MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Transformada Z Inversa. Departamento de Matemáticas. X 1 (z) MFP. Ejemplo 1. Ejemplo 2.

Transcripción

1 MA3002

2 Inversa La transformada Z inversa una función variable compleja X () se fine como x(n) = 2 π i C X () n d don la integral se calcula sobre una curva cerrada simple C postivamente orientada que encierra el origen y que cae en la región convergencia (ROC) X (). A pesar la finición, es más conveniente calcular la transformada Z inversa buscando la señales que tienen como transformada Z a la expresión X (). Veremos tales métodos.

3 Método Fracciones Parciales En la mayoría las aplicaciones el problema consiste en terminar la transformada Z inversa una función racional X (). Es cir, la división entre dos polinomios. El Método Fracciones Parciales la expresión se convierte en una combinación lineal transformadas funciones básicas como δ(n), a n u(n) y n a n u(n). De ser posible tal scomposición, entonces es sencillo encontrar la transformada inversa mediante la aplicación una tabla. En muchos casos, será más conveniente primero sarrollar X ()/ en fracciones parciales, y spués spejar X () multiplicando por. Ello porque el caballito batalla es Z {a n u(n)} = /( a) y cuando multipliquemos por los factores lineales quedarán a modo.

4 Método Rápido Fracciones Parciales I Es práctico que recuer el método rápido el cálculo fracciones parciales en el caso términos lineales NO REPETIDOS: En el sarrollo fracciones parciales cuando = a NO es un cero Q() P() ( a) Q() = A a + R() Q() el valor A pue calcularse en forma inpendiente R() mediante la fórmula A = P(a) Q(a)

5 Método Rápido Fracciones Parciales II Es también práctico que recuer el método rápido el cálculo fracciones parciales en el caso términos lineales REPETIDOS: En el sarrollo fracciones parciales cuando = a NO es un cero Q() P() ( a) 2 Q() = A ( a) 2 + B ( a) + R() Q() el valor A pue calcularse en forma inpendiente R() mediante la fórmula A = P(a) Q(a) mientras que el valor B se calcula como B = P (a) A Q (a) Q(a)

6 Método Rápido Fracciones Parciales III Cuando en el nominador se tiene un cero orn tres: P() ( a) 3 Q() = A ( a) 3 + B ( a) 2 + C ( a) + R() Q() (Se supone que Q(a) 0). Entonces los coeficientes puen calcularse por las fórmulas: A = P(a) Q(a) B = P (a) A Q (a) Q(a) C = P (a) A Q (a) 2 B Q (a) 2! Q(a)

7 Calcule la transformada Z inversa X () = ( 5 )( 4 )

8 Calcule la transformada Z inversa Solución Trabajamos mejor con X () = X () = ( 5 )( 4 ) = A 5 ( 5 )( 4 ) + B 4 = Para a = /5: P() =, Q() = /4, P(a) =, Q(a) = /5 /4 = /20 y así A = 20. Para a = /4: P() =, Q() = /5, P(a) =, Q(a) = /4 /5 = /20 y así B = 20. Así X () = : x(n) = 4 ( 20 ) 5 n n u(n)

9 TI: Fracciones parciales el ejemplo El único inconveniente será que bemos hacer un poco aritmética que el coeficiente en la l nominador sea : por ejemplo, en la primera fracción bemos dividir numerador y nominador entre 4, mientras que en el segundo entre 5.

10 Calcule la transformada Z inversa X () = 2 ( 2 )( + 3 )

11 Calcule la transformada Z inversa Solución Trabajamos mejor con X () Así = X () = ( 2 )( + 3 ) = A 3 X () = x(n) = ( ( 2 )( + 3 ) + B ( 3) ) n ( = ( ) n ) u(n) 3

12 TI: Fracciones parciales el ejemplo 2 El único inconveniente será que bemos hacer un poco aritmética que el coeficiente en la l nominador sea : por ejemplo, en la primera fracción bemos dividir numerador y nominador entre 5, mientras que en el segundo entre 0.

13 Calcule la transformada Z inversa X () = = ( ( + i))( ( i))

14 Calcule la transformada Z inversa X () = Solución Trabajamos mejor con X () Así = = A ( + i) + B ( i) = X () = 2 i (+i) + 2 i x(n) = ( ( + i))( ( i)) 2 i ( + i) + 2 i ( i) ( i) ( 2 i ( + i)n + 2 ) i ( i)n u(n)

15 TI: Fracciones parciales el ejemplo 3 Es un poco más enredado, pero no tanto: bemos pensar la expresión como: p f f 2 En este caso calculamos directamente los coeficientes las fracciones.

16 Calcule la transformada Z inversa X () = = ( 3 )( 4 )

17 Calcule la transformada Z inversa X () = = ( 3 )( 4 ) Solución Trabajamos mejor con X ()/ y aplicamos fracciones parciales: Así X () = A + B 3 + C 4 = X () = ( ( ) n ( ) n ) x(n) = 24 δ(n) u(n) 3 4

18 TI: Fracciones parciales el ejemplo 4 Nuevamente bemos hacer un poco aritmética que el coeficiente en la cada nominador sea : por ejemplo, en la primera fracción bemos dividir numerador y nominador entre 4, mientras que en el segundo entre 3.

19 Calcule la transformada Z inversa X () = 2 ( ) 2 ( ) 3 2

20 Calcule la transformada Z inversa X () = 2 ( ) 2 ( ) 3 2 Solución Trabajamos mejor con X ()/ y aplicamos fracciones parciales: X () = ( ) 2 ( ) = 3 2 A ( 3 B ) 2 + ( ) + 3 Para calcular A y B: tenemos que a = /3, P() = y Q() = /2, por tanto y A = P(a) Q(a) = 3 B = P (a) A Q (a) Q(a) 3 2 = 2 = ( 2)() 6 = 8 C ( 2 )

21 (continuación) Para calcular C: tenemos que a = /2, P() = y Q() = ( /3) 2, por tanto: Así y por tanto ( x(n) = C = 2 ( 2 3) 2 = 8 X () = 2 ( ) n ( ) n 8 3 ( ) n ( ) ) n u(n) 2

22 TI: Fracciones parciales el ejemplo 5 Nuevamente bemos hacer un poco aritmética que el coeficiente en la cada nominador sea : por ejemplo, en la primera fracción bemos dividir numerador y nominador entre 3, el segundo entre 9 (pues el factor es 3 y el exponente es 2) y el tercero entre 2.

23 Calcule la transformada Z inversa X () = ( 3 )

24 Calcule la transformada Z inversa X () = ( 3 ) Trabajamos mejor con X ()/ y aplicamos fracciones parciales: X () = ( 3 ) = A 3 + B 2 + C + D 3 Aplicando los métodos fracciones parciales scritos tenemos que: A = 3, B = 9, C = 30 y D = 30 y por tanto X () = x(n) = 3 δ(n 2) 9 δ(n ) 30 δ(n) + 30 ( ) n u(n) 3

25 TI: Fracciones parciales el ejemplo 6 Nuevamente bemos hacer un poco aritmética que el coeficiente en la cada nominador sea : por ejemplo, en la primera fracción bemos dividir numerador y nominador entre 3.

26 Consire una señal gobernada por la ecuación en diferencias: y(n) = 2 x(n) x(n ) + 3 x(n 2)+ 9 y(n ) y(n 2) con condiciones iniciales y( ) = 3 y y( 2) = 2 una entrada x(n) = u(n), la función escalón unitario.

27 Consire una señal gobernada por la ecuación en diferencias: y(n) = 2 x(n) x(n ) + 3 x(n 2)+ 9 y(n ) y(n 2) con condiciones iniciales y( ) = 3 y y( 2) = 2 una entrada x(n) = u(n), la función escalón unitario. Aplicaremos la transformada Z en ambos miembros utiliando las propiedas: Z {x(n)} = ; Z {x(n )} = ; Z {x(n 2)} = ( ) Z {y(n)} = Y (); Z {y(n )} = y( ) + Y () = 3 + Y () Z {y(n 2)} = y( 2) + y( ) + 2 Y () = Y ()

28 (continuación) Aplicando en ambos miembros la transformada Z y obtenemos Y () = ( ) (3 + Y ()) 20 ( Y ()) Después multiplicar por 2 tenemos: 2 Y () = (2 ( 2 + 3) ) ( ) Y () 20 De don: ( ) Y () = (2 ( 2 + 3) ) 20 Así: Y () = (2 2 +3) ( ) + 20 ( ) 20 ( )

29 (continuación) Factoriando nominadores: Y () = ( ) ( ( ) + 5) 4 don: y(n) = 20 ( ) n ( ) n = 20 ( ) n ( ) n válida, n = 0,, 2,... ( ) ) ( 20 4 ( 5 ( ) n ) ( ) n 4

30 (continuación) y(n) = 20 ( ) n ( ) n = 20 ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n 4 Particular Transitoria Con entrada cero Estado estable

31 Capítulo 0 : D. Sundararajan: A practical approach to Signals and Systems John Wiley and Sons.