3.7. Ejercicios: Sistemas discretos

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1 3.7. Ejercicios: Sistemas discretos Ejercicios: Sistemas discretos Ejercicio 1. Calcule la salida y[n] de cada uno de los siguientes sistemas para la entrada x[n] que se muestra en la figura. (1) y[n] = x[n 2] (4) y[n] = x[n 1] δ[n 3]. (2) y[n] = x[4 n] (5) y[n] = x [n] ( 1)n x [n]. (3) y[n] = x[2n]. (6) y[n] = x [ n 2]. Ejercicio 2. Determine si cada uno de los sistemas (a)-(e) de la Lista I, con entrada x[n] y salida y[n], satisface las propiedades (1)-(5) de la Lista II. Justifique sus respuestas. Lista I: Sistemas (a) y[n] = x[n]x[n 1] (b) y[n] = x[ n] (c) y[n] = x[n] + nx[n + 1] (d) y[n] = n+4 k=n 2 { x[k] x[n], si x[n] 0, (e) y[n] = 0, si x[n] < 0. Lista II: Propiedades (1) Sin memoria. (2) Invariante en el tiempo (3) Lineal. (4) Causal. (5) Estable. Ejercicio 3. Verifique que una sucesión x[n] absolutamente sumable ( n x[n] = M x < ) tiene energía finita (E = n x[n] 2 < ). Compruebe que la recíproca no es cierta. Ayuda: demuestre primero que si n x[n] = M x, entonces x[n] < N x para todo n. Ejercicio 4. Para el sistema definido por la ecuación a diferencias y[n] = (x[n]) 2 + 1, 1. Calcule la respuesta impulsiva h[n]. 2. Determine n h[n]. 3. Contradice este resultado la condición de estabilidad BIBO? C Ejercicio 5. Dos sistemas discretos H 1 y H 2 se conectan en cascada para formar un nuevo sistema H, como se muestra en la figura. Determine si los siguientes postulados son verdaderos o no. 1. H 1 y H 2 son lineales H es lineal.

2 58 3. Señales y sistemas discretos 2. H 1 y H 2 son invariantes en el tiempo H es invariante en el tiempo. 3. Si H 1 y H 2 son causales H es causal. 4. H 1 y H 2 son lineales e invariantes en el tiempo H es lineal e invariante en el tiempo. 5. H 1 y H 2 son lineales e invariantes en el tiempo H 1 H 2 = H 2 H 1 (el intercambio del orden de la conexión no cambia al sistema compuesto H). 6. Repita el inciso 5 suponiendo que H 1 y H 2 son lineales y variantes en el tiempo. 7. H 1 y H 2 no son lineales H no es lineal. 8. H 1 y H 2 son estables H es estable. 9. Muestre a través de ejemplos que los recíprocos de los incisos 1 a 8 no se verifican en general. Ejercicio 6. Cuando el sistema lineal H se excita con la entrada x 0 [n] = δ[n] la salida es y 0 [n] = h 0 [n] = δ[n] + δ[n 1]. En cambio, si la entrada es x 1 [n] = δ[n 1] la salida resulta y 1 [n] = h 1 [n] = δ[n] δ[n 1]. Calcule, si es posible, 1. la salida y 2 [n] ante una entrada x 2 [n] = aδ[n] + bδ[n 1]; 2. la salida y 3 [n] ante una entrada x 3 [n] = aδ[n 1] + bδ[n 2]. Ejercicio 7. Para el sistema lineal S con respuesta impulsiva h l [n] = a n b l u[n l], con n l 0, y a < 1, b < 1 1. Determine si es invariante en el tiempo. 2. Calcule la respuesta y 1 [n] del sistema ante una entrada escalón x 1 [n] = u[n]. 3. Calcule la salida y 2 [n] cuando se lo excita con una entrada x 2 [n] = u[n 1]. Compare y 2 [n] con y 1 [n]. En cada inciso analice los casos en que (i) a = b y (ii) a = b. Ejercicio 8. Considere tres sistemas con las siguientes relaciones entrada-salida: H 1 : y[n] = x[ n], H 2 : y[n] = ax[n 1] + b x[n] + c x[n + 1], H 3 : y[n] = x[ n], donde a, b, c son números reales. Encuentre la relación entrada-salida para el sistema interconectado. Bajo qué condiciones sobre los números a, b, c, el sistema tiene alguna de las siguientes propiedades?

3 3.7. Ejercicios: Sistemas discretos El sistema interconectado es lineal e invariante en el tiempo. 2. La relación entrada-salida del sistema completo es idéntica a la del Sistema El sistema completo es causal. Ejercicio 9. Considere el sistema de la figura. Suponga que y[n] = 0 para n < Dibuje la señal de salida cuando x[n] = δ[n]. 2. Dibuje la señal de salida cuando x[n] = u[n]. Ejercicio 10. Calcular la suma convolución de x[n] = u[n] u[n 20] con h[n], si: 1. h[n] = δ[n]. 2. h[n] = δ[n 3] 2δ[n 6]. Ejercicio 11. Calcular mediante la convolución discreta la respuesta de un sistema lineal invariante al desplazamiento, en los siguientes casos: 1. Sistema 1: 2. Sistema 2: Ejercicio 12. Ante una entrada x[n], la salida y[n] de un SLIT con respuesta impulsiva h[n] es y[n] = h[m]x[n m] = x[m]h[n m]. m m Para cada uno de los siguientes casos determine explícitamente los extremos de cada sumatoria. Suponga que las señales no son de longitud finita.

4 60 3. Señales y sistemas discretos 1. h[n] y x[n] son anticausales (h[n] = x[n] = 0 para todo n 0). 2. h[n] y x[n] son causales. 3. h[n] es causal y x[n] es anticausal. 4. h[n] es anticausal y x[n] es causal. Ejercicio 13. Sean x[n], con L 1 n U 1 y h[n], con L 2 n U 2 dos señales de duración finita, es decir, x[n] = 0 si n )L 1, U 1 ( y h[n] = 0 si n )L 2, U 2 (. 1. Determine el rango L n U donde la convolución y[n] = x[n] h[n] es no nula en términos de L 1, L 2, U 1, U Demuestre que la salida y[n] está dada por y[n] = mín(u 1,n L 2 ) mín(u 2,n L 1 ) x[k]h[n k] = x[n k]h[k]. k=máx(l 1,n U 2 ) k=máx(l 2,n U 1 ) 3. Verifique sus resultados calculando la convolución de las señales: 1, 2 n 4, 2, 1 n 2, x[n] = 0, caso contrario. h[n] = 0, caso contrario. Ejercicio 14. Calcule la salida del sistema cuya respuesta impulsiva es h[n] = a n u[n] si la señal de entrada x[n] = u[n] u[n 10]. Determine el rango L 1 n L 2 donde la salida y[n] es no nula. Ejercicio 15. Para las señales que se indican a continuación calcule analítica y gráficamente la convolución entre x[n] y h[n]. Revise las soluciones de acuerdo a los resultados del Ejercicio { 1 3n, 0 n 6, x[n] = 0, caso contrario. 2. { α n, 3 n 5, x[n] = 0, caso contrario. { 1, 2 n 2, h[n] = 0, caso contrario. { 1, 0 n 4, h[n] = 0, caso contrario. C Ejercicio 16. Efectúe las siguientes operaciones, y elabore sobre sus resultados: 1. Multiplique los números enteros 131 y Calcule la convolución de las señales {1,3,1} y {1,2,2}. 3. Multiplique los polinomios 1 + 3x + x 2 y 1 + 2x + 2x 2.

5 3.7. Ejercicios: Sistemas discretos Multiplique los números 1.31 y Ejercicio 17. Demuestre que si la entrada a un SLIT discreto es una señal periódica x[n] de período N, la salida ỹ[n] también es periódica con el mismo período N. Ejercicio 18. Si z[n] = x[n] y[n], y w[n] = x[n N 1 ] y[n N 2 ], determine la relación entre z[n] y w[n]. Ejercicio 19. Verifique que la convolución: 1. es conmutativa: x[n] y[n] = y[n] x[n]. Realice una demostración formal. 2. es asociativa (x[n] y[n]) z[n] = x[n] (y[n] z[n]) 3. Estas propiedades se satisfacen sólo si las sucesiones involucradas son estables, es decir que son absolutamente sumables. Como contraejemplo, verifique que la asociatividad no se cumple si x[n] = c = constante, y[n] = u[n], y z[n] = δ[n] δ[n 1]. Ejercicio 20. Determine, si es posible, la respuesta al impulso de los sistemas definidos por las siguientes ecuaciones entrada-salida: 1. y[n] = x[n] x[n 4], el sistema es causal. 2. y[n] = x[n] x[n 4], el sistema no es causal. 3. y[n] = 2x[n] + 4x[n 1] + 2x[n 2], el sistema es causal. 4. y[n] + y[n 1] = x[n 1], el sistema es causal. 5. y[n] + y[n 1] = x[n 1], el sistema no es causal. 6. y[n] 3y[n 1] 4y[n 2] = x[n] + 2x[n 1], el sistema es causal. Ejercicio 21. Para el sistema lineal causal descripto por la ecuación a diferencias de segundo orden y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1], 1. Determine la respuesta homogénea del sistema, es decir, las respuestas posibles si x[n] = 0 para todo n. 2. Calcule la respuesta impulsiva del sistema. 3. Calcule la respuesta del sistema si x[n] = u[n].

6 62 3. Señales y sistemas discretos Ejercicio 22. Para el sistema caracterizado por la ecuación a diferencias finitas y[n] = a x[n] + b y[n 1], y[ 1] = Obtenga la respuesta impulsiva h[n] del sistema y exprésela en forma cerrada. Es causal o no? Por qué? 2. Calcule la respuesta a una entrada escalón unitario x[n] = u[n], dando valores a los parámetros a y b de forma tal que la amplitud de la respuesta de estado estacionario sea unitaria ( y ee = lím n y[n] = 1) Ejercicio 23. Para el sistema causal caracterizado por la ecuación a diferencias finitas y[n] = ny[n 1] + x[n], y[ 1] = Determine la respuesta impulsiva h[n] para todo n. 2. El sistema es lineal? 3. El sistema es invariante en el tiempo? 4. El sistema es estable? Ejercicio 24. Analice si el sistema descrito por la ecuación a diferencias finitas y[n] ( 1) n y[n 1] = x[n], con y[ 1] = 0, es: 1. lineal; 2. causal; 3. entrada-salida estable ( BIBO estable); 4. invariante en el tiempo. I Ejercicio 25. Por qué la respuesta impulsiva de un sistema causal debe verificar h[n] = 0 para n < 0? Ejercicio 26. Si x e [n] y x o [n] son las partes par e impar de x[n], demuestre que una señal de energía finita verifica n x[n] 2 = n x e [n] 2 + x o [n] 2. n Ayuda: demuestre primero que 4x e [n]x o [n] = (x[n]) 2 (x[ n]) 2.

7 3.7. Ejercicios: Sistemas discretos 63 Ejercicio 27. La correlación entre dos señales x[n] e y[n] se define como r xy [n] = x[k]y[k l]. k Determine la relación entre la convolución x[n] y[n] y la correlación r xy [n]. M Ejercicio 28. Convolución de dos sucesiones de distinta duración. MATLAB no puede ser utilizado directamente para calcular la convolución de dos señales arbitrarias de longitud infinita. Se provee una función llamada conv que calcula la convolución entre dos sucesiones de duración finita. La función conv asume que las dos sucesiones comienzan en la muestra n = 0, y se invoca mediante y = conv(x,h) El inconveniente es que esta función no soporta información temporal para trabajar correctamente con funciones que comiencen en otro índice distinto de n = 0. El propósito de este ejercicio es solucionar este inconveniente. Implemente una función conv_m que permita tener en cuenta la información temporal de las señales. La función deberá tener como entrada no sólo las sucesiones a convolucionar, sino también un par de vectores que indiquen la extensión temporal de cada una de ellas. Por ejemplo, la sucesión x[ 3] = 1, x[ 2] = 2, x[ 1] = 3, x[0] = 4, x[1] = 3, x[2] = 2 se especificará mediante las sucesiones x = [ ]; nx = [ ]; La función deberá invocarse de la siguiente manera [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh) Pruebe su función efectuando la correlación de las siguientes sucesiones x = [ ]; nx = [-3:3]; h = [ ]; nh = [-1:4]; y revise los resultados de los ejercicios 10, 11, 13, 14 y 15. Ayuda: Los resultados del Ejercicio 13 son de utilidad para calcular correctamente la información temporal de la señal resultado de la convolución (ny en los ejemplos previos). Comentario: Las sucesiones temporales discretas pueden graficarse utilizando el comando stem. Por ejemplo, stem(nx,x) grafica la sucesión temporal x[n]. La entrada x[n], la respuesta impulsiva del sistema h[n], y la salida y[n] se pueden graficar con los siguientes comandos: figure; subplot(3,1,1);stem(nx,x); ylabel( x[n] ); subplot(3,1,2);stem(nh,h); ylabel( h[n] ); subplot(3,1,3);stem(ny,y); ylabel( y[n] ); El tamaño de los círculos puede cambiarse por medio de la propiedad MarkerSize. Por ejemplo: h = stem(ny,y) set(h, MarkerSize,2, MarkerFaceColor, b ) hace que los círculos sean más pequeños, y estén coloreados de azul.

8 64 3. Señales y sistemas discretos