SISTEMAS LINEALES. Tema 3. Análisis y caracterización de sistemas continuos empleando la transformada de Laplace

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1 SISTEMAS LINEALES Tema 3. Análisis y caracterización de sistemas continuos empleando la transformada de Laplace 2 de octubre de 200 F. JAVIER ACEVEDO javier.acevedo@uah.es

2 TEMA 3 Contenidos. Autofunciones de los sistemas LTI. Transformada de Laplace de una Señal. Región de convergencia Diagrama polos y ceros. Propiedades de la ROC. Propiedades de la Transformada de Laplace. Transformada inversa. Descomposición en fracciones simples. Caracterización de los sistemas con T. de Laplace. Función de transferencia. Propiedades de los sistemas a partir de la función de transferencia. Interconeión de sistemas. Transformada unilateral. Resolución de ecuaciones diferenciales.

3 AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI Se denomina autofunción de un sistema a una señal para la cuál, ante dicha señal como entrada, la respuesta del sistema es la misma señal multiplicada por una constante, denominada autovalor. (t) Sistema tiempo continuo y (t) =K(t) Para sistemas LTI de tiempo continuo las eponenciales complejas autofunciones del sistema: (t) =e s 0t s 0 es un número complejo. son La salida del sistema será: y(t) = R es 0τ h(t τ)dτ = R es 0(t τ) h(τ)dτ = R es 0t e s 0τ h(τ)dτ = e s 0t R e s 0τ h(τ)dτ = (t)h(s 0 ) El autovalor depende de la respuesta al impulso y del valor del número complejo. Conclusión: Si a la entrada de un sistema LTI tenemos una eponencial compleja, a la salida de dicho sistema tendremos la misma señal multiplicada por una constante.

4 AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI Utilizando la idea anterior, si a la entrada de un sistema tenemos una señal que puede ser epresada como una combinación lineal de eponenciales complejas, la salida la podemos calcular como misma combinación lineal sabiendo que cada eponencial compleja queda a la salida multiplicada por su autovalor. Ejemplo: (t) =3e (2+j)t + e (+3j)t + e ( j)t h(t) =u(t) La salida tendrá la forma: y(t) =H(2 + j)3e (2+j)t + H( + 3j)e (+3j)t + H( j)e ( j)t Pudiendo calcular los autovalores mediante: H(s 0 )= R e s 0t h(t)dt = R 0 e s 0t dt = s 0 e s 0t 0 = s 0 H(2 + j) = 2+j H( + 3j) = +3j En general H( j) = j (t) = n P k= c k e s kt y(t) = n P k= H(s k )c k e s kt

5 AUTOFUNCIONES DE UN SISTEMA LTI Para sistemas LTI, si proyectamos la señal de entrada sobre un conjunto de eponenciales complejas (transformamos la señal) la salida puede encontrarse mediante la propiedad anterior. Tiempo continuo: Si utilizamos eponenciales complejas con parte real y parte imaginaria: e st s = σ + jω Transformada de Laplace Si utilizamos eponenciales complejas solo con parte imaginaria: e st s = jω Transformada de Fourier Tiempo discreto: Si utilizamos eponenciales del tipo: z n z = re jω Transformada Z Si utilizamos eponenciales del tipo: z n jω z = e Transformada Fourier

6 TRASNFORMADA DE LAPLACE DE UNA SEÑAL La transformada de Laplace de una señal se define como: X(s) = R (t)e st dt La epresión anterior es la transformada bilateral. Más adelante vermos la transformada unilateral que es la que se utilizó en análisis de circuitos. Para que eista la transformada anterior debe converger, esto es: X(s) < No todas las señales tienen transformada de Laplace. Ej: (t) = Veamos un ejemplo de una señal que sí tiene transformada de Laplace: (t) =u(t) X(s) = R (t)e st dt = R e st dt = 0 s e st 0 = s e s 0 s e 0s = s L{(t)} = s

7 REGIÓN DE CONVERGENCIA En el ejemplo anterior nos hemos basado en: s e s =0 es eso realemente cierto? Recordemos que s es una variable del tipo: s = σ + jω Para valores de σ < 0 ej: s = 2+3j tendremos s e ( 2+3j) = s e ( 2) e (+3j) = Por lo que no convergería. Por tanto, solo eiste un conjunto de valores de la variable s que aseguran que la transformada anterior converge. Es la Región de Convergencia (ROC). Por tanto, no basta con dar la función en s de la transformada, sino que también hay que conocer su ROC. L{u(t)} = s R e{s} > 0

8 REGIÓN DE CONVERGENCIA Ahora vamos a ver por qué, además de por razones de convergencia, es necesario conocer la ROC. Calcular la transformada de (t) = u( t) X(s) = R (t)e st dt = R 0 e st dt =+ s e st 0 = s e0s s e s( ) = s 0 si R e s < 0 L{ u( t)} = s R e{s} < 0 u(t), u( t) Por tanto, tenemos dos señales ( ) que tienen la misma transformada y solo se diferencian por su ROC. Es imprescindible conocer la ROC.

9 REGIÓN DE CONVERGENCIA Otro ejemplo: Obtener la transformada de (t) =e 3t u(t) X(s) = R (t)e st dt = R s+3 e (s+3) ³ s+3 e 0s = s+3 0 si R e s > 3 L{e 3t u(t)} = s+3 R e{s} > 3 Obtener la transformada de (t) = e 3t u(t) e 3t e st dt = R e (s+3)t dt = 0 0 s+3 e (s+3)t 0 = X(s) = R (t)e st dt = R 0 e 3t e st dt = R 0 e (s+3)t dt =+ s+3 e (s+3)t 0 = + s+3 e0(s+3) ³ + s+3 e (s+3) 0 si R e s < 3 = s+3 L{ e 3t u( t)} = s+3 R e{s} < 3

10 DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS Si quisiéramos representar la transformada de (t) = e 3t u(t) X(s) = s+3 Re {s} > 3 Debemos tener en cuenta que s es una variable compleja y considerar por tanto los valores de σ > 0 y de ω. En general, para cada valor particular s0 tendremos X(s0 ) C Por tanto, deberíamos representar el módulo y la fase de X(s) en función de los posibles valores de s. ρ X(s) X(s) } {s Im R e{ s}

11 DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS En la práctica, no se representan las señales transformadas tal como hemos visto anteriormente, sino que se representa el plano s y se marcan: X Polos: Ceros del denominador. Donde eista una cruz indicará que el módulo de la señal transformada se hace infinito. Ceros: Ceros del numerador. Donde eista un cero indicará que el módulo de la señal transformada se hace nulo. Ejemplo: X(s) = s+3 R e{s} > 3 I m {s} jω -3-3 σ R e {s}

12 DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS Ejemplo: X(s) = (s )(s+2) (s+4)(s 2 +2s+2) R e {s} > jω σ Ejemplo: X(s) =4 (s 2) s(s 2 +4s+8) R e {s} < 2 No afecta a la hora de dibujar el diagrama de polos y ceros jω σ

13 DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS Ejemplo: Obtener X(s) sabiendo que su diagrama de polos y ceros es el mostrado y que es racional: jω σ X(s) = Número de polos y ceros en el infinito: Dada una señal transformada X(s) = n Π i= (s s i ) m Π (s s p ) p= Si m>n tendremos m-n ceros en el infinito. Si n>m tendremos n-m polos en el infinito. En el ejemplo anterior no tenemos información de la ROC. Vamos a ver las propiedades de la misma para determinar qué posibles ROC tenemos.

14 PROPIEDADES DE LA ROC. La ROC consiste en bandas paralelas al eje jω Ejemplo: X(s) = s+3 R e{s} > 3 jω Como se ha visto, solo afecta la parte real de s y no la parte imaginaria. -3 σ 2. Para transformadas racionales, la ROC no contiene ningún polo. La ROC es el conjunto de valores para los cuales X(s) < jω ERROR!!! Si la ROC contiene un polo estaríamos diciendo que contiene un valor para el que X(s) se hace infinito. σ

15 PROPIEDADES DE LA ROC 3. Si (t) es de duración finita y si eiste un valor de s para el cuál converge, entonces la ROC es todo el plano s Ejemplo: jω t t 2 σ X(s) = R (t)e st dt = R t 2 t (t)e st dt Si converge para un valor, lo hará para todos 4. Si (t) es una señal derecha (tiene principio pero no fin) y la línea está dentro de la ROC, todos los valores para los cuales σ >σ 0 también están dentro de la ROC. Esto implica que si la señal es derecha la ROC será la región del plano que se etiende hacia la derecha desde el polo más a la derecha. jω R e {s} = σ 0 t σ

16 PROPIEDADES DE LA ROC R e {s} = σ 0 5. Si (t) es una señal izquierda y la línea está dentro de la ROC, todos los valores para los cuales σ < σ 0 también están dentro de la ROC. Esto implica que si la señal es izquierda la ROC será la región del plano que se etiende hacia la izquierda desde el polo más a la izquierda. jω t σ 6. Si (t) es infinita y eiste algún valor de s para el cuál converge, entonces la ROC es una franja que contiene a ese valor de s. jω σ

17 PROPIEDADES DE LA ROC 7. La ROC no puede ser discontinua. Esta propiedad se deduce de las propiedades anteriores, ya que todas las señales están comprendidas en los anteriores casos. ERROR!!!! jω σ Obtener las posibles ROC a partir del diagrama de polos y ceros. Deducir cómo sería la señal que se ha transformado en cada caso. j ω σ X (s) = Posibles ROC:

18 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Linealidad. Si de dos señales (t) y 2 (t) conocemos sus transformadas (X (s) y X e (s) respectivamente) y podemos epresar 3 (t) como una combinación lineal de las señales (t) y 2 (t) la transformada X 3 (s) será la misma combinación utilizando X (s) y X 2 (s). La ROC será, al menos, la intersección de las ROC anteriores. Ejemplo. Calcular la transformada de Laplace de: (t) =2u(t)+4e 3t u(t) L{u(t)} s R e{s} > 0 L{e 3t u(t)} s+3 R e{s} > 3 jω jω σ σ jω X(s) =2 s +4 s+3 =6 s+ s(s+3) R e{s} > 0 σ

19 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 2. Desplazamiento en el tiempo. Si de una señal (t) conocemos su transformada X (s), la señal desplazada en el tiempo tendrá una transformada: (t t 0 ) X (s)e st 0 Ejemplo: Calcular la transformada de la señal (t) =u (t 3) Dado que conocemos la transformada de la señal u(t) s La transformada pedida será: u(t 3) s e 3s Hay que tener en cuenta que el diagrama de polos y ceros coincide en ambos casos!!!

20 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 3. Desplazamiento en el dominio de Laplace. Si de una señal (t) conocemos su transformada X (s), y esa señal se multiplica por una eponencial compleja en el tiempo, la transformada queda desplazada: Demostración: (t) X (s) e s 0t (t) X (s s 0 ) R (t)e s 0t e st dt = R (t)e (s s 0)t dt La nueva ROC será: R e {s} = R e {s} old + s 0 4. Escalado en el tiempo. (t) X (s) (at) a X ( s a ) R e {s} = ar e {s} old

21 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 5- Convolución de dos señales en el tiempo. Sean dos señales ( (t) y 2 (t)), cuyas transformada son conocidas (X (s) y X 2 (s)), la convolución de ambas señales dará como resultado: La nueva ROC será al menos: (t) 2 (t) X (s)x 2 (s) ROC = ROC T ROC2 Ejemplo: Obtener la transformada de la convolución de las señales: (t) =e 3t u(t)x (s) = s+3 R e{s} > 3 2 (t) =u(t) = s R e{s} > 0 L{ (t) 2 (t)} = s(s+3) R e {s} > 0 Veremos un poco más adelante, que la transformada inversa de la anterior señal, con la ROC indicada, da como resultado: L { s(s+3) } = 3 e 3t u(t)

22 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6. Derivación en el tiempo. Si de una señal (t) conocemos su transformada X (s), la derivada de (t) con respecto del tiempo da como resultado: (t) X (s) 0 (t) sx (s) La nueva ROC contiene la anterior. Ejemplo: Sabiendo que L{u(t)} = s R e{s} > 0 d(u(t)) dt = δ(t) Calcule la transformada de la función delta L{δ(t)} = s s = s 7. Integración en el tiempo. Si de una señal (t) conocemos su transformada X (s), la integral de (t) da como resultado: (t) X (s) R t (τ)dτ s X (s) La nueva ROC será: ROC = ROC T Re {s} > 0

23 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6. Derivación en el dominio de Laplace. Si de una señal (t) conocemos su transformada X (s), la derivada de X (s) con respecto a s está relacionada con (t) da como resultado: La nueva ROC es igual a la anterior. Ejemplo: Calcule la transformada de la función L{u(t)} = s R e{s} > 0 (t) X (s) t (t) dx (s) ds 7. Teorema del valor inicial. lim sx(s) = lim (t) s t Teorema del valor final. lim s 0 sx(s) = lim t (t) (t) =tu(t) L{tu(t)} = s d s ds = s 2 R e s > 0

24 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Tabla Resumen de Propiedades: SEÑAL TRANSFORMADA ROC t () ( t) X s ( t) 2 X2 s () + ( ) ax ( s) bx ( s) a t b t 2 ( t ) Xs () R 2 () R () R2 + Al menos R R t st 0 e 0 X() s R e ( ) 2 0 t Xs ( s 0 ) Versión desplazada de R st at ( ) a X s a () ( ) X ( s) X ( s) t t 2 dt ( ) dt t( t ) ROC escalada 2 Al menos R R 2 sx() s Al menos R d ds Xs () t ( τ) dτ () s Xs Al menos R { s} R { Re 0 } >

25 ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS. Señal Escalón: (ya demostradas) u(t) s R e{s} > 0 u( t) s R e{s} < 0 2. Delta de Dirac: (demostrada a partir de la propiedad de derivación en el tiempo) δ(t) s 3. Multiplicación del escalón por la señal tiempo elevado a la enésima potencia. (demostración a partir de la derivada en s) t n (n )! u(t) s n R e {s} > 0 tn (n )! u( t) s n R e {s} < 0 4. Eponenciales en el tiempo (ya demostrada para a=3) e at u(t) s+a e at u( t) s+a R e{s} > a R e{s} < a

26 ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS 5. Eponencial multiplicada por el tiempo elevado a la enésima potencia. X(s) = 2 ³ t n (n )! e at u(t) s n tn (n )! e at u( t) s n 2s (s+jω 0 )(s jω 0 ) = s s 2 +ω 2 0 R e {s} > a R e {s} < a 6. Coseno (t) =cos(ωt) u(t) X(s) = R cos (ωt) u(t)e st dt = R 0 2 e jω 0 t + e jω 0t e st dt = ³ Para que X(s) < 2 s+jω 0 e (s+jω0)t 0 + s jω 0 e (s jω0)t 0 ) R e {s} > 0 R e {s} > 0

27 ALGUNAS TRANSFORMADAS BÁSICAS 7. Función seno. (se demuestra a partir de la propiedad de derivación en el tiempo) sin(ω 0 t)u(t) ω 0 s 2 +ω0 2 sin(ω 0 t)u( t) ω 0 s 2 +ω0 2 R e {s} > 0 R e {s} < 0 8. Funciones senoidales multiplicadas por una eponencial decreciente. (se demuestra mediante la propiedad de desplazamiento en s) e at sin(ω 0 t)u(t) e at sin(ω 0 t)u( t) e at cos(ω 0 t)u(t) e at cos(ω 0 t)u( t) ω 0 (s+a). 2 +ω 2 0 ω 0 (s+a). 2 +ω 2 0 s+a (s+a). 2 +ω 2 0 s+a (s+a). 2 +ω 2 0 R e {s} > a R e {s} < a R e {s} > a R e {s} < a

28 TRANSFORMADA INVERSA La transformada de Laplace tiene la propiedad, además de las que hemos visto y teniendo en cuenta la ROC, de ser unívoca y reversible. L{(t)} X(s) L X(s) (t) Podemos calcular la transformada inversa mediante: (t) = 2πj σ+j R σ j X(s)e st ds R e {s} = σ ROC Dado que la anterior integral puede resultar complicada de calcular, podemos recurrir a las funciones que ya hemos calculado. Dado que se trata de un número limitado de transformadas, deberemos proceder a descomponer nuestra señal transformada en fracciones simples, de forma que podamos hacer la transformada inversa como la suma de las transformadas inversas.

29 TRANSFORMADA INVERSA. Descomponemos en fracciones simples. (Aneo para el cálculo de residuos) 2. Teniendo en cuenta la ROC para cada fracción simple calculamos la transformada inversa con ayuda de las tablas. Ejemplo : X(s) = (s+)(s+2) Calcular la transformada inversa de R e {s} > Descomponemos en fracciones simples: X(s) = (s+)(s+2) = A (s+) + B (s+2) A = s (s +)X(s) = s (s+2) = B = s 2 (s +2)X(s) = s (s+) = X(s) = (s+)(s+2) = (s+) + (s+2) L { (s+) } e t u(t) si R e {s} > e t u( t) si R e {s} < (t) = e t e 2t u(t) L { (s+2) } e 2t u(t) si R e {s} > 2 e t u( t) si R e {s} < 2

30 TRANSFORMADA INVERSA Ejemplo 2: Calcular la transformada inversa de la siguiente señal. X(s) = s+ (s+2)(s 2 +2s+2) Descomponemos en fracciones simples (no hace falta la ROC): X(s) = A = lim (s +2)X(s) = lim s 2 lim X(s) =lim s 0 s 0 C = lim X(s) =lim s s A s+2 + Bs+C (s+) 2 + ³ ³ s 2 A s+2 + Bs+C (s+) 2 + A s+2 + Bs+C (s+) = B+ B = < R e {s} < s+ s 2 +2s+2 = (0+2)(0+0+2) = A 2 + C (+2)( ) = A 2+ + B+C (+) = C 2 X(s) = 0.5 s s+ (s+) 2 +

31 TRANSFORMADA INVERSA h X(s) = 0.5 s s+ (s+) 2 + = 0.5 s s+2 (s+) 2 + = 0.5 s s (s+) (s+) 2 + i L { (s+2) } L { s (s+) 2 + } e 2t u(t) si R e {s} > 2 e 2t u( t) si R e {s} < 2 e t cos(t)u(t) si R e {s} > e t cos(t)u( t) si R e {s} < L { (s+) 2 + } e t sin(t)u(t) si R e {s} > e t sin(t)u( t) si R e {s} < (t) = 0.5e 2t u(t) 0.5e t cos(t)u( t) e t sin(t)u( t)