Tema 1. Introducción a las señales y los sistemas (Sesión 2)

Transcripción

1 SISTEMAS LINEALES Tema. Introducción a las señales y los sistemas (Sesión ) 7 de septiembre de F. JAVIER ACEVEDO javier.acevedo@uah.es

2 TEMA Contenidos. Definiciones. Clasificación de señales. Transformaciones de la variable independiente. Reflexión. Cambio de escala y desplazamiento. Señales básicas en tiempo continuo y discreto: Función exponencial.- Escalón, impulso y sinc. Potencia y energía. Definición de sistema. Propiedades de los sistemas. Interconexión de sistemas.

3 SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO DISCRETO a) x[n] =Asin (Ω n + θ).5.5 Periódica si: x[n] =x[n + N] N Z + Asin (Ω n + θ) =Asin (Ω (n + N)+θ) = Asin (Ω n + Ω N + θ) Entonces serán iguales si: Ω N =πm m Z Ω π = N m

4 SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO DISCRETO b) Función Escalón u [n] = n< n En tiempo discreto está definido el valor para n=. c) Delta de Kronecker.5 δ [n] x [n] δ [n] =x [] δ [n] x [n] δ [n n ]=x [n ] δ [n n ] x [n n ] δ [n n ]=x [] δ [n n ]

5 SEÑALES BÁSICAS EN TIEMPO DISCRETO Supongamos la señal x[n] dada en la figura. La podemos descomponer como: x [n] = P k= x [k] δ [n k]

6 POTENCIA Y ENERGÍA DE UNA SEÑAL Tiempo Continuo Tiempo Discreto Energía en un intervalo de tiempo E (t,t ) = R t t x (t) dt Potencia en un intervalo de tiempo P (t,t ) = t t R t t Energía total de una señal E x(t) = R x (t) dt Potencia total de una señal P x(t) = lim T T x (t) dt R T T x (t) dt Energía en un intervalo de tiempo P E (n,n ) = n Potencia en un intervalo de tiempo P (n,n ) = n n + k=n x [n)] Energía total de una señal E x[n] = P k= Pn Potencia total de una señal Px[n] = lim N k=n x [n)] x [n)] N+ NP k= N x [n)] Señales definidas en energía: ejemplo señales finitas. Señales definidas en potencia: ejemplo señales continuas. Señales con energía y potencia infinitas: ejemplo exponencial creciente.

7 DEFINICIÓN DE SISTEMA Sistema: Cualquier proceso, intencionado o no, que realiza una transformación de una o varias señales de entrada en una o varias señales de salida. y (t) =f (x (t)) x (t) y (t) x [n] Sistema tiempo Sistema tiempo continuo discreto y [n] Ejemplos de sistemas: Circuito. Entrada una señal tensión o voltaje. Salida: Otra señal transformada. Canal de comunicación. La señal transmitida se transforma hasta obtener la señal del receptor. Sistema de servocontrol. Tratamiento de audio. Tratamiento de voz.

8 INTERCONEXIÓN DE SISTEMAS a) Serie o cascada. x (t) Sistema y (t) Sistema z (t) b) Paralelo. x (t) Sistema y x (t) (t) + y (t) c) Realimentación. + Sistema y (t) Sistema y (t) y (t) Sistema

9 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS ) Linealidad. Un sistema será lineal si: x (t) y (t) x (t) y (t) x 3 (t) = y 3 (t) = αx (t)+βx (t) αy (t)+βy (t) Condición equivalente para sistemas discretos Ejemplos de sistemas lineales: y (t) =3x (t) y [n] =x [n] x [n ] y (t) =sen (t) x (t) P y [n] = k Ejemplos de sistemas no lineales: y (t) =sin (x (t)) y [n] = x[n] y (t) =x (t)+k k=k kx [k] y [n] =x [n]

10 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Sabiendo que tenemos un sistema lineal y que ante las entradas x [n] y x [n] hemos obtenido las señales de salida correspondientes, calcule la señal de salida ante la entrada x 3 [n] x [n].5.5 y [n] x [n].4..5 y [n] x 3 [n].4..8 y 3 [n]

11 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS b) Invarianza en el tiempo. Un sistema se dice invariante en el tiempo si y (t) =y (t) x (t) Sistema Desplazamiento y (t) y (t) =y (t t ) Desplazamiento x (t) =x (t t ) Ejemplos de sistemas invariantes: y (t) =x (t t ) y [n] =cos (x [n]) Sistema y (t) Ejemplos de sistemas variantes: y (t) =tx (t) y [n] =x [n] u [n] y (t) = R t t x (t) dt y (t) =cos (t) x (t) y [n] = n P k= x [k] y [n] = n P k= x [k]

12 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Sabiendo que tenemos un sistema invariante y que ante las entrada x [n] se ha obtenido la señal de salida correspondiente, calcule la señal de salida ante la entrada x [n]. x [n] y [n] x [n] y [n]

13 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS c) Causalidad. Un sistema es causal si la salida no depende (no anticipa) valores futuros de la señal de entrada. Los sistemas causales también se denominan sistemas no anticipativos. Ejemplos de sistemas causales: y (t) =x (t t ) Si t y [n] =u[n +]x [n] y (t) = R t x (τ) dτ Ejemplos de sistemas no causales: y (t) =x ( t) y [n] =x [n +] y (t) = R t+t t= x (τ) dτ d) Memoria. Un sistema tiene memoria si la salida depende de valores futuros y/o pasados de la señal de entrada Ejemplos de sistemas con memoria: Ejemplos de sistemas sin memoria: y (t) =x (t ) y (t) =tx (t) y [n] = k=5 P k= 5 x [n] y [n] =cos (n +)x (t)

14 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS e) Estabilidad (BIBO). Un sistema es estable en el sentido BIBO (Bounded Input Bounded Output) si ante una entrada acotada en amplitud la salida también está acotada en amplitud. x (t) <P P < y (t) < Ejemplos de sistemas estables: y (t) =u (x (t)) y [n] =x [n] y (t) =x (t) cos (3t) y [n] = n x [n] u [n] Ejemplos de sistemas inestables: y (t) =tx (t) y [n] = n x [n] y (t) = R t x (τ) dτ

15 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS f) Invertibilidad. Un sistema es invertible si existe un sistema inverso tal que: x (t) y (t) Sistema Sistema Inverso z (t) =x (t) Un sistema no es invertible si ante dos señales diferentes obtenemos la misma salida. Ejemplo de sistema invertible: y (t) =x (t)+3 z (t) =y (t) 3 Ejemplo de sistema no invertible: y [n] =x [n]

16 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS y [n] = x [n] y [n] = x [n] Basta un contraejemplo para demostrar que no tiene sistema inverso