Capítulo 2: Sistemas de Comunicación

Transcripción

1 Capítulo 2: Sistemas de Comunicación 2.1 Introducción En este capítulo se presentan los distintos elementos que conforman un sistema de comunicación, cubriendo de esta manera distintos conceptos tales como señales, sus tipos y propiedades. Este capítulo está conformado por la caracterización de las señales así como en el dominio del tiempo y también en el dominio de la frecuencia. Se mencionan también las características y propiedades de los sistemas de comunicación, elementos necesarios para la elaboración de un esquema de comunicación básico, filtros, y la matemática necesaria para su comprensión, Y finalmente se muestra en qué consisten las densidades espectrales obtenidas de un sistema así como su función de correlación 2.2 Caracterización de Señales en el Dominio del Tiempo Definición de una Señal En sistemas de comunicaciones una señal se representa por una función del tiempo la cual describe una variedad de fenómenos físicos que contienen algún tipo de información (voz, voltaje o corriente, sonido, imagen o video, temperatura, etc.)[1] Clasificación de las Señales Continua, Discreta y Digital Si la señal puede tomar cualquier valor en cualquier instante de tiempo x(t), es decir, si es una función continua en el tiempo y continua en amplitud, o analógica como puede verse en la figura 2.1. La variable tiempo se representa mediante la letra t en el eje x, y la señal mediante x(t) en el eje y. 5

2 Figura 2.1 Señal Continua. Si la señal es evaluada en valores enteros, está puede tomar cualquier valor real o complejo. Entonces se dice que la señal es discreta., Un ejemplo de este tipo de señales se ilustra en la figura 2.2. La variable independiente en la figura 2.2 se representa con la letra n y la señal mediante x[n]. Figura 2.2 Señal Discreta. Si la señal es continua en el tiempo y discreta en amplitud, es decir, la señal está definida en todo instante de tiempo t, pero únicamente puede tomar ciertos valores de amplitud prefijados, que no tienen por qué ser reales, como puede verse en la figura 2.3. Se representa de igual forma que la señal continua, es decir mediante x(t). Figura 2.3 Señal Discreta en Amplitud. 6

3 Si la señal es discreta tanto como en la variable tiempo como en amplitud, se dice que la señal es digital como puede verse en la figura 2.4. Se representa igual que la señal discreta x[n]. Mientras que la variable tiempo puede tomar únicamente valores enteros, la amplitud toma valores discretos (eje Y), pero que no tienen por qué ser enteros. Normalmente está señal digital se ve sometida a un proceso de codificación convirtiéndola en digital. Figura 2.4 Señal Digital. Una señal analógica x(t) como se observa en la figura 2.5(a), puede convertirse a una señal discreta Como resultado de un proceso denominado muestreo, la señal discreta x[n] que se obtiene, es como la que se ilustra en la figura 2.5(b). Si ahora se realiza otro proceso denominado cuantificación, es posible discretizar y codificar a la amplitud obteniéndose así una señal digital x[n], tal y como se observa en la figura 2.5(c) Este proceso es denominado digitalización [1]. (a) (b) (c) Figura 2.5 Digitalización de un señal continua (a) señal después del muestreo (b) y una vez cuantificada (c). 7

4 Periódica y No Periódica Una señal periódica es aquella que satisface la condición dada por la ecuación (2.1). ( ) ( ) (2.1) El valor menor de T 0 que satisface esta condición se denomina período de g(t). El período T 0 define un ciclo completo de g(t). Cualquier otra señal que no satisfaga la condición dada por la ecuación (2.1) es una señal no periódica Determinística y Aleatoria Una señal determinística es aquella que no se sabe con anterioridad su valor en cualquier instante de tiempo. Se especifica completamente como una función del tiempo. Una señal aleatoria es cuando existe incertidumbre en el valor que toma esa señal en cada instante de tiempo. Se puede considerar dicha señal como perteneciente a un conjunto infinito de señales de modo que no se sabe cuál de ellas es la que realmente define nuestra señal. 2.3 Caracterización de Señales en Dominio de la Frecuencia Series de Fourier Sea g p (t) una señal periódica con período T 0. Utilizando la expansión en series de Fourier se puede representar la señal como una suma infinita de senos y cosenos según la ecuación (2.2) donde a n y b n son las amplitudes desconocidas de los términos de la serie y representan los coeficientes de Fourier. 8

5 [ ( ) ( )] (2.2) La cantidad representa el n-ésimo armónico de la frecuencia fundamental f 0 =. Las funciones ( ) ( ) se denominan funciones básicas. Estas funciones básicas forman un conjunto ortogonal en el intervalo T 0 y cumplen las relaciones de las ecuaciones (2.3) [1]. ( ) ( ) { (2.3.1) ( ) ( ) (2.3.2) ( ) ( ) { (2.3.3) Para determinar el coeficiente a 0 es necesario integrar en T 0 en ambos lados de la ecuación (2.1) y simplificar, dando como resultado la ecuación (2.4) que corresponde con la media temporal. ( ) (2.4) Para determinar a n antes y b n es necesario emplear las integrales de la ecuación (2.5) 9

6 ( ) ( ) ( ) ( ) (2.5) Para que una señal pueda representarse mediante series de Fourier se tienen que cumplir las siguientes condiciones: La función g p (t) tome un valor único para cada instante t en un intervalo T 0 dado. La función g p (t) tenga un número finito de discontinuidades en un intervalo T 0 dado. La función g p (t) tenga un número finito de máximos y mínimos en un intervalo T 0 dado. La función g p (t) sea absolutamente integrable en T 0, es decir, se tiene que cumplir la ecuación (2.6). ( ) (2.6) Estas condiciones son comúnmente cumplidas por las señales, son denominas condiciones de Dirichlet. La expansión en series de Fourier se puede representar de una manera más simple y elegante utilizando para ello las funciones exponenciales complejas. Para ello hay que tener en cuenta las relaciones dadas por la ecuación (2.7). ( ) [ ( ) ( )] (2.7) 10

7 ( ) [ ( ) ( )] Sustituyendo las relaciones dadas por la ecuación (2.7) en la ecuación (2.2) se obtiene la ecuación (2.8). ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] (2.8) Si ahora llamamos C n al coeficiente complejo definido en la ecuación (2.9). { (2.9) Entonces la expresión de la ecuación (2.8) se transforma en la siguiente ecuación. ( ) ( ) (2.10) Donde esta definido por ( ) ( ) (2.11) Esta expansión se suele denominar serie de Fourier exponencial compleja. De esta manera dada una señal g p (t) utilizando la ecuación (2.11) se pueden calcular los coeficientes de la serie compleja de Fourier C n. 11

8 La representación de una señal periódica en una serie de Fourier es equivalente a la superposición de un conjunto de señales senoidales y cosenoidales cuyas componentes de frecuencias se ubican en etc. Los coeficientes C n en general van a ser números complejos, por lo tanto van a poder ponerse según la ecuación (2.12). (2.12) C n representa la amplitud del n-ésimo armónico. La representación de c n en función de la frecuencia se denomina amplitud discreta del espectro. Por otro lado c n es la fase de cada armónico. La representación de c n en función de la frecuencia se denomina la fase discreta del espectro. En el caso de que g p (t) sea real, de la ecuación (2.11) se deduce que la amplitud discreta del espectro es una función par, mientras que la fase discreta del espectro es una función impar como se resume en la ecuación (2.13). { (2.13) Definición de Transformada de Fourier Para una señal no periódica g(t) en términos de señales exponenciales. Primero se construye una señal g p (t) de período T 0 de tal modo que g(t) define un ciclo de la función periódica. En ese caso la relación entre g(t) y g p (t) viene dada por la ecuación (2.14) [1]. ( ) ( ) (2.14) Si ahora se considera la representación en serie de Fourier de g p (t) dada por la ecuación (2.10), y si se definen los parámetros ( ) según la ecuación (2.15), 12

9 para el intervalo, entonces la ecuación (2.10) será la ecuación (2.16), y la ecuación (2.11) será la ecuación (2.17). (2.15) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.16) ( ) ( ) ( ) (2.17) Ahora suponiendo que o lo que es lo mismo que, la frecuencia discreta f n tenderá a una frecuencia continua que se puede representar mediante f. Entonces la sumatoria de la ecuación (2.16) se convierte en una integral que nos da el área bajo de la curva de la función G(f)exp( ). Entonces las ecuaciones (2.16) y (2.17) se transforman en las ecuaciones (2.18) y (2.19) respectivamente. ( ) ( ) ( ) (2.18) ( ) ( ) ( ) (2.19) Según la ecuación (2.18) podemos calcular g(t) a partir de G(f), mientras que según la ecuación (2.19) podemos calcular G(f) a partir de g(t), por lo tanto la ecuaciones (2.18) y (2.19) son dos representaciones equivalentes de una señal dada. G(f) se denomina 13

10 transformada de Fourier de g(t), mientras que g(t) sería la transformada inversa de Fourier de G(f). Para que una función g(t) tenga transformada de Fourier es también es necesario que se cumplan las condiciones de Dirichlet, antes mencionadas Ancho de Banda Una señal se dice que está en banda base cuando se puede considerar que su transformada de Fourier está limitada a la banda de frecuencias, es decir, que fuera de ese intervalo vale cero. En ese caso el ancho de banda se define como W. Una señal se dice que es pasa bandas cuando se puede considerar que su transformada de Fourier está limitada a las bandas este caso se puede definir el ancho de banda como.. En En la figura 2.6 se puede ver un ejemplo de una señal en banda base, mientras que en la figura 2.7 puede verse un ejemplo de una señal en pasa bandas. Figura 2.6 Señal banda base 14

11 2.4 Caracterización de los Sistemas Figura 2.7 Señal Paso Banda Definición de Sistema Un sistema puede definirse como un dispositivo físico que proporciona una señal de salida a partir de una señal de entrada. La señal de entrada a menudo se denomina excitación mientras que la señal de salida se denomina respuesta. Un sistema implica la transformación o representación de una señal de entrada x(t) en una señal de salida y(t). Se suele representar normalmente mediante una caja negra como puede verse en la figura 2.8. El operador T[ ] es el que realiza el mapeo entre la señal de entrada y la de salida. Dicha operación se puede poner como se indica en la ecuación (2.23)[1]. ( ) ( ) (2.23) Figura 2.8 Representación de un Sistema Propiedades de los Sistemas Linealidad Se dice que un sistema es lineal si dados a y b números complejos; x 1 (t), x 2 (t), y 1 (t) e y 2 (t) señales complejas; e y 1 (t) = T [x 1 (t)] e y 2 (t) = [x 2 (t)] son las salidas del sistema para las entradas x 1 (t) y x 2 (t) respectivamente; se cumple la ecuación (2.24). ( ) ( ) ( ) ( ) (2.24) 15

12 Invarianza Temporal Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si dado t 0 número real; x(t) e y(t) señales complejas; e y(t) = T [x(t)] es la salida del sistema para la entrada x(t); se cumple la ecuación (2.25). ( ) ( ) (2.25) Estabilidad Se dice que un sistema es estable si la respuesta a cualquier señal compleja de entrada acotada, x(t) < M está también acotada, es decir, la salida del sistema debe cumplir la ecuación (2.26). ( ) ( ) ( ) (2.26) Memoria Se dice que un sistema no tiene memoria o es sin memoria si la salida en el instante t 0 real, y(t 0 ) sólo depende de la entrada al sistema en ese mismo instante t 0, x(t 0 ), siendo y(t) = T [x(t)] la salida del sistema cuando la entrada es x(t). Se tiene que cumplir por lo tanto la ecuación (2.27). (2.27) ( ) ( ) Causalidad. Se dice que un sistema es causal si la salida de dicho sistema en el instante t 0, y(t 0 ), sólo depende del pasado y del presente de la señal de entrada x(t), siendo y(t) = T [x(t)] la señal de salida del sistema cuando la entrada es x(t). Se tiene que cumplir entonces la ecuación (2.28)[1]. 16

13 ( ) ( ) (2.28) Respuesta en Frecuencia de un Sistema Sea un sistema LTI (linear e Invariable en el tiempo) cuya respuesta al impulso es h(t) y cuya entrada sea una exponencial compleja de amplitud unitaria y frecuencia f según la ecuación (2.29). ( ) ( ) (2.29) La salida vendrá dada por la convolución de dicha entrada con la respuesta al impulso h(t), por lo tanto, se va a tener el desarrollo de la ecuación (2.30). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.30) Si ahora se define H(f) como se muestra en la ecuación (2.31), se puede obtener la salida expresada mediante la ecuación (2.32). ( ) ( ) ( ) (2.31) ( ) ( ) ( ) (2.32) La respuesta de un sistema LTI a una exponencial compleja de frecuencia f y amplitud unitario es la misma exponencial compleja cuya amplitud viene multiplicada por un coeficiente constante H(f) definido por la ecuación (2.31). H(f) se denomina función de 17

14 transferencia. La respuesta al impulso de un sistema y su función de trasferencia forman un par transformado de Fourier, es decir se cumplen las ecuaciones (2.33) y (2.34). ( ) ( ) ( ) (2.33) ( ) ( ) ( ) (2.34) Una definición alternativa de H(f) puede expresarse mediante la ecuación (2.35). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.35) Considerando una señal x(t) la cual puede expresarse en su transformada de Fourier según la ecuación (2.36) o de forma equivalente en el límite como la ecuación (2.37). ( ) ( ) ( ) (2.36) ( ) ( ) ( ) (2.37) Por lo tanto la señal de entrada puede verse como una superposición de exponenciales complejas de amplitud incremental. Debido a que el sistema es lineal, la respuesta a la superposición de exponenciales complejas a la entrada se puede desarrollar mediante la ecuación (2.38), que comparándola con la expresión para la transformada de Fourier de la salida, resulta finalmente la ecuación (2.39). 18 (2.38)

15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) (2.39) Se puede describir de forma sencilla un sistema LTI en el dominio de la frecuencia, pues según la ecuación (2.39), la transformada de Fourier de la salida es igual al producto de la transformada de Fourier de la entrada por la función de transferencia del sistema. De aquí se deduce también que la convolución en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia. La función de transferencia de un sistema LTI va a ser una función compleja de la frecuencia y se va a poder poner como módulo y fase según la ecuación (2.40), donde H(f) se denomina respuesta en amplitud y (f) respuesta en fase del sistema. ( ) ( ) ( ) (2.40) Si la respuesta al impulso h(t) es real, la función de transferencia cumple la propiedad de simetría conjugada y por lo tanto la respuesta en amplitud es una función par, mientras que la respuesta en fase es una función impar de la frecuencia(2.41). ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) (2.41) Se define el ancho de banda de un sistema como el ancho de banda de la función de transferencia H(f) Filtros Un filtro es un dispositivo que selecciona un conjunto de frecuencias y se utiliza para limitar el espectro de una señal en bandas específicas de frecuencia. Su respuesta en 19

16 frecuencia se caracteriza por ser pasa bandas y rechaza bandas ya sean frecuencias altas o frecuencias bajas. Las frecuencias dentro de las bandas de paso se transmiten a través del sistema con ninguna o con una pequeña distorsión, mientras que las frecuencias dentro de las bandas eliminadas son rechazadas por el sistema. Un filtro ideal se caracteriza porque la respuesta en frecuencia del sistema dentro de las bandas de paso equivale a la unidad, mientras que en las bandas eliminadas es cero. Un filtro ideal es irrealizable temporalmente puesto que su respuesta al impulso tiene duración infinita, pero en muchos casos el suponer filtros ideales simplifica en gran medida los cálculos, mientras que el error cometido no es muy grande puesto que los filtros utilizados en la práctica son casi ideales. Existen cuatro tipos importantes de filtros ideales: Pasa Bajas: Es un sistema que únicamente deja pasar las bajas frecuencias. Es equivalente al sistema banda base. Como se ilustra en la figura 2.8. Figura 2.8 Filtro Pasa Bajas Pasa Altas: Es un sistema que únicamente deja pasar las altas frecuencias. Mostrado en la figura 2.9. Figura 2.9 Filtro Pasa Altas 20

17 Pasa Bandas: Es un sistema que únicamente deja pasar las frecuencias comprendidas dentro de un intervalo dado. Ver figura Figura 2.10 Filtro Pasa Bandas Elimina Bandas: Al contrario que el pasa bandas este filtro deja pasar todas las frecuencias excepto las frecuencias comprendidas dentro de un intervalo dado. Como se muestra en la figura Figura 2.11 Filtro Elimina Bandas Modelado de un Sistema de Comunicaciones Analógico El propósito de un sistema de comunicaciones es transmitir señales de información desde una fuente localizada en un punto del espacio hasta un destino localizado en otro punto diferente. El caso analógico es aquel en el que las señales transmitidas son continuas. Un esquema de comunicaciones analógicas básico se muestra en la figura Figura 2.12 Modelo de un Sistema de Comunicaciones Analógico [1]. 21

18 Por lo general la señal producida por la fuente no es eléctrica y debe ser convertida a señal eléctrica mediante un transductor. En el proceso de recepción la señal eléctrica deberá ser convertida de nuevo al formato original mediante otro transductor el cual realiza la función inversa del transductor de la fuente. El transmisor modifica la señal de forma que sea adecuada para transmitirla por el canal de comunicación. Esto se realiza mediante un proceso denominado modulación, el cual consiste en variar algún parámetro de una señal sinusoidal de referencia denominada portadora según la información a transmitir. El canal de comunicaciones es el medio físico por donde va a ir la información desde el origen al destino. Puede ser de diferentes tipos: una línea de transmisión, fibra óptica, enlace de radio, etc. En nuestro caso particular se utilizó un enlace de radio el cual fue conformado por un esquema hibrido el cual consiste de una sección óptica y una sección eléctrica que para nuestro mismo sistema que nos proporciona una ventaja que es de fácil manejo y operación y altamente configurable para transmitir distintos tipos de información. En el canal de comunicación y a lo largo del de este la señal se degrada y distorsiona debido a no linealidades de la respuesta en frecuencia del canal de comunicación. Otras fuentes de degradación en el canal son el ruido y las interferencias. El ruido es debido a las variaciones aleatorias de los electrones en el medio, mientras que las interferencias son debidas a la presencia de otros canales de comunicación cercanos. La distorsión y el ruido son los principales problemas en los sistemas de comunicaciones. El transmisor y el receptor deben ser diseñados para minimizar estos problemas introducidos por el canal de comunicaciones. 22

19 Figura 2.13 Procesado realizado por un Repetidor Regenerador para recuperar la señal original. El receptor debe regenerar la señal en el formato eléctrico original, probablemente con cierta degradación residual. El proceso realizado por el receptor se denomina demodulación y es el proceso inverso a la modulación realizada en el transmisor. Entonces debido principalmente a la presencia de ruido y distorsión en el canal de comunicaciones, la señal recuperada no va ser exacta a la original. Dependiendo del esquema de modulación elegido, el efecto global de la distorsión y el ruido puede ser despreciable. En todo sistema de comunicaciones hay que intentar ahorrar potencia transmitida y ancho de banda ocupado, ya que estos implican, en caso de mal uso, incremento del costo del sistema. Dependiendo del sistema, uno de los parámetros puede ser más importante que el otro. Así podemos tener dos tipos de sistemas: Sistemas limitados por potencia transmitida, como por ejemplo los sistemas vía satélite. Sistemas limitados por ancho de banda, como por ejemplo el canal telefónico. 2.5 Formatos de Modulación Analógica Modulación es el proceso en el cual algunas características de alguna señal portadora (amplitud, frecuencia, fase) son modificadas en función de otra señal denominada señal moduladora, que para el caso de comunicaciones se denomina señal de información, y todo esto con la finalidad de que la información pueda ser propagada a 23

20 través del espacio libre y/o el canal de información, una señal en este estado se denomina señal modulada. Alguna forma de modulación es siempre requerida en un sistema de RF para transportar una señal en banda base de su forma original a un espectro de señal de RF específica. Existen muchos tipos de modulaciones, por mencionar alginas, AM, FM, Modulación por desplazamiento de amplitud (ASK), Modulación por desplazamiento de frecuencia (FSK), Modulación por desplazamiento de fase (PSK), Entre otras. Las modulaciones AM y FM son clasificadas como técnicas de modulación analógicas, mientras que las otras son modulaciones digitales [2]. En esta tesis se describe la modulación y demodulación AM debido a que es la que utilizamos en nuestro sistema de comunicación inalámbrica Modulación en Amplitud (AM) La modulación analógica utiliza una señal en banda base (señal moduladora) para variar una de las 3 variables: amplitud, frecuencia ( ) ; o fase( ). La amplitud modulada funciona variando el voltaje o amplitud de una señal en relación a la información a mandar. Por ejemplo como se observa en la figura

21 Figura 2.14 Señal AM en el dominio del tiempo [3]. Si se considera una señal moduladora (señal de información) como (2.42). ( ) ( ) (2.42) Y una señal portadora como (2.43). ( ) ( ) (2.43) Aplicando la transformada de Fourier con la propiedad de modulación a la ecuación 2.43, podemos encontrar que la densidad espectral de ( ) como se muestra en la ecuación ( ) ( ) ( ) (2.44) Por lo tanto la modulación en amplitud transporta la frecuencia de una señal por Hertz, pero deja la forma espectral sin alteración Este tipo de modulación es llamado portadora suprimida ya que la densidad de ( ) no tiene una señal portadora identificable, sin embargo el espectro está centrado a la frecuencia de [4] Demodulación en Amplitud Para recuperar la señal de información ( ) de la señal ( ) se requiere una traslación de frecuencia para desplazar el espectro a su posición original. Este es el proceso denominado demodulación o detección. Debido a que la propiedad de modulación de la transformada de Fourier es útil en traslación espectral para modulación, 25

22 entonces la utilizamos nuevamente para desmodular [4]. Asumiendo que ( ) ( ), es la señal transmitida, tenemos según la ecuación 2.45 ( ) ( ) ( ) ( ) (2.45). Y tomando la transformada de Fourier en ambos lados de la ecuación 2.45 y utilizando la propiedad de la modulación obtenemos la ecuación 2.46 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) (2.46) El proceso matemático descrito en esta sección puede ser obtenido mediante la convolución del espectro de la señal recibida con el de la señal portadora. Un filtro pasa-bajas es requerido para separar los componentes de doble frecuencias del espectro en las frecuencias originales. Para este filtro requerimos que este cuente con una frecuencia de corte para recuperar la señal íntegramente. En este caso [4]. representa la frecuencia de la información 26

23 2.7 Conclusión En este capítulo se presentaron los conceptos y definiciones necesarias para la elaboración de un sistemas de comunicaciones, para nuestro sistema solamente se utilizarán sistemas analógicos en la propagación, conceptos tales como señales continuas en el tiempo, analizadas temporalmente y espectralmente, y así conocer cómo es posible propagar una señal a través de distintos medios(canal de información, espacio libre, etc.) como es mencionado, y una vez que esta señal sea propagada mediante el transmisor se puede tener un resultado aproximado al que esperamos, en el extremo del receptor. Se hace mención de distintas maneras de manipular una señal, en el caso del filtraje, ya que podemos eliminar armónicos frecuenciales o ruidos indeseados para lograr un sistema de comunicaciones más preciso. De esta manera, es importante tener presente todos estos parámetros que influyen en un sistema y así poder evaluar si es necesario modificar parámetros que podrían afectar nuestro esquema de transmisión. 27

24 Referencias *1+ Marcos Martin Fernández, Señales y Sistemas de Comunicación, Universidad de Valladolid, *2+ Kai Chang, RF and Microwave Wireless Systems, John Wiley, [3] Modulación en Amplitud, [4] A. García, notas de clase Coherent demodulation of Microwave signals by Using Optical Heterodyne Technique with Applications to Point to Point Indoor Wireless Communications Systems, Universidad de Sonora,