Tema 5. La Transformada Z. Indice:

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María Teresa Escobar Redondo
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1 Indice: La Transformada Z Convergencia de la Transformada Z Propiedades de La Transformada Z La Transformada Z inversa Método de la División Directa Método de Descomposición en Fracciones Parciales. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1

2 1. La Transformada Z La transformada Z es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de Laplace en tiempo continuo. En la práctica aparecen muchas señales de tiempo discreto mediante el muestreo de una señal de tiempo continuo x(t). La transformada Z hace posible el análisis de ciertas señales discretas que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto; pudiéndose demostrar que la transformada Z se reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformación es unitaria ó sea cuando Z = 1. Definición La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como: Transformada Z Donde z es una variable compleja, esta transformada también es llama Transformada Z bilateral Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 2

1. La Transformada Z Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en Transformada Z unilateral, como sigue: Ejemplo 1: Dada la secuencia

3 1. La Transformada Z Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en Transformada Z unilateral, como sigue: Ejemplo 1: Dada la secuencia x[n] = d [n] Hallar la Transformada Z bilateral. La secuencia esta definida por: x[n] = X[z] = d [n] X[Z] = 1 Z 0 = 1 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 3

4 1. La Transformada Z Ejemplo 2: Sea x[n] = e -ant u[n] la secuencia obtenida al muestrear x(t) = e -at u(t) cada T segundos Hallar la Transformada Z bilateral. Sabiendo que Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 4

5 1. La Transformada Z Convergencia de la Transformada Z Es el conjunto de valores de la variable compleja z para los cuales existe la serie de potencias que definen a la transformada Z, es decir, tiene un valor finito. La convergencia de la transformada Z depende solamente de z = 1, lo cual indica un circulo unitario en el plano complejo z. Lo que muestra que la región de existencia de la Transformada z bilateral es un anillo cuyo radio r 1 depende de x[n]. Im(z) Im(z) Circulo Unitario Circulo Unitario x r 1 1 Re(z) 1 x r 1 Re(z) ROC 0 < r 1 < 1 ROC r 1 > 1 Si x[n] es la suma de varias secuencias, x [z] solo existe si hay un conjunto de valores de z para los que la transformada de cada una de las secuencia que forman la suma converge. La ROC es la intersección de las ROC de cada una de las secuencias. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 5

6 1. La Transformada Z Ejemplo 3: Dada la secuencia x[n] Hallar x[z] y la ROC. Por definición Sabiendo que para que X[Z] exista Z > 1/3 Im (z) Region de Convergencia 1 3 Re (z) Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 6

7 2. Tabla de La Transformada Z X[n] con n 0 X[Z] Radio de Convergencia d[n] 1 0 Z -m 0 U[n] 1 n 1 n 2 1 a n a na n a (n+1)a n a 1 1 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 7

8 3. Propiedades de La Transformada Z Linealidad Si X 1 [n] y X 2 [n] son dos secuencias discretas con transformadas X 1 [Z] y X 2 [Z], entonces: (a 1 X 1 [n] + a 2 X 2 [n]) = a 1 X 1 [Z] + a 2 X 2 [Z] Siendo a 1 y a 2 constantes reales Desplazamiento Temporal Sea X[n] una secuencia causal con TZ X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n 0 > 0, se tiene : ó también Ejemplo: Considere la ecuación en diferencia y[n] 1 y[n-1] = δ[n] y la condición inicial y[-1] = 3 Halle y[n] para n 0. 2 Y[Z] 1 Z -1 (Y[Z] + 3Z) = 1 2 Y[Z] - 1 Z -1 (Y[Z] + y[-1 ] Z) = 1 2 Y[Z] 1 Z -1 Y[Z] - 3 = Usando la tabla Tenemos: y[n] = 5 (1/2) n 2 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 8

9 3. Propiedades de La Transformada Z Multiplicación por a n (Escalado en Frecuencia) Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces: Ejemplo: Halle la transformada Z de X[n] = a n U[n]. Solución Por tabla sabemos que: Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 9

10 3. Propiedades de La Transformada Z Diferenciación con respecto a Z Sea la transformada Z de una secuencia causal X[n], su derivada será: De donde se deduce que: Ejemplo: Sea y[n] = n(n+1)u[n], halle y[z]. y[n] = n 2 U[n] + nu[n] De forma general tenemos: Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 10

11 3. Propiedades de La Transformada Z Convolución Dada las secuencias causales X[n] y y[n] con transformadas Z para ambas secuencias tenemos: En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante en el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que: donde H[Z] es la transformada de h[n] Ejemplo: Dadas las secuencias X[n] = {1,3,-1,-2} y la respuesta la impulso h[n] = {1,2,0,-1,1} en un sistema LTI. Hallar y[n] = X[n]*h[n], usando la Transformada Z. y[z] = 1+5Z -1 +5Z -2-5Z -3-6Z -4 +4Z -5 +Z -6-2Z -7 y[n] = {1,5,5,-5,-6,4,1,-2} Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 11

12 3. Propiedades de La Transformada Z Teorema del Valor Inicial Dada una secuencia causal X[n] se tiene que Desarrollando la sumatoria, se tiene : X[Z] = X[0] + X[1]Z X[n]Z -n Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z -n tiende a cero para todo n, por tanto: Ejemplo: Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya transformada Z es: Se puede observar que X[n] = U[n] El teorema del valor inicial es una herramienta útil para comprobar la TZ de una secuencia. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 12

13 3. Propiedades de La Transformada Z Teorema del Valor Final Sea X[n] una secuencia causal. El valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión: Siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito. Ejemplo: Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya transformada Z es: Aplicando el Teorema del Valor final se tiene: Se puede observar que X[n] = 4 -n U[n] Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 13

14 3. Propiedades de La Transformada Z Tabla de las Propiedades Función Propiedad TZ Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 14

15 4. La Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la transformada Z inversa. La Inversión de la Transformada Z se utiliza para hallar la secuencia X[n] y se define como:. Transformada Z Inversa Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán: Método de la División Directa. Método Computacional. Método de expansión en fracciones parciales. Método de la Integral de inversión. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 15

16 4. La Transformada Z inversa Métodos para obtener la Transformada Z inversa Método de la División Directa El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z] está expandida en una serie de potencias de Z -1, esto es sí entonces X[n] es el coeficiente de Z -k y por consiguiente, los valores de X[n] se pueden hallar por inspección para n= 0, 1, 2,... Ejemplo 1: Hallar la Transformada Z Inversa de la función X(z) = z z Dividiendo el numerador entre el denominador tenemos: z z z Z -1 + (0.1) 2 z (0.1) 2 z -1 (0.1) 2 z -1 Inspeccionando tenemos: X(0) = 1, X(1) = 0.1, X(2) = (0.1) 2, X(3) = (0.1) 3,X(4) = (0.1) 4. X[n] = (0.1) n u(n) X(z) = z -1 + (0.1) 2 z -2 + (0.1) 3 z -3 + (0.1) 4 z -4 + Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 16

17 4. La Transformada Z inversa Métodos para obtener la Transformada Z inversa Método de la División Directa Ejemplo 2: Hallar X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, dada X(z) Dividiendo el numerador entre el denominador: X[Z] = 10Z Z Z Z Al comparar esta expansión X[Z] en una serie infinita X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68 Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 17

18 4. La Transformada Z inversa Métodos para obtener la Transformada Z inversa Método de Descomposición en Fracciones Parciales. Es el método mas utilizado, ya que, en vista de la unicidad de la transformada Z, se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para identificar las secuencias correspondientes a los términos de la descomposición en fracciones simples. Para aplicarlo debemos colocar X(z) como una fracción en donde el grado del denominador es mayor al grado del numerador. Ejemplo 1: Hallar la Transformada Z Inversa de la función siguiente: Expandiendo en fracciones parciales tenemos: usando tabla TZ y la propiedad de desplazamiento tenemos: X[n] = 2 n-1 U[n-1] - d[n-2] - d[n-1] Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 18

19 4. La Transformada Z inversa Métodos para obtener la Transformada Z inversa Método de Descomposición en Fracciones Parciales. Ejemplo 2: Hallar la Transformada Z Inversa de la función siguiente: Expandiendo en fracciones parciales X(z)/z tenemos: Usando tabla Transformada Z tenemos: X[n] = 2n2 n u(n) + 3 u(n) - 2 n u(n) para n = 0, 1, 2,... Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 19

20 4. La Transformada Z inversa Método de Transformada Z para la solución de ecuaciones en diferencias. Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación en diferencias X[n+2] + 3X[n+1] + 2X[n] = 0 con X[0]=0, X[1]=1 Tomando la transformadas Z de ambos miembros de la ecuación en diferencias y utilizando la propiedad de traslación temporal tenemos: Z 2 X[Z] - Z 2 X[0] - ZX[1] + 3ZX[Z] - 3ZX[0] + 2X[Z] = 0 Descomponiendo en Fracciones parciales y multiplicando por z X[n] = [(-1) n - (-2) n ]U[n] Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 20

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