en serie de Fourier de f(x) obtener el de f( x). c) Si f p (x) y f i (x) son, respectivamente, las partes par e impar de f(x), obtener sus desarrollos en serie de Fourier a partir del de f(x). 5. a) Hallar la serie trigonométrica de Fourier de f : (, ) R para: { si < x < (i) f(x) = si < x (ii) f(x) = x (iii) f(x) = x 4

2 { si < x < (iv) f(x) = sen x si x < b) Usando (iii), calcular las sumas de las series: ( ) n+ n n n (n + ) c) Integrando la serie de Fourier de f(x) = x, x (, ), y extendiendo f por periodicidad a R, probar que: (i) ( ) n sen(nt) n 3 = t(t ) (ii) n 6 = a) A partir del desarrollo en serie de Fourier exponencial de la función eriódica que coincide con e x en (, ), calcular la suma de la serie: + n b) Obtener la serie de Fourier trigonométrica de la función dada en a), a partir del desarrollo en serie exponencial. 7. Si f(x) = sen x, x, probar que f(x) es la suma de su serie trigonométrica de Fourier en todo punto. 8. Sea f una función de período que en [, ] se define como f(x) = cos(ax) (a R). a) Desarrollar f en serie trigonométrica de Fourier y estudiar la convergencia puntual de la serie hacia la función. b) Calcular la suma de la serie: (n b ), b R Z. 9. Desarrollar en serie exponencial de Fourier f(x) = sen x, x. A partir de este desarrollo, obtener la serie trigonométrica de f.. a) Obtener la serie exponencial de Fourier de f(x) = e αeix, x, α C. b) Probar que: e α cos x dx = α n n!, α R. n. Si f(x) = x < x x < x = y f(x + ) = f(x) para todo x R hallar la serie trigonométrica de Fourier asociada y probar que converge a f(x) para todo x. 5

3 Sea f integrable en [, p] y tal que f(x + p) = f(x) para todo x R. a) Entonces, b) Si g(x) = x a+p f(t) dt = a p+x f(t) dt = p f(t)dt, entonces: g(x + p) = g(x) x f(t) dt para todo a R f(t) dt para todo a R f(t) dt =. Probar que si f es integrable y periódica: p p b n f(x)(p x) dx = nw donde b n es un coeficiente de Fourier de f y w = p. Sugerencia: usar el resultado anterior e integración por partes. 3. Obtener las series de senos y cosenos de Fourier correspondientes a las siguientes funciones definidas en (, ): { < x < a) f(x) = cos x b) f(x) = x c) f(x) = x < 4. Calcular el desarrollos en serie de Fourier de senos de f y estudiar la convergencia puntual de la serie hallada para x < a) f(x) = x = < x < b) f(x) = x ( x < ) 5. Sea f periódica e integrable. Se define: donde a = p F (t) = t f(x) dx at f(x) dx. Demostrar que F es periódica. 6. a) Probar que la serie + cos(nx) no es la serie de Fourier de ninguna función. n= b) Calcular la n ésima suma parcial de esta serie. 6

4 7. Sean f(x) = x en (, ) eriódica y g(x) = en (, ), también eriódica. a) Qué relación hay entre f y g? b) Calcular las series de Fourier de f y de g. c) Calcular la serie obtenida por diferenciación término a término de la serie de Fourier de f. Es la serie de Fourier de g? Converge? 8. Dadas f(x) = sen x y g(x) = cos x en (, ), sean: S(x) = 4 cos(nx) 4n T (x) = 8 n. sen(nx) 4n los desarrollos de Fourier en serie de cosenos y senos, respectivamente, de f y de g. a) Se puede afirmar que f(x) = S(x) y que g(x) = T (x)? b) Es lícito obtener T (x) derivando término a término S(x)? c) Es lícito obtener S(x) derivando término a término T (x)? Sugerencia: graficar las extensiones de f y de g a R. 9. Sea g : R R eriódica dada por: x x < g(x) = x x < x x < Sea f(x) = b n sen((n + )x) convergente para todo x R. Probar que si f(x) = g(x) para todo x (, ), entonces f = g.. Sean f, g : R R, eriódicas, dadas por: f(x) = x en [, ) y g(x) = x en [, ) a) Calcular los desarrollos en serie trigonométrica de Fourier de f y de g y estudiar la convergencia puntual de dichas series. b) Determinar la función h(x) sabiendo que es la suma de la serie 4 n sen((n + )x) n + y comprobar el resultado calculando los coeficientes de Fourier de h.. Desarrollar sen 5 t en serie trigonométrica de Fourier sin calcular expresamente los coeficientes. Sugerencia: escribir el seno en términos de la exponencial y usar el binomio de Newton. 7

5 . Desarrollar en serie de Fourier las funciones: f(t) = e r cos t cos(r sen t) g(t) = e r cos t sen(r sen t) h(t) = re it < r <. Separación de variables 3. Hallar los autovalores y las autofunciones de los siguientes problemas: a) u + λu =, para < x < y con las siguientes condiciones de contorno: i) u() = u() = ii) u () = u () = iii) u() = u () = b) u + λu =, < x <, u( ) = u() y u ( ) = u () 4. Usando separación de variables resolver: a) u x 4 u y =, u(, y) = 8e 3y. b) u t u =, < x <, t >. x u(, t) = u(, t) =, u(x, t) < M, u(x, ) = 5 sen(4x) 3 sen(8x) + sen(x). c) u t u x =, u (, t) =, u(, t) =, x ( ) ( ) 3x 9x u(x, ) = 8 cos 6 cos. 4 4 d) u t u κ = < x <, t >. x u(x, ) = x( x), u(, t) = u(, t) =, donde κ es una constante positiva. 8