Convolucion discreta

Transcripción

1 Procesamiento Digital Señales Licenciatura en Bioinformática FI-UNER discreta Setiembre 2010 Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Organización Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 1

2 x[n]: entrada al sistema. h[n]: respuesta al impulso l sistema. y[n]: salida l sistema a la entrada x[n]. x[n] h[n] y[n] Sistema LTI Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Propiedas Propiedas sistemas sistemas LTI LTI x 1 [n] y 1 [n] x 2 [n] y 2 [n] a.x 1 [n] + b.x 2 [n] a.y 1 [n] + b.y 2 [n] Linealidad x[n] y[n] x[n-k] y[n-k] Invariancia temporal Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 2

3 Sumatoria Sumatoria impulsos impulsos x[n] n x[n] = k= x[k]. δ[n k] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 y( n) = N 1 k = 0 x( k) h[( n k)] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 3

4 Propiedas Propiedas Conmutativa si existe x y x y = y x Asociativa si existe (x y) z (x y) z = x (y z) Distributiva si existen x y y x z x (y+z) = x y + x z Conmutativa con respecto al producto por un escalar si existe x y a.(x y) = (a.x) y = (a.y) x Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n] Entrada: x[n] = [1, 2, 2] x[n] h[n] ,5 n n Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 4

5 Multiplicación término a término Sumatoria convolución Matricialmente Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Multiplicación Multiplicación término término a a término término x[n] h[n] x [0].δ[n] h 0 [n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0] x [1].δ[n-1] h 1 [n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0] x[2].δ[n-2] h 2 [n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1] y[n] = h 0 [n] + h 1 [n] + h 2 [n] y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 5

6 x[-n] h[n] Sumatoria Sumatoria convolución convolución x[1-n] y[-2] = x[-n-2]. h[n] = 0 y[-1] = x[-n-1]. h[n] = 0 x[2-n] y[0] = x[-n]. h[n] = 2 y[1] = x[1-n]. h[n] = 5 x[3-n] y[2] = x[2-n]. h[n] = 6.5 y[3] = x[3-n]. h[n] = 3 y[4] = x[4-n]. h[n] = 1 x[4-n] y[5] = x[5-n]. h[n] = 0 y[6] = x[6-n]. h[n] = 0 Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Matricial Matricial y[0] = h[0].x[0] y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1] y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2] y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]... y(0) h(0) x(0) y(1) h(1) h(0) x(1) = y(2) h(2) h(1) h(0) 0.. x(2) y = H.x Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 6

7 circular circular TF x(t) y(t) X(f). Y(f) TDF x[n] y [n] X [k]. Y[k] x Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 circular circular xp[-n] h[n] xp[1-n] xp[2-n] xp[3-n] n n n n n y[-2] = xp[-n-2]. h[n] = 6.5 y[-1] = xp[-n-1]. h[n] = 3 y[0] = xp[-n]. h[n] = 3 y[1] = xp[1-n]. h[n] = 5 y[2] = xp[2-n]. h[n] = 6.5 y[3] = xp[3-n]. h[n] = 3 y[4] = xp[4-n]. h[n] = 3 y[5] = xp[5-n]. h[n] = 5 y[6] = xp[6-n]. h[n] = 6.5 Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 7

8 circular circular lineal lineal vía vía TDF TDF x 1 [n] N muestras x 2 [n] N muestras x 1m [n] N+(N-1) ceros x 2m [n] N+(N-1) ceros x 1 [n] x 1m [n] X 1m [k] x 2 [n] x 2m [n] X 2m [k] X 1m [k].x 2m [k] x 1m [n] x 2m [n] x 1 [n] x 2 [n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Intificación x [n] h [n]? y [n] Problema inverso Control x [n]? h [n] y [n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 8

9 x [n] h [n] y[n] = x[n] h[n] h -1 [n] x[n] = y[n] h -1 [n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Matricialmente División término a término Vía Transformada Discreta Fourier Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 9

10 Matricial Matricial Intificación: y[n] = X[n].h [n] h [n] = X [n] -1..y[n] Control: y[n] = H[n].x[n] x[n] = H[n] -1.y[n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 División División término término a a término término y[n] h[n] Derecha a izquierda: Izquierda a recha: y[n] h[n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 10

11 Vía Vía TDF TDF x[n] N muestras X[k] N muestras h[n] M muestras H[k] M muestras y[n] N+M-1muestras Y[k] N+M-1 muestras circular Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Vía Vía TDF TDF Paso 1: calcular la respuesta al impulso l sistema inverso h -1 [n] Paso 2: modificar h -1 [n] agregando N-1 ceros Paso 3: calcular H -1 [k] Paso 4: multiplicar Y[k] con H -1 [k] Paso 5: antitransformar con TDFI Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 11

12 l l x [n] h [n] y [n] y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 l l x[n] h[n] y[n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 12

13 l l Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 l l Ruido Ruido en en la la entrada entrada r[n] x[n] y[n] x d [n] h[n] -1 h[n] Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 13

14 l l Ruido Ruido en en la la salida salida r[n]= sin(2.π.1.t) r[n]= sin(2.π.5.t) r[n]= sin(2.π.10.t) r[n] x[n] y[n] x d [n] h[n] h[n] -1 Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 l l Ruido Ruido en en la la salida salida Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 14

15 Electroencefalograma Electromiograma Potenciales evocados auditivos Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 t 1 t 2 X 1 [n] X 2 [n] Proceso aleatorio X M [n] γ xx ( τ) = E[X(t 1 )X(t 2 )], τ = t 2 - t 1 Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 15

16 Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico R xx ( τ) = x(t) x(t + τ) dt R xy ( τ) = x(t) y(t + τ) dt rxx (k) = x n= [ n].x[ n + k] r xy (k ) = n = x [ n].y[ n + k ] Función autocorrelación Función correlación cruzada Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Interpretación Interpretación Espacio señales + Producto interno r xx (k) = n= x n] x[ n + k] [, para - k 1 N m 1 xx (k) = N n= 0 x[ n] x[ n + k] r, para 0 k N-1 Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 16

17 Propiedas Propiedas x[n], y[n] son reales r xx (k), r yy (k), r xy (k) son reales. r xy (k) = r yx (-k) r xx (k) = r xx (-k) si x[n] = x[n+t], T N r xx (k) = r xx (k+t) r xx (k) r xx (0) Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Medición Medición tiempos tiempos Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 17

18 Detección Detección señales señales Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 18

19 T i e m p o ( s e g ) Detección Detección señales señales Artefacto l estímulo Onda M SEMG voluntario Amplitud (mv) Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Extracción Extracción señales señales Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 19

20 Estimación Estimación espectral espectral Teorema Wiener Khintchine P xx (f) = To R xx To ( τ).e j2πft.dτ = 1 2T o To To x(t).e j2πft. dτ 2 P xx (f) = N 1 rxx m= (N 1) [ m ]. e j2πmf Método Bartlett Método Welch Método Blackman - Tukey Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Correlación Correlación - - r xy (k) = x[ n ].y [ n + k] n= Correlación cruzada y[n] y x[n]. conv xy [n] = x[k].y[n k] k= lineal y[n] y x[n]. Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 20

21 Correlación Correlación - - Correlación Paso 1: reflejar una las secuencias. Paso 1: splazamiento una secuencia. Paso 2: splazamiento una secuencia. Paso 2: producto las secuencias. Paso 3: producto las secuencias. Paso 3: suma la secuencia producto. Paso 4: suma la secuencia producto. r xy (k) = x(k) y(-k) Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 Fin Fin la la clase clase Procesamiento Digital Señales discreta Septiembre / 42 21