PRÁCTICA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER

Transcripción

1 PRÁCTICA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER Ejercicio. Teorema de la integral de Fourier: sea f una función casi continua en todo intervalo finito del eje x tal que existe la f(x) dx ; sea f (x) la función definida en R por el valor 2 f(x + )+f(x ) ] Entonces en cada punto x R donde existen las derivadas unidireccionales f D y f I se cumple la fórmula de Fourier: Nota: y f (x) = lím β 2π = 2π β β e iωx f(x)e iωx dx dω = e iωx f(x)e iωx dx dω f(x + ) = lím h + f(x + h) f(x ) = lím h f(x + h) f D (x) = lím h + f(x+ +h) f(x + ) h f I (x) = lím h f(x +h) f(x ) h Obtenga de dicha representación la siguiente Y llamando f (x) = lím ω π = π ω A(ω) = π B(ω) = π obtenga la representación f(x) cos ω(α x) dα dω = f(α) cos ω(α x) dα dω f(α) cos ωα dα f(α) sin ωα dα f (x) = ] A(ω) cos ωx + B(ω) sin ωx dω π Suponga ahora que f es par y obtenga la representación: f (x) = 2 π cos ωt f(t) cos ωt dt dω Suponga ahora que f es impar y obtenga la representación: f (x) = 2 π sin ωt f(t) sin ωt dt dω

2 Suponga ahora una función casi continua f definida en R + existe f(x dx y sea f la función definida como f (x) = f(x + ) + f(x ) ] 2 tal que y efectuando las extensiones par e impar de la misma, obtenga las representaciones: () f (x) = 2 π donde F c (ω) = cos ωx es la transformada coseno de f(x) y (2) f (x) = 2 π donde F s (ω) = sin ωx es la transformada seno de f(x). f(x) cos ωx dx dω f(x) cos ωx dx f(x) sin ωx dx dω f(x) sin ωx dx Ejercicio 2. Muestre que el problema. X (x) + λx = x > X() = ; X(x) < M x > tiene por soluciones las funciones X(x) = sin λx con λ > Poniendo λ = ω queda X(x) = sin ωx y la superposición generalizada de esas funciones, que tambien es solución del problema, es (2). 2. Idem el problema X (x) + λx = x > X () = ; X(x) < M x > tiene por soluciones las funciones X(x) = cos λx. Poniendo λ = ω queda X(x) = cos ωx y la superposición generalizada de esas funciones, que tambien es solución del problema, es () Ejercicio 3. Sea f(t) = t < a/2 t > a/2. Hallar su T.F. 2. Escribir la función f (x) definida en el ejercicio ) 3. Calcular sin x dx x 2

3 Ejercicio 4. Sea m R + y. Hallar su T.F. 2. Demostrar que 3. Calcule 4. Calcule f (x) = π dx +x 2 cos x dx +x 2 Ejercicio 5. Sea β R + f(x) =. Hallar su T.F. 2. Demostrar que x R e β x = 2β π e mx x > x < m cos ωx + ω sin ωx m 2 + ω 2 f(x) = e β x cos ωx β 2 + ω 2 dω Ejercicio 6. Hallar la T.F, la transformada coseno y la transformada seno de la función f(t) = u(t + a/2) u(t a/2)] cos t y las correspondientes funciones f, siendo a R + Ejercicio 7. Demostrar, suponiendo que se cumplen las hipotesis que crea necesarias, que:. si F s {f(x)} = F s (ω), entonces: F s {f (x)} = ω 2 F s (ω) ωf() 2. si F c {f(x)} = F c (ω), entonces: F c {f (x)} = ω 2 F c(ω) ωf () Ejercicio 8. Calcular la transformada de Fourier de e αx2 con α > Rta. π α e ω 2 4α Ejercicio 9. Hallar la antitransformada de Fourier de. F (ω) = (+ω) 2 2. F (ω) = (+iω)(2+iω) Ejercicio. Utilice la transformada de Fourier para resolver el problema de la la barra infinita aislada con temperatura inicial f(x) u t(x, t) = ku xx (x, t) < x < t > u(x, ) = f(x) < x < u(x, t) < M < x < t > 3 dω

4 Ejercicio. Utilice la transformada seno de Fourier para resolver el problema de la la barra semiinfinita aislada con temperatura inicial f(x) y el extremo en x = fijo u t (x, t) = ku xx (x, t) < x < t > u(x, ) = f(x) < x < u(, t) = t > u(x, t) < M < x < t >. Explique porqué este problema es equivalente a resolver la ecuación del calor en un semiplano (sólido semiinfinito) donde la cara izquierda se mantiene a cero grados centígrados y la temperatura inicial del sólido sólo depende de x (flujo unidimensional: podemos considerar el flujo de calor independiente de x). u t (x, t) = ku xx (x, t) x > < y < t > u(, t) = t > u(x, ) = f(x) < x < u(x, t) < M < x < < y < t > Idem para el problema: u t (x, t) = ku xx (x, t) x > < y < b t > u(, t) = t > u y (x, ) = u y (x, b) = x > < y < b u(x, ) = f(x) < x < u(x, t) < M < x < < y < b t > Ejercicio 2. Utilice la transformada de Fourier para resolver el problema de la la cuerda infinita con posición inicial f(x) y velocidad inicial nula: y tt (x, t) = a 2 y xx (x, t) < x < t > y(x, ) = f(x) < x < y t (x, ) = < x < t > y(x, t) < M < x < t > Ejercicio 3. Utilice la transformada de Fourier para resolver el problema de la la cuerda infinita con posición inicial f(x) = y velocidad inicial g(x): y tt (x, t) = a 2 y xx (x, t) < x < t > y(x, ) = < x < y t (x, ) = g(x) < x < t > y(x, t) < M < x < t > 4

5 Ejercicio 4. Utilice la transformada de Fourier para resolver la ecuación de Laplace en el semiplano: v xx + v yy = y > < x < v(x, ) = f(x) < x < y > v(x, t) < M 5