Teorema de Cayley-Hamilton

Transcripción

1 Espacio las Teorema - Algebra Espacio las Teorema -

2 Espacio las Teorema - Veamos algunos resultados sobre transformaciones lineales En particular, el teorema -

3 Espacio las Teorema - las Transformaciones lineales Sean V 1, V 2 y V 3 tres espacios vectoriales Si T 1 y T 2 son dos transformaciones lineales V 1 en V 2 entonces T 1 + T 2 es una transformación lineal V 1 en V 2 Recuer la finición: (T 1 + T 2 )(x) = T 1 (x) + T 2 (x) Sea T una función lineal V 1 en V 2 y c un escalar cualquiera entonces c T es una transformación lineal V 1 en V 2 Recuer la finición: (c T )(x) = c T (x) Si T 1 es una transformación lineal V 1 en V 2 y T 2 es una transformación lineal V 2 en V 3 entonces T 2 T 1 es una transformación lineal V 1 en V 3 Recuer la finición: (T 2 T 1 )(x) = T 2 (T 1 (x))

4 Espacio las Teorema - Sean V 1, V 2 y V 3 tres espacios vectoriales dimensión finita; B 1, B 2, y B 3 bases para ellos Si T 1 y T 2 son dos transformaciones lineales V 1 en V 2 entonces [T 1 + T 2 ] B 2 B 1 = [T 1 ] B 2 B 1 + [T 2 ] B 2 B 1 Sea T una función lineal V 1 en V 2 y c un escalar cualquiera entonces [c T ] B 2 B 1 = c [T ] B 2 B 1 Si T 1 es una transformación lineal V 1 en V 2 y T 2 es una transformación lineal V 2 en V 3 entonces [T 2 T 1 ] B 3 B 1 = [T 2 ] B 3 B 2 [T 1 ] B 2 B 1

5 Espacio las Teorema - Sea V un espacio vectorial dimensión finita, T una transformación lineal V en si mismo y sea B una base para él El polinomio característico T se fine como: ) p T (t) = t ([T 1 ] B B t I Resultado: El polinomio característico una transformación lineal es inpendiente la base; es cir, calculado por dos bases cualquiera se obtiene el mismo resultado

6 Espacio las Teorema - Sea V un espacio vectorial y T una transformación lineal V en V Defina La función cero 0 : V V como 0(x) = 0 V La función intidad I : V V como I(x) = x La n-ésima composición T : T 0 = I T 1 = T T n+1 = T T n, para n 0 Si p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, fina p(t ) = a n T n + a n 1 T n a 1 T + a 0 I Así p(t ) es una transformación lineal V en V

7 Espacio las Teorema - Sean V un espacio vectorial dimensión finita, T una transformación lineal V en V, B una base para V, y q(t) un polinomio Entonces ) [q(t )] B B ([T = q ] B B

8 Espacio las Teorema - Espacio T-cíclico Sean V un espacio vectorial y T una transformación lineal V en V Diremos que el subespacio W V es T-cíclico si existe un vector x W tal que W = Gen { x, T (x), T 2 (x), } En este caso a W se le simboliza por

9 Espacio las Teorema - Subespacio T-invariante Sean V un espacio vectorial y T una transformación lineal V en V Diremos que el subespacio W V es T-invariante si para todo vector x W, se tiene que T (x) W Hechos: es un espacio T -invariante Si V es dimensionalmente finito y W es T -invariante, el polinomio característico T W divi al polinomio característico T

10 Espacio las Teorema - Sean V un espacio vectorial dimensión finita, T una transformación lineal V en V, y W = el espacio cíclico generado por x Supóngase que dim ( ) = k 1 Entonces { x, T (x),, T k 1 (x) } es una base para W Si T k (x) = a 0 x a 1 T (x) a k 1 T k 1 (x), entonces el polinomio característico T W es p TW (t) = ( 1) k ( a 0 + a 1 t + + a k 1 t k 1 + t k) Observe que p TW (t) anula a x y por consiguiente anula a todo elemento

11 Espacio las Teorema - Teorema - Sean V un espacio vectorial dimensión finita y T una transformación lineal V en V Entonces el polinomio característico T anula a T : p T (T ) = 0 Se be probar que p T (x) = 0 para todo x Tómese un x cualquiera V y consirese el espacio W = Dos cosas importantes El polinomio característico p TW (t) divi a p T (T ) p TW (x) = 0

12 Espacio las Teorema - Definición la Suma dos transformaciones lineales Sean T 1 y T 2 funciones lineales l espacio vectorial V 1 en V 2 Recuer la finición puntual la suma (T 1 + T 2 )(x) = T 1 (x) + T 2 (x) Esto lo pue visualizar si imagina que las funciones están dadas por tablas: x T 1 T 2 T 1 + T 2 x 1 y 1 z 1 y 1 + z 1 x 2 y 2 z 2 y 2 + z 2 x 3 y 3 z 3 y 3 + z 3 1

13 Espacio las Teorema - Definición l producto una función por una constante Sean T una transformación lineal l espacio vectorial V 1 en V 2 Recuer la finición l producto por una constante por una función lineal (c T )(x) = c T (x) Esto lo pue visualizar si imagina que la función está dada por una tabla: x T c T x 1 y 1 c z 1 x 2 y 2 c z 2 x 3 y 3 c z 3 1

14 Espacio las Teorema - Definición la composición dos funciones Si T 1 es una función V 1 en V 2 y T 2 es una función V 2 en V 3 entonces T 2 T 1 es una función V 1 en V 3 finida en forma puntual: (T 2 T 1 )(x) = T 2 (T 1 (x)) Esto lo pue visualizar si imagina que las funciones están dadas por tablas: x T 1 x 1 y i1 x 2 y i2 x 3 y i3 y T 2 y 1 z 1 y 2 z 2 y 3 z 3 y i1 z i1 = x T 2 T 1 x 1 T 2 (y i1 ) x 2 T 2 (y i2 ) x 2 T 2 (y i3 ) 1