Transformada Z y sus Aplicaciones en Sistemas LTI

Transcripción

1 Transformada Z y sus Aplicaciones en Sistemas LTI Qué es la transformada Z? Es una representación para señales en tiempo discreto mediante una serie infinita de números complejos. Es una herramienta muy útil y poderosa para estudiar sistemas en tiempo discreto, y es el equivalente a la transformación de Laplace, pero en tiempo discreto. Existen formas de ir del plano S al plano Z, vinculando estas dos transformadas aun mejor. Definición: Transformada Directa (de soporte doble) X() = k= x[] n x[n] ( es una variable compleja) X() Existe una versión con soporte derecho solamente, que se usa para estudiar sistemas no relajados (no en esta asignatura). Por ser una serie infinita, la transformada existe sólo donde la serie converge. La región de convergencia (ROC) de X() son todos los valores de donde X() toma un valor finito (Generaliación de la idea de polos de X())). En otras palabras, la suma converge. Ejemplos: i. x[n] = {, 2, 5, 7, 0, } X() = ; ROC: { = 0} ii. x[n] = {, 2, 5, 7, 0, } X() = ; ROC: { = 0, = } iii. x[n] = {0, 0,, 2, 5, 7, 0, } X() = ; ROC: { = 0} iv. x[n] = δ[n] X() = ; ROC: v. x[n] = δ[n k] X() = k ; ROC: { = 0}, k > 0 vi. x[n] = δ[n + k] X() = k ; ROC: { = }, k > 0

2 Para señales finitas, ROC es siempre (todo el plano ) menos 0 y/o infinito. (Suma de ceros). vii. x[n] = a n u[n] X() = n= 0 a n u[n] n = n= 0 (a ) n = a ROC: a < > a viii. x[n] = e jw0n u[n] X() = e jw 0 Las señales infinitas tienen ROC asociado a un radio r > 0. Causales (soporte derecho) > r Anti-causales (soporte iquierdo) < r Soporte doble r 2 < < r Tabla 3. de Proakis y Manolakis (p.59): 2

3 Polos y Ceros Los ceros de X() se producen cuando X() = 0 Los polos de X() se obtienen cuando X() = Si X() es una función racional: X() = N() D() = M N b k k a k k X() = ( b 0 M + ( b a 0 N )M b 0 ) M + + ( b M b0 ) N + ( a a 0 ) N + + ( a N a0 ) = b 0 N M ( )( 2 ) ( M ) a 0 ( p )( p 2 ) ( p N ) = M ( k ) G N M, G = b 0 N a 0 ( p k ) () X() tiene N polos, M ceros y N M ceros (N > M) o polos (N < M) en el origen. Polos se dibujan con x y los ceros con o. Ejemplo: x[n] = a n u[n] a > 0 X() = a = polo en = a a ROC : a > a (2) Esta señal se obtiene con un polo en = a y un cero en = 0. Todas las señales tienen asociados polos y/o ceros. 3

4 Transformada de Z inversa Definición: x[n] = 2πj X() n d integral en un contorno cerrado dentro de ROC Dado que X() = N() D(), normalmente utiliamos inversión de X() x[n] mediante propiedades de la transformada y casos de señales conocidas. Tabla 3.3 de Proakis y Manolakis (p.74): Propiedades de la transformada Z: i. Linealidad: Si x [n] x 2 [n] x[n] = a x [n] + a 2 x 2 [n] X () y (3) X 2 (), entonces x[n] = a X () + a 2 X 2 () 4

5 ii. Corrimientos temporales: Si x[n] entonces, x[n k] X() (4) k X() iii. Modulación: Si x[n] entonces, a n x[n] X() a 0 (5) X(/a) = X(a ) iv. Reversamiento temporal: Si x[n] entonces, x[ n] X() (6) X( ) v. Convolución: Si x [n] x 2 [n] entonces, x [n] x 2 [n] X () y (7) X 2 (), X ()X 2 () vi. Multiplicación por indice de tiempo: nx[n] d [X()] (8) d vii. Conjugación: Si x[n] x [n] X() (9) X ( ) viii. Parte real, parte imaginaria: Real(x[n]) Imag(x[n]) 2 [X() + X ( )] (0) 2j [X() X ( )] Transformada Z en sistemas LTI Por la propiedad de convolución, y[n] = x[n] h[n] Y () = X()H() donde H() = h[n] n = Y () X() 5

6 Aplicaciones y ejemplos clásicos. Dado una ecuación de diferencia, encontrar polos y ceros: Tomar y[n] = S(x[n]) Aplicar transformada Z Y () = X()H() Agrupar polinomios H() = N() D() Encontrar: D() = 0 polos () N() = 0 ceros 2. Dado un filtro H() obtener la ecuación de diferencia: H() = N() D() = + M N b k k a k k H() = Y () X() Y () = X()H() Y ()( + N a k k ) = X()( M b k k ) y[n] + a y[n ] + + a N y[n N] = b 0 x[n] + b x[n ] + + b M x[n M] y[n] = N a k y(n k) + M b k x(n k) 3. Diseñar un filtro que tenga P polos o ceros: Crear H() = ( ) ( P ) ( p ) ( p P ) Poner H() en la forma polinómica: M H() = + N b k k a k k Aplicar el método de 2) para expresarlo como una ecuación de diferencia. Polos y ceros se pueden cancelar, pero en la práctica ésto es peligroso por errores de redondeo, si ese fuera una consideración de diseño de un filtro. Ejemplo: y[n] = y[n ] + x[n] x[n ] (2) Y () = Y () + X() X() H() = Y () X() = = h[n] = δ[n] 6

7 Polos y ceros en el origen no generan cambios en la magnitud del filtro, pero si en la fase. Cuando se hace 3) (Diseño de un filtro mediante la ubicación de polos/ceros) es conveniente ubicar polos/ceros en origen (según corresponda) para mantener el mismo orden en el D() y N(), lo que permite reconstruir la misma forma de y[n] = N a k y(n k) + M b k x(n k) En otras palabras: Siempre debemos tener la misma cantidad de polos que de ceros (para evitar retrasos innecesarios de la salida/entrada), aunque algunos pueden estar en el origen. (Generalmente los del origen se ignoran cuando se habla de filtros con sólo polos o sólo ceros, pero están presentes). Ejemplo: Un sistema de sólo polos conocido es LPC donde: H() = N + a k k Tiene este sistema sólo polos? Nceros (origen) {}}{ No H() = N() D() = N N + a N + + a }{{ N } Npolos Sin embargo, como todos los ceros están en = 0, se le llama un sistema con sólo polos. H() se puede descomponer en H() = H ()H 2 () (serie) o en H() = H () + H 2 () (paralelo) Fracciones parciales. Causalidad y Estabilidad:. Causal: h[n] = 0 n < 0 2. BIBO estable: H() = h[n] < h[n] n H() = Si H() Como H() converge h[n] h[n] < h[n] n h[n] n Si el sistema es BIBO estable (i.e., ROC contiene al círculo unitario). Sistemas con: Sólo polos : sin ceros 0 Sólo ceros : sin polos 0 7

8 Para causalidad se requiere que > r (ver ejemplo x[n] = a n u[n]) Fuera de un círculo dado por el polo más alejado. Causal + Estable : > r < El polo más alejado debe estar dentro del círculo unitario para que ROC incluya al círculo unitario. Todos los polos deben estar dentro del círculo unitario. 2 Transformación de S Z Cuál es la relación entre Laplace y Z? Cómo se implementan filtros puramente análogos en forma digital? Existen varias formas de transformar sistemas en el plano -s hacia el plano -, pero muchos de estos sistemas tienen problema de aliasing al no repetir la periodicidad en 2π de sistemas discretos. (Ejemplo: Remplao polos/ceros en s directamente a ). Transformada Bilineal: Transforma el eje imaginario jω en el plano s al círculo unitario en el plano. S = 2 T s ( + ) La relación en frecuencia: ω = 2 tan ( ΩTs 2 ) Ω = ω = π Ω = ω = π No hay aliasing LHS en el plano s interior de = en el plano RHS en el plano s exterior de = en el plano 2 Los ceros no importan. 8