Transformadas de Laplace

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1 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > Algunas definiciones previas Transformadas de Laplace En general vamos a definir una transformación integral, F (s), de una función, f(t) como F (s) = b a K (s, t) f(t)dt = T {f(t)} () donde K (s, t) es una función conocida de s y t, denominada el núcleo de la transformación Si a y b son finitos la transformación se dirá finita, de lo contrario infinita Dependiendo de la selección del núcleo y los limites tendremos distintas transformaciones integrales En Física las más comunes son: Nombre F (s) = T {f(t)} f(t) = T {F (s)} Laplace Fourier de senos y cosenos F(s) = Fourier compleja F(s) = Hankel (Fourier-Bessel) F (s) = Mellin M(s) = L(s) = e st f(t)dt f(t) = γ+i 2πi γ i est L(s)ds 2 π 2π sen(st) cos(st) f(t)dt f(t) = e ist f(t)dt f(t) = tj n (st)f(t)dt f(t) = t s f(t)dt f(t) = 2πi 2 π 2π sen(ts) cos(ts) F(s)ds e ist F(s)ds sj n (ts)f (s)ds γ+i γ i s t M(s)ds La idea detrás de la utilidad de las transformaciones integrales puede resumirse en el siguiente esquema EDO para f(t) solución directa difícil se encuentra f(t) transformación directa F (s) = T {f(t)} transformación inversa f(t) = T {F (s)} relación para F (s) eventualmente más fácil solución para F (s) más fácil se encuentra F (s) Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

2 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > Transformada de Laplace En nuestro caso ilustraremos el uso de transformaciones integrales con la transformada de Laplace, que denotaremos de manera simbólica como F (s) = L f(t) Esto es: F (s) = L f(t) = Es bueno tener en cuenta que si la integral impropia f(t)e st dt, f(t)e st dt, t < t < converge para algún valor de s = s, entonces convergerá para todo s > s Si la integral existe se denominará la transformada de Laplace de f(t) Por ejemplo, podemos ver que si f(t) = t, entonces Lt = F (s) = te st dt = lím h h ( = lím e st t h s ) h s 2 = lím h te st dt he sh s e sh s 2 + s 2 = s 2 Se puede ver que si f(t) =, entonces L = e st dt = Existen tablas con las transformadas de Laplace, de manera que no es necesario ir calculando las integrales impropias para cada una de las funciones Otra posibilidad es con el programa Maple, por ejemplo: > with(mtm): > laplace(cos(t)); Las transformadas de Laplace son lineales, es decir: LC f (t) + C 2 f 2 (t) = C Lf (t) + C 2 Lf 2 (t) además, existe también la transformación inversa de Laplace Esto significa que si Lf(t) = F (s) L F (s) = f(t) La transformación inversa de Laplace tambien es un operador lineal Héctor Hernández / Luis Núñez 2 Universidad de Los Andes, Mérida

3 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > 2 Transformadas de Laplace y las ecuaciones diferenciales lineales Vamos a considerar un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones del tipo a n y (n) + a n y (n ) + + a 2 y + a y + a = Q(x) (2) utilizando las transformadas de Laplace Este método, como veremos a continuación, permite obtener una solución particular dado un conjunto de condiciones iniciales Si multiplicamos (2) por e sx e integramos, podemos ver que término por término: e sx a n y (n) + a n y (n ) + + a 2 y + a y + a dx = e sx Q(x)dx a n e sx y (n) dx + a n e sx y (n ) dx + + a 2 e sx y dx + a e sx y dx + a e sx ydx = e sx Q(x)dx a n L y (n) + a n L y (n ) + + a 2 L y + a L y + a L y = L Q(x) (3) Ahora bien, podemos observar lo siguiente L y = e sx y dx y al integrar por partes, con u = e sx y dv = y dx, se tiene e sx y dx = lím e sx y b b ( s)e sx ydx = lím e sb y(b) y() + s ye sx dx b Si agregamos la suposición adicional de que la solución de la ecuación diferencial, es decir, y(x) satisface e sx y (k) (x) =, k =,, 2,, n, s > s entonces: lím x L y = e sx y dx = y() + sl y Para calcular L y se procede de manera similar, pero ahora es necesario integrar dos veces por partes y utilizar el resultado para L y Resultando: L y = y () + sl y = s 2 L y y () + sy() Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes, Mérida

4 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > Repitiendo el proceso: L y = s 3 L y y () + sy () + s 2 y() L y (4) = s 4 L y y () + sy () + s 2 y () + s 3 y() y si seguimos hasta orden n, se puede demostrar que L y (n) = s n L y y (n ) () + sy (n 2) () + + s n 2 y () + s n y() Al sustituir todos estos últimos resultados en (3), sacando los términos que contienen a L y, resulta que podemos escribir (3) de la manera siguiente: a n s n L y a n y (n ) () + sy (n 2) () + + s n 2 y () + s n y() +a n s n L y a n y (n 2) () + sy (n 3) () + + s n 3 y () + s n 2 y() +a n 2 s n 2 L y a n 2 y (n 3) () + sy (n 4) () + + s n 4 y () + s n 3 y() +a 2 s 2 L y a 2 y () + sy() +a sl y a y() +a L y = L Q(x) factorizando para L y se tiene: an s n + a n s n + a n 2 s n a 2 s 2 + a s + a L y a n s n + a n s n a 2 s + a y() a n s n 2 + a n s n a 3 s + a 2 y () a n s n + a n y (n 2) () a n y (n ) () = L Q(x) (4) En (4) se puede apreciar que es necesario conocer las cantidades: y(), y (), y (),, y (n ) (), las cuales se pueden determinar vía las condiciones iniciales Por otra lado, también se puede ver que la transformada de Laplace de la función que estamos buscando L y se puede despejar directamente de (4) Ejemplos Encontraremos la solución a las siguientes ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial inhomogénea, continua, con valores iniciales y() = y + y = sen(2x) con: y () = Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes, Mérida

5 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > Si nos fijamos en (4) vemos que para este caso se tiene: a 2 =, a = y a =, entonces: a2 s 2 + a s + a L y a2 s + a y() a 2 y () = L sen(2x) s 2 + L y sy() y () = L sen(2x) s L y = s L y = s 2 + s por lo tanto: L y = s (s 2 + ) (s 2 + 4) = 2 3(s 2 + 4) + 5 3(s 2 + ) = s s 2 + mediante la transformada inversa en cada término L 2 3 s 2 = L s = 3 sen(2x) L 5 3 s 2 = L s 2 = sen(x) se tiene L y = L 3 sen(2x) + 53 sen(x) = s s 2 + por lo tanto, nuestra solución particular para las condiciones iniciales dadas es: y(x) = 3 sen(2x) sen(x) 2 Ecuación diferencial, con valores iniciales, inhomogénea a una función escalón: x π y() = y + 4y = h(x) = con: π < x 2π y () = podemos escribir y + y = h(x) = u π (x) u 2π (x) volviendo a fijarnos en (4) a2 s 2 + a s + a L y a2 s + a y() a 2 y () = L h(x) s L y sy() y () = L u π (x) u 2π (x) s L y s = e πs e 2πs s s L y = s s 2 + e πs + 4 s e 2πs s Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidad de Los Andes, Mérida

6 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > por lo tanto L y = s s + e πs s e 2πs = s s s e πs s (s 2 + 4) e 2πs s (s 2 + 4) mediante las transformadas inversas L s s 2 = cos(2x) + 4 L e πs s (s 2 = u π (x)g (x π), con g (τ) = L + 4) s (s 2 + 4) por lo tanto L e πs s (s 2 = u π (x)l + 4) 4 ( s s ) s 2 = u π (x) { cos2(x π)} del mismo modo L e 2πs s (s 2 + 4) = u 2π (x) { cos2(x 2π)} 4 Recordemos que hemos definido la función escalón como t < c u c (t) = c > t c Por lo tanto: L y = L = cos(2x) + u π (x) { cos2(x π)} + u 2π (x) { cos2(x 2π)} 4 4 s s e πs s (s 2 + 4) y finalmente la solución será y(x) = cos(2x) + u π (x) e 2πs s (s 2 + 4), { cos2(x π)} 4 + u 2π (x) { cos2(x 2π)} 4 3 Ecuación diferencial, con valores iniciales, inhomogénea a una función impulso (delta de Dirac) y() = y + 2y + 2y = δ (x π), con: y () = Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidad de Los Andes, Mérida

7 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > La función (distribución) delta de Dirac viene definida por δ (t t ) = con t t y dτ δ (τ τ ) = (5) con la útil propiedad: dτ δ (τ τ ) f (τ) = f (τ ) (6) La transformada de Laplace de la función (distribución) Delta de Dirac es: por lo tanto, para nuestra ecuación problema L δ (t c) = e cs, y + 2y + 2y = δ (x π) vemos que según (4) a2 s 2 + a s + a L y a2 s + a y() a 2 y () = L δ (x π) s 2 + 2s + 2 L y s + 2 y() y () = L δ (x π) s 2 + 2s + 2 L y = e πs por lo tanto: L y = L y = e πs s 2 + 2s + 2 = e πs (s + ) 2 + miramos la transformada inversa L e πs (s + ) 2 = u π (x) e (x π) sen (x π) + e πs s 2 + 2s + 2 esto significa que: resultando L y = L u π (x) e (x π) sen (x π) = y(x) = u π (x) e (x π) sen (x π) e πs s 2 + 2s + 2 o si lo preferimos en la otra notación: x < π y(x) = e (x π) sen (x π) x π Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidad de Los Andes, Mérida

8 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > 3 Sobre la función Gamma Con la función Gamma es posible generalizar la idea del factorial cuando n es cualquier número real positivo La función Gamma se define de la siguiente manera Por ejemplo, si k =, tenemos Γ() = Podemos integrar (7) por partes: Γ(k) = e x x k Γ(k) = lím b k x k e x dx, k > (7) x e x dx = lím b e x b = b + k se puede demostrar que el primer término de (8) se hace cero, por lo tanto: es decir: Veamos: x k e x dx, k > (8) Γ(k) = Γ(k + ), k > (9) k Γ(k + ) = kγ(k), k > () k = Γ(2) = Γ() = =! k = 2 Γ(3) = 2Γ(2) = 2 = 2! k = 3 Γ(4) = 3Γ(3) = 3 2 = 3! k = 4 Γ(5) = 4Γ(4) = = 4! entonces, si k = n es un entero positivo, se tiene que Ahora bien, podemos hacer lo siguiente Partimos de (9): reemplazamos k k + en (2) y obtenemos: si sustituimos (3) en (2) resulta: Γ(n + ) = n! () Γ(k) = Γ(k + ), k (2) k Γ(k + ) = Γ(k + 2), k (3) k + Γ(k) = Γ(k + 2), k, (4) k(k + ) Héctor Hernández / Luis Núñez 8 Universidad de Los Andes, Mérida

9 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > si reemplazamos k k + en (3) obtenemos Γ(k + 2) = al sustituir (5) en (4) resulta lo siguiente Γ(k) = Estas operaciones se pueden repetir hasta n: Γ(k) = Γ(k + 3) (k + 2), k 2 (5) Γ(k + 3), k,, 2 (6) k(k + )(k + 2) Γ(k + n), k,, 2,, (n ) (7) k(k + )(k + 2) (k + n ) Todo esto sirve para lo siguiente Si k = /2, entonces por (2) ( Γ ) ( ) = 2Γ 2 2 el valor de Γ ( 2) lo podemos buscar en alguna tabla matemática O con el programa Maple, por ejemplo: > GAMMA(/2); En este caso, lo que se obtiene es Γ ( 2) = π Esto significa que si conocemos Γ ( ) ( 2 se puede determinar Γ 2), por lo tanto ( Γ ) = 2 π 2 Algunos ejemplos:! = Γ( + ) = Γ() = 4 Integral de Convolución ( ) 2! = Γ( 2 + ) = Γ ( 2) = π ( ) 3 2! = Γ( ) = Γ ( 2) = 2 π ( ) 2! = Γ( 2 + ) = Γ ( ) 3 2 = 2 Γ ( ) 2 = 2 π Algunas veces es posible identificar la transformada de Laplace H(s) como el producto de dos transformadas de Laplace, F (s) y G(s) las cuales son las transformadas de funciones conocides f(t) y g(t) Pero eso es algunas veces: en general la transformada del producto de funciones no es el producto de transformadas Esas veces están contenidas en el llamado Teorema de Convolución, según el cual se establece una especie de producto generalizado de funciones f y g Héctor Hernández / Luis Núñez 9 Universidad de Los Andes, Mérida

10 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > Teorema de Convolución: entonces donde Sean F (s) = L f(t) y G(s) = L g(t) definidas en el intervalo s > a >, h(t) = L F (s)g(s) = H(s) = F (s)g(s) = L h(t), f(t τ) g(τ) dτ = para s > a f(τ) g(t τ) dτ = (f g) (t) y h(t) se indentifica como la convolución de f y g Las integrales arriba expuestas se conocen con integrales de convolución y hemos denotado h(t) = (f g) (t) para insistir que se trata de un producto generalizado de funciones f y g, que comparte, con el producto ordinario de funciones, las siguientes propiedades f g = g f (conmutatividad) f g + k = f g + f k f g k = f g k (distributividad) (asociatividad) f = f = Sin embargo f f, tal y como se puede apreciar de (f ) (t) = f(t τ) dτ = en el caso particular de que f (t) = cos (t) tendremos (cos ) (t) = f(t τ) dτ f (t) cos(t τ) dτ = sen(t τ) τ=t τ= = sen() sen(t) = sen(t) Por la misma razón, no hay garantía que (f f) (t) > f El ejemplo más emblemático de la aplicación del Teorema de Convolución es el estudio del oscilador amortiguado y forzado, el cual viene descrito por la ecuación diferencial x() = x ẍ + 2λ ẋ + ω 2 x = f(t), con: ẋ() = dx t= = ẋ la transformada de Laplace (ecuación (4)) no conduce a lo siguiente a2 s 2 + a s + a L x a2 s + a x() a 2 ẋ() = L f(t) s 2 + 2λs + ω 2 L x s + 2λ x() ẋ() = L f(t) s 2 + 2λs + ω 2 L x s + 2λ x ẋ = F (s) dt L x = F (s) + s + 2λ x + ẋ s 2 + 2λs + ω 2 Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

11 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > por lo tanto L x = F (s) + s + 2λ x + ẋ s 2 + 2λs + ω 2 = 2λ x + ẋ + sx s 2 + 2λs + ω 2 F (s) + s 2 + 2λs + ω 2, para el primer sumando de la expresión anterior, se tiene lo siguiente: L x () = 2λ x + ẋ + sx s 2 + 2λs + ω 2 = x (s + λ) (s + λ) 2 + ( ω 2 λ2) + ẋ + x λ (s + λ) 2 + ( ω 2 λ2) y mediante la transformada inversa: L x (s + λ) (s + λ) 2 + ( ω 2 λ2) + ẋ + x λ (s + λ) 2 + ( ω 2 λ2) () = x e λt cos(ωt) + ẋ + λx ω sen(ωt) con ω = ω 2 λ2 Para el segundo sumando por el teorema de convolución se obtiene L F (s) s 2 + 2λs + ω 2 F (s) L x (2) = s 2 + 2λs + ω 2, (2) = ω e λ(t τ) senω (t τ) f (t) dτ La solución será entonces: x (t) = x e λt cos(ωt) + ẋ + λx ω sen(ωt) + ω e λ(t τ) senω (t τ) f (t) dτ Ejercicios Resuelva, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones a) y y =, y() = b) y y = e x, y() = c) y + y = e x, y() = d) y + 4y + 4y =, y() =, y () = e) y y 2y = 5sen(x), y() =, y () = f ) y 2y + y = 2e x + 2x, y() =, y () =, y () = 2 Evalúe cada una de las siguientes funciones a) Γ(6) b) Γ(7) Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

12 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > c) Γ( 5/2) d) Γ(5/2) 3 Evalúe cada una de las siguientes funciones factoriales a) ( 5 2)! b) ( 7 2)! c) ( 3 2)! d) ( 5 2)! Héctor Hernández / Luis Núñez 2 Universidad de Los Andes, Mérida

13 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > La siguiente tabla resume las transformaciones de Laplace para algunas funciones f(t) = L F (s) F (s) = L f(t) k k s, s > e kt s k, s > k sen (kt) cos (kt) k s 2 + k 2, s > s s 2 + k 2, s > t n n!, s >, n > sn+ t p Γ (p + ) s p+, s >, p > senh (kt) k s 2 k 2, s > k cosh (kt) s s 2 k 2, s > k e rt sen (kt) e rt cos (kt) t n e rt k (s r) 2 + k 2, s > r s r (s r) 2 + k 2, s > r n! n+, s > r, n ℵ (s r) f (t τ) g (τ) dτ Lf(t) Lg(t) = F (s) G (s) t < c u c (t) = e c t, s > y c > s t c u c (t) f (t c) e c t F (s) e c t f (t) F (s c) Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes, Mérida

14 Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > f(t) = L F (s) F (s) = L f(t) f (c t) c F ( s c), c > δ (t c) e c s f (n) (t) s n F (s) s n f () f (n ) () ( t) n f (t) F (n) (s) Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes, Mérida