Sistemas Discretos LTI
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- María del Carmen Quiroga Rojas
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1 Sistemas Discretos LTI MSc. Bioing Rubén Acevedo Bioingeniería I Carrera: Bioingeniería Facultad de Ingeniería - UNER 06 de Abril de 2009 Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 1 / 60
2 Organización 1 Sistemas Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 2 / 60
3 Sistemas Definiciones Definiciones Una colección de objetos que están dispuestos de una forma ordenada, de acuerdo a su finalidad. Un ente formado por un conjunto de elementos que evolucionan coordinadamente según determinadas reglas. Cualquier parte de un ambiente que causa que ciertas señales que existen en él se encuentren relacionadas. Cualquier proceso que produce una transformación de señales. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 3 / 60
4 Sistemas Definiciones Definiciones La interrelación de las señales impuesta por las leyes que gobiernan al sistema se denomina Regla Regla ó Dinámica Dinámica del del sistema sistema Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 4 / 60
5 Sistemas Definiciones Definiciones Sistemas como entidades abstractas caja negra. x[n] h [n] y [n] Sistemas de tiempo discreto Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 5 / 60
6 Sistemas Clasificación Clasificación Cantidad de entradas y salidas Causales o no causales Parámetros concentrados o distribuidos Inversibles o no inversibles Estables o inestables Con memoria o sin memoria Variantes o invariantes en el tiempo Lineales o no lineales Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 6 / 60
7 Sistemas Clasificación Clasificación Cantidad Cantidad de de entradas entradas Single Input Single Output x[n] h[n] y[n] Multiple Input Single Output x 1 [n] x 2 [n] h[n] y[n] Single Input Multiple Output x[n] h[n] y 1 [n] y 2 [n] Multiple Input Multiple Output x 1 [n] x 2 [n] h[n] y 1 [n] y 2 [n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 7 / 60
8 Sistemas Clasificación Clasificación Causales Causales Un sistema es causal si la salida en cualquier instante depende únicamente de los valores presentes y/o pasados de la entrada, y de valores pasados de la salida. Suele llamarse no anticipativo ya que la salida del sistema no se anticipa considerando valores futuros de la entrada. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 8 / 60
9 Sistemas Clasificación Clasificación Parámetros Parámetros concentrados concentrados La entrada afecta en forma simultánea a cada elemento del sistema. Se pueden describir por ecuaciones diferenciales ordinarias. Parámetros Parámetros distribuidos distribuidos Los efectos se distribuye en las dimensiones espaciales del sistema. Se describen por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 9 / 60
10 Sistemas Clasificación Clasificación Inversibles Inversibles Un sistema es inversible si a partir de la salida se puede encontrar determinísticamente la entrada. Ejemplo: y[n] = 2. x[n] z[n] = 0,5.y[n] x(n) h[n] y(n) h -1 [n] z[n] = x(n) Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 10 / 60
11 Sistemas Clasificación Clasificación Estabilidad Estabilidad Si la entrada a un sistema estable está acotada, entonces la salida también debe ser acotada (no diverge). x[n] entrada y[n] x[n] y[n] salida Sistema inestable Sistema estable Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 11 / 60
12 Sistemas Clasificación Clasificación Con Con memoria memoria La salida en un instante de tiempo depende de la entrada en ese instante y en instante anteriores. Sin Sin memoria memoria La salida en un instante de tiempo depende únicamente de su entrada en ese instante. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 12 / 60
13 Sistemas Clasificación Clasificación Invariante Invariante en en el el tiempo tiempo Es aquel en el cual sus parámetros no se modifican con el tiempo. Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida Variante Variante en en el el tiempo tiempo Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida, pero la respuesta es diferente de la que se obtiene con desplazamiento nulo. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 13 / 60
14 Sistemas Clasificación Clasificación Lineales Lineales Son los sistemas que cumplen con el principio de superposición. a.x 1 [n] + b.x 2 [n] a.y 1 [n] + b.y2[n] La salida de un sistema lineal a una entrada nula es también nula. Un sistema lineal sólo modifica el espectro de frecuencias de la entrada. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 14 / 60
15 Sistemas Sistemas Sistemas LTI LTI La La dinámica dinámica de de los los sistemas sistemas de de tiempo tiempo discreto discreto lineales lineales e invariantes invariantes en en el el tiempo tiempo (LTI) (LTI) se se representan representan mediante mediante ecuaciones ecuaciones en en diferencias diferencias lineales lineales y y de de coeficientes coeficientes constantes. constantes. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 15 / 60
16 Sistemas Sistemas Sistemas LTI LTI Tipos Tipos Sistemas Moving Average (MA) Sistemas de respuesta finita al impulso (FIR) Sistemas Auto Regresivos (AR) Sistemas de respuesta infinita al impulso (IIR) Sistemas ARMA Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 16 / 60
17 Sistemas Sistemas Sistemas LTI LTI Representación Representación Una forma de representar sistemas LTI discretos es mediante diagramas de bloques. Estos facilitan la interpretación de su comportamiento en forma gráfica. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 17 / 60
18 Sistemas Sistemas Sistemas LTI LTI Representación Representación x 2 [n] Suma x 1 [n] + x 1 [n] + x 2 [n] Multiplicación por escalar x 1 [n] a a.x 1 [n] Retardo x[n] D x[n-1] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 18 / 60
19 Sistemas Sistemas Sistemas LTI LTI Representación Representación Ejemplo: diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] + 5x[n-1] - 2y[n-1] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 19 / 60
20 Sistemas Sistemas Sistemas LTI LTI Representación Representación Serie Paralelo Mixto Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 20 / 60
21 Definición Definición x[n]: entrada al sistema. h[n]: respuesta al impulso del sistema. y[n]: salida del sistema a la entrada x[n]. x[n] h[n] y[n] Sistema LTI Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 21 / 60
22 Definición Definición Propiedades Propiedades de de sistemas sistemas LTI LTI x 1 [n] y 1 [n] x 2 [n] y 2 [n] a.x 1 [n] + b.x 2 [n] a.y 1 [n] + b.y 2 [n] Linealidad x[n] y[n] x[n-k] y[n-k] Invariancia temporal Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 22 / 60
23 Definición Definición Sumatoria Sumatoria de de impulsos impulsos x[n] n x[n] = k= x[k]. δ[n k] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 23 / 60
24 Definición Definición y(k) = N 1 i= 0 x(i)h[(k i)] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 24 / 60
25 Propiedades Propiedades Conmutativa si existe x y x y = y x Asociativa si existe (x y) z (x y) z = x (y z) Distributiva si existen x y y x z x (y+z) = x y + x z Conmutativa con respecto al producto por un escalar si existe x y a.(x y) = (a.x) y = (a.y) x Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 25 / 60
26 Cálculo Cálculo Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n] Entrada: x[n] = [1, 2, 2] x[n] h[n] ,5 n n Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 26 / 60
27 Cálculo Cálculo Multiplicación término a término Sumatoria de convolución Matricialmente Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 27 / 60
28 Cálculo Cálculo Multiplicación Multiplicación término término a a término término x[n] h[n] x [0].δ[n] h 0 [n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0] x [1].δ[n-1] h 1 [n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0] x[2].δ[n-2] h 2 [n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1] y[n] = h 0 [n] + h 1 [n] + h 2 [n] y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 28 / 60
29 Cálculo Cálculo x[-n] h[n] Sumatoria Sumatoria de de convolución convolución x[1-n] x[2-n] y[-2] = x[-n-2]. h[n] = 0 y[-1] = x[-n-1]. h[n] = 0 y[0] = x[-n]. h[n] = 2 y[1] = x[1-n]. h[n] = 5 x[3-n] y[2] = x[2-n]. h[n] = 6.5 y[3] = x[3-n]. h[n] = 3 y[4] = x[4-n]. h[n] = 1 x[4-n] y[5] = x[5-n]. h[n] = 0 y[6] = x[6-n]. h[n] = 0 Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 29 / 60
30 Cálculo Cálculo Matricial Matricial y[0] = h[0].x[0] y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1] y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2] y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]... y(0) h(0) x(0) y(1) h(1) h(0) x(1) = y(2) h(2) h(1) h(0) 0.. x(2) y = H.x Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 30 / 60
31 circular circular TF x(t) y(t) X(f). Y(f) TDF x[n] y [n] x X [k]. Y[k] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 31 / 60
32 circular circular xp[-n] h[n] xp[1-n] n n y[-2] = xp[-n-2]. h[n] = 6.5 y[-1] = xp[-n-1]. h[n] = 3 xp[2-n] n y[0] = xp[-n]. h[n] = 3 y[1] = xp[1-n]. h[n] = 5 y[2] = xp[2-n]. h[n] = 6.5 n y[3] = xp[3-n]. h[n] = 3 xp[3-n] y[4] = xp[4-n]. h[n] = 3 y[5] = xp[5-n]. h[n] = 5 n y[6] = xp[6-n]. h[n] = 6.5 Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 32 / 60
33 circular circular lineal lineal vía vía TDF TDF x 1 [n] N muestras x 2 [n] N muestras x 1m [n] N+N-1 muestras x 2 [n] N+N-1 muestras x 1 [n] x 1m [n] X 1m [k] x 2 [n] x 2m [n] X 1m [k] X 1m [k].x 2m [k] x 1m [n] x 2m [n] x 1 [n] x 2 [n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 33 / 60
34 Definición Definición Identificación x [n] h [n]? y [n] Problema inverso Control x[n]? h [n] y [n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 34 / 60
35 Definición Definición x [n] h [n] y[n] = x[n] h[n] h -1 [n] x[n] = y[n] h -1 [n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 35 / 60
36 Cálculo Cálculo Matricialmente División término a término Vía Transformada Discreta de Fourier Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 36 / 60
37 Cálculo Cálculo Matricial Matricial Identificación: y[n] = X[n].h [n] h [n] = X [n] -1..y[n] Control: y[n] = H[n].x[n] x[n] = H[n] -1.y[n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 37 / 60
38 Cálculo Cálculo División División término término a a término término y[n] h[n] Derecha a izquierda: y[n] h[n] Izquierda a derecha: Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 38 / 60
39 Cálculo Cálculo Vía Vía TDF TDF x[n] N muestras X[k] N muestras h[n] M muestras H[k] M muestras y[n] N+M-1muestras Y[k] N+M-1 muestras circular Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 39 / 60
40 Cálculo Cálculo Vía Vía TDF TDF Paso 1: calcular la respuesta al impulso del sistema inverso h -1 [n] Paso 2: modificar h -1 [n] agregando N-1 ceros Paso 3: calcular H -1 [k] Paso 4: multiplicar Y[k] con H -1 [k] Paso 5: antitransformar con TDFI Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 40 / 60
41 Efectos Efectos del del ruido ruido x[n] h [n] y [n] y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 41 / 60
42 Efectos Efectos del del ruido ruido x[n] h[n] y[n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 42 / 60
43 Efectos Efectos del del ruido ruido Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 43 / 60
44 Efectos Efectos del del ruido ruido Ruido Ruido en en la la entrada entrada r[n] x[n] y[n] x d [n] h[n] -1 h[n] Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 44 / 60
45 Efectos Efectos del del ruido ruido Ruido Ruido en en la la salida salida r[n]= sin(2.π.1.t) r[n]= sin(2.π.5.t) r[n]= sin(2.π.10.t) r[n] x[n] y[n] x d [n] h[n] h[n] -1 Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 45 / 60
46 Efectos Efectos del del ruido ruido Ruido Ruido en en la la salida salida Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 46 / 60
47 Definición Definición Electroencefalograma Electromiograma Potenciales evocados auditivos Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 47 / 60
48 Definición Definición t 1 t 2 X 1 [n] X 2 [n] Proceso aleatorio X M [n] γ ( τ) = E[X(t )X(t xx 1 2 )], τ = t 2 -t 1 Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 48 / 60
49 Definición Definición Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico R xx ( τ) = x(t) x(t + τ) dt R xy ( τ) = x(t) y(t + τ) dt r xx (k) = n= x [] n.x[ n + k] r xy (k ) = n= x [] n.y[ n + k ] Función de autocorrelación Función de correlación cruzada Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 49 / 60
50 Interpretación Interpretación Espacio de señales + Producto interno r xx (k) = x[] n.x[ n + k] n=, para - k N m 1 1 r xx(k) = x[] n.x[ n + k], para 0 k N-1 N n= 0 Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 50 / 60
51 Propiedades Propiedades x[n], y[n] son reales r xx (k), r yy (k), r xy (k) son reales. r xy (k) = r yx (-k) r xx (k) = r xx (-k) si x[n] = x[n+t], T N r xx (k) = r xx (k+t) r xx (k) r xx (0) Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 51 / 60
52 Aplicaciones Aplicaciones Medición Medición de de tiempos tiempos Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 52 / 60
53 Aplicaciones Aplicaciones Detección Detección de de señales señales Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 53 / 60
54 Aplicaciones Aplicaciones Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 54 / 60
55 Aplicaciones Aplicaciones Detección Detección de de señales señales Artefacto del estímulo Onda M SEMG voluntario Amplitud (mv) T i e m p o ( s e g ) Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 55 / 60
56 Aplicaciones Aplicaciones Extracción Extracción de de señales señales Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 56 / 60
57 Aplicaciones Aplicaciones Estimación Estimación espectral espectral Teorema de Wiener Khintchine P xx (f) = To R To xx ( τ).e j2πft.dτ = 1 2T o To To x(t).e j2πft. dτ 2 P xx (f) = N 1 rxx m= (N 1) [ ] m. e j2πmf Método de Bartlett Método de Welch Método de Blackman - Tukey Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 57 / 60
58 Correlación Correlación - - r xy (k) = x[] n.y[ n + k] n= Correlación cruzada de y[n] y x[n]. conv xy [n] = x[k].y[n k] k= Convolución lineal de y[n] y x[n]. Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 58 / 60
59 Correlación Correlación - - Correlación Convolución Paso 1: reflejar una de las secuencias. Paso 1: desplazamiento de una secuencia. Paso 2: desplazamiento de una secuencia. Paso 2: producto de las secuencias. Paso 3: producto de las secuencias. Paso 3: suma de la secuencia producto. Paso 4: suma de la secuencia producto. r xy (k) = x(k) y(-k) Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 59 / 60
60 Fin Fin de de la la clase clase Bioingeniería I Sistemas discretos 06 de Abril 60 / 60
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