SEÑALES Y SISTEMAS Clase 13

Transcripción

1 SEÑALES Y SISTEMAS Clase 13 Carlos H. Muravchik 19 de Abril de / 27 Habíamos visto: 1. Sistemas lineales con entradas aleatorias. 2. Introducción a la Transformada de Fourier Y se vienen: Repaso de Transformada de Fourier Existencia. Simetrías. Propiedades. Pares transformados usuales. TF de pulso gaussiano. Derivación, Integración. Convolución. Respuesta en frecuencia de SLIT (si entra) 3 / 27

2 Análisis frecuencial Motivación Aprovecha intuición sobre funciones periódicas Convierte convolución en multiplicación punto a punto Describe cómo se reparte la energía Relación (casi) biunívoca entre 2 dominios ( puntos de vista ) Diagonaliza el operador convolución (postgrado). Para SyS: en SLIT, entra un coseno y sale un coseno de la misma frecuencia. 5 / 27 Transformada de Fourier Definición: Transformada de Fourier directa (o integral de Fourier o ecuación de análisis): X(f ) = F{x( )}(f ) x(t)e j2πft dt Transformada de Fourier inversa (o ecuación de síntesis): x(t) = F 1 {X( )}(t) X(f )e j2πft df 6 / 27

3 Transformada de Fourier Interpretación: Medida de parecido con exponenciales complejas de frecuencia fija: 7 / 27 Transformada de Fourier - Existencia Condiciones de Dirichlet: Si queremos que: X(f ) = F{F 1 {X( )}(t)}(f ) x(t) = F 1 {F{x( )}(f )}(t) Es suficiente que se cumplan simultáneamente: x es absolutamente integrable x <. x tiene un número finito de máximos y mínimos dentro de cualquier intervalo finito. x tiene un número finito de discontinuidades finitas dentro de cualquier intervalo finito. 8 / 27

4 Transformada de Fourier - Existencia 2 Si x(t) es discontinua en t 0 se obtiene: ˆx(t 0 ) = F 1 {F{x( )}(f )}(t 0 ) = x(t+ 0 ) + x(t 0 ) 2 Hay señales de uso frecuente (constantes, escalón, senoidales) que no cumplen con las condiciones de Dirichlet (CD). Para que esas señales tengan transformada se recurre al uso de distribuciones (delta de Dirac). 9 / 27 Transformada de Fourier - Simetrías Como: X(f ) = x(t)e j2πft dt ó x X e j2πft = cos(2πft) j sen(2πft) }{{}}{{} par impar y usando que x impar = 0, descomponiendo se tiene x = p + n = p R + jp I + n R + jn I ; X = P + N = P R + jp I + N R + jn I x = p R + jp I + n R + jn I F F 1 F F 1 F F 1 F F 1 X = P R + jp I + jn I + N R Si x es real X es Hermítica, es decir X(f ) = X ( f ) 10 / 27

5 Transformada de Fourier - Propiedades 1 Dualidad: Si x X 1. x (t) X ( f ) 2. X( t) x(f ) x par X par entonces x(t) X(f ) y también X(t) x(f ) 3. x( t) X( f ) Linealidad: Si x X e y Y ; con α, β C, entonces αx(t) + βy(t) αx(f ) + βy (f ) Áreas: Si x X, 1. X(0) es el área bajo la curva de x(t) 2. x(0) es el área bajo la curva de X(f ) 11 / 27 Transformada de Fourier - Propiedades 2 Translación: Si x X, t 0 R y f 0 R entonces x(t t 0 ) e j2πft 0 X(f ) x(t)e j2πf 0t X(f f 0 ) Similaridad: Si x X y a R entonces x(at) 1 X(f /a) a Translación y similaridad juntos: Si x X y a, b R entonces x(at b) = x (a(t b/a)) 1 a X(f /a)e j2πf b a 12 / 27

6 Transformada de Fourier - Propiedades 3 Derivación: Si x X, entonces dx dt (t) = x (t) j2πfx(f ) j2πtx(t) dx df (f ) = X (f ) Notar que al derivar se incrementan las altas frecuencias (recordar lo dicho al ver diagrama en bloques para SLIT). Integración: Si x X y a R entonces t x(λ)dλ X(f ) j2πf + X(0)δ(f ) 2 Notar que al integrar se atenúan las altas frecuencias. 13 / 27 Transformada de Fourier - Propiedades 4 Convolución: Si x X e y Y entonces {x y}(t) X(f )Y (f ) Multiplicación: Si x X e y Y entonces x(t)y(t) {X Y }(f ) 14 / 27

7 TF - Algunos pares transformados 1 x(t) = e αt u(t), α > 0 e αt u(t) 1 α + j2πf α > 0 x(t) = e α t, α > 0 e α t 2α α 2 + 4π 2 f 2 α > 0 x(t) = δ(t) δ(t) 1 x(t) = 1 1 δ(f ) por dualidad (2) (x(t) = 1 no es módulo integrable!!) 15 / 27 TF - Algunos pares transformados 2 Cajón: x(t) = (t) Signo: x(t) = sgn(t) (t) sinc(f ) = sen(πf ) πf sgn(t) 1 jπf = j πf 1 jπt sgn(f ) Escalón: x(t) = u(t), (no es módulo integrable!!) u(t) = 1 (1 + sgn(t)) 2 u(t) 1 ( δ(f ) + 1 ) 2 jπf 16 / 27

8 TF - Algunos pares transformados 3 Exponencial compleja: x(t) = e j2πf0t con f 0 R e j2πf0t δ(f f 0 ) Coseno: x(t) = cos(2πf 0 t) cos(2πf 0 t) 1 2 (δ(f + f 0) + δ(f f 0 )) Seno: x(t) = sen(2πf 0 t) sen(2πf 0 t) 1 2j ( δ(f + f 0) + δ(f f 0 )) Pulso gaussiano: x(t) = e πt2 e πt2 e πf 2 17 / 27 Pulso Gaussiano 1 Es simplemente una forma de pulso redondeado. Definición: p g (x) = e πx 2 x = ±1 donde cambia la concavidad. Ver en escala lineal. Pulso con soporte infinito. Ver en escala logarítmica. 18 / 27

9 Pulso Gaussiano 2 Con la escala adecuada, su TF es el mismo pulso gaussiano. P g (s) = = = e πs2 e πx 2 e j2πsx dx = e π(x 2 +j2sx s 2) e πs2 dx = e π(x+js)2 dx = e πs2 e (πx 2 +j2πsx) dx = observe el truco de completar a un cuadrado perfecto y usar que 1 e (x µ)2 /2σ 2 dx = 1 2πσ 2 El p g tiene el mismo gráfico que una fdp gaussiana de media cero y varianza σ 2 = 1 2π 19 / 27 Transformada de Fourier - Modulación Si x X y f 0, t o R entonces g(x)cos(2πs 0 x) 1 2 (G(s + s 0) + G(s s 0 )) x(t)sen(2πf 0 t) j 2 (X(f + f 0) X(f f 0 )) De forma dual 1 2 (x(t + t 0) + x(t t 0 )) X(f )cos(2πft 0 ) 20 / 27

10 Otra motivación para la TF Respuesta de SLIT a exponenciales imaginarias: x(t) = e j2πf 0t y(t) = x(t τ)h(τ)dτ = y(t) = e j2πf 0t e j2πf 0τ h(τ)dτ e j2πf 0(t τ) h(τ)dτ y(t) = H(f 0 )e j2πf 0t con H(f 0 ) = h(τ)e j2πf 0τ dτ 22 / 27 Respuesta de sistemas lineales a exponenciales complejas H(f 0 ) es un número complejo (Ojo!! Tiene parte real e imaginaria - o módulo y fase -). Conclusión: En un SLIT cuando entra una exponencial compleja, sale una exponencial compleja de la misma frecuencia. Pero su amplitud y fase cambian de acuerdo a H(f 0 ), que depende del sistema en cuestión. Las exponenciales complejas son autofunciones de los SLIT y los correspondientes valores H(f 0 ) autovalores Qué ocurre cuando a un SLIT entra un coseno? 23 / 27

11 Respuesta en Frecuencia de SLIT Si variamos la frecuencia de la exponencial compleja de entrada, obtenemos H(f ) = h(t)e j2πft dt que es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional del sistema. Por este motivo, H(f ) se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema. 24 / 27 Respuesta en Frecuencia de SLIT Sea un SLIT con respuesta impulsional h(t). Sean x(t) e y(t) la entrada y la salida de dicho sistema respectivamente. Como y(t) = {x h}(t) Utilizando propiedades de la TF llegamos a que Y (f ) = H(f )X(f ) donde H(f ) es la respuesta en frecuencia del sistema. Atención: Siempre existe H(f )? 25 / 27

12 Próxima Clase Correlación determinística y Transformada. Energía. Interpretación como densidad espectral de energía. Teoremas de Rayleigh, y Parseval. 27 / 27