Muestreo y Procesamiento Digital

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Elisa Padilla Núñez
hace 7 años
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1 Muestreo y Procesamiento Digital Práctico Transformada de Fourier en tiempo discreto Cada ejercicio comienza con un símbolo el cual indica su dificultad de acuerdo a la siguiente escala: básico, medio, avanzado, y difícil. Además puede tener un número, como (3.1) que indica el número de ejercicio del libro del curso, Discrete-time signal processing, Oppenheim/Schafer, nd.edition. En este tema nos apartamos levemente de la notación del libro que utiliza ω para representar la frecuencia angular, mientras que en este curso usamos tradicionalmente θ. Ejercicio 1 (.3) Para X(e jθ ) = 1/(1 ae jθ ), con 1 < a < 0, determine y bosqueje lo siguiente en función de θ. (a) Re{X(e jθ) } (b) Im{X(e jθ )} (c) X(e jθ ) (d) Φ{X(e jθ )} Ejercicio (.17) Para la secuencia r[n] = { 1 0 n M 0 de otro modo (a) Determinar la transformada de Fourier. Considerar ahora la secuencia { 1 [ ( w[n] = 1 cos n )] M 0 n M 0 de otro modo (b) Bosquejar w[n] y expresar la transformada de Fourier de w[n] en función de la transformada de Fourier de r[n]. Sugerencia: expresar w[n] en función de r[n] y las exponenciales complejas e jn/m y e jn/m. (c) Bosquejar el módulo de R(e jθ ) y W(e jθ ) cuando M =. 1

2 Ejercicio 3 (.6) Una secuencia x[n] es secuencia propia de un sistema si T {x[n]} = k x[n] para algún k constante. Para cada una de las secuencias indicadas encontrar el sistema SLIT estable más genérico para el cual la secuencia es una secuencia propia. 1 n (a) u[n] (b) e jθon (c) e jθon + e jθon (d) 5 n Ejercicio (.1) Un sistema lineal e invariante en el tiempo tiene la siguiente respuesta en frecuencia { ( e H(e jθ j3θ θ < ) = 3 ) ) θ π 0 La entrada al sistema es un tren periódico de impulsos con período N = : Hallar la salida del sistema. Ejercicio 5 (.0) x[n] = ( 3 δ[n + k] Considere el sistema lineal invariante en el tiempo con respuesta al impulso ( ) n j h[n] = u[n] donde j = 1. Determinar la respuesta de régimen del sistema a la excitación: x[n] = cos(πn)u[n]. Ejercicio 6 (.70) Un operador numérico comúnmente usado, llamado diferencia hacia atrás, se define como: y[n] = (x[n]) = x[n] x[n 1], donde x[n] es la entrada e y[n] la salida del sistema diferencia hacia atrás. (a) Mostrar que el sistema es lineal e invariante en el tiempo. (b) Encontrar la respuesta al impulso del sistema. (c) Encontrar y bosqueje la respuesta en frecuencia (magnitud y fase).

3 (d) Mostrar que si entonces x[n] = f[n] g[n] (x[n]) = (f[n]) g[n] = f[n] (g[n]) donde denota convolución discreta. (e) Encontrar la respuesta al impulso de un sistema tal, que puesto en cascada con el sistema diferencia hacia atrás es capaz de recuperar la entrada. En otras palabras, encontrar h i [n] tal que h i [n] (x[n]) = x[n] Ejercicio 7 (.77) Sean x[n] e y[n] dos secuencias complejas y X(e jθ ) e Y (e jθ ) sus transformadas de Fourier, respectivamente. (a) Determinar, en función de x[n] e y[n], la secuencia cuya transformada de Fourier es X(e jθ ) Y (e jθ ) (b) Usando el resultado de la parte (a), mostrar que x[n]y [n] = 1 π X(e jθ )Y (e jθ )dθ π Esta ecuación es una forma más general del teorema de Parseval. (c) Usar la expresión anterior para encontrar el valor numérico de la siguiente suma sin(πn/) sin(πn/6) n 5πn 3

4 Solución Ejercicio (a) La transformada de Fourier de la secuencia es: R(e jθ ) = r[k]e jθk = M 0 r[k]e jθk = 1 e jθ(m+1) 1 e jθ (b) w[n] = r[n]( 1 e jn M + e jn M ) Ejercicio 3 W(e jθ ) = R(e jθ ) ( 1 δ(θ + M ) + δ(θ M ) ) W(e jθ ) = R(ejθ ) R(ej(θ+ M ) ) R(ej(θ M ) ) (a) Observar que si x es una secuencia propia, para la cual existe la transformada de Fourier, se tiene que Y (e jθ) = kx(e jθ). Por otro lado como el sistema es un slit estable se tiene que Y (e jθ) = H(e jθ) X(e jθ), por lo que se deduce que la respuesta en frecuencias del filtro debe ser constante para todas las frecuencias en las que X no es nula. Puede verse que esta secuencia tiene componentes en todas las frecuencias, por lo que para que la secuencia sea propia se tiene que cumplir, h[n] = αδ[n] (b) Para cualquier sistema SLIT estable esta secuencia es propia.

5 (c) En este caso se debe cumplir que el valor propio asociado a estas dos exponenciales complejas sea el mismo, es decir: (d) y[n] = T {x[n]} = x[n] h[n] = H(e jθo ) = H(e jθo ) x[n k]h[k] = 5 n k h[k] = 5 n Por lo tanto la respuesta h[n] para que x[n] sea una secuencia propia debe cumplir que 5 k h[k] converge a un valor finito. Ejercicio En frecuencias, la salida la podemos expresar como: 5 k h[k] donde: De aquí: Y (e jθ ) = X(e jθ )H(e jθ ) = X(e jθ )H 1 (e jθ )e j3θ { ( H 1 (e jθ 1 θ < 3 ) = ) ) θ π 0 ( 3 y[n] = (x[n] h 1 [n]) δ[n 3] = Ejercicio 5 = [ l= = [ = [ l= ( ) ] sin 3π(n l) δ[l + k] δ[n 3] = π(n l) ] 3π(n l) sin δ[l + k] δ[n 3] = π(n l) ] sin 3π(n+k) δ[n 3] = π(n + k) sin 3π(n 3+k) π(n 3 + k) Llamemos x[n] = cosθ 0 n y x u [n] = x[n]u[n] = cosθ 0 nu[n]. Queremos calcular la respuesta en régimen del sistema definido por h[n], es decir y u [n] = x u [n] h[n] = k x u [k]h[n k] = k h[k]x u [n k] (1) con n +. Llamemos H(e jθ ) = k h[k]e jθk, X u (e jθ ) = k x u [k]e jθk y Y u (e jθ ) = k y u [k]e jθk 5

6 las correspondientes Transformadas de Fourier. La forma sencilla usando la Transformada de Fourier de tiempo discreto es calcular Y u (e jθ ) a partir de (1), como Y u (e jθ ) = H(e jθ )X u (e jθ ) () Pero para esto debemos calcular X u (e jθ ), que por la misma propiedad se calcula como X u (e jθ ) = U(e jθ ) X(e jθ ) (3) siendo U(e jθ ) la Transformada de Fourier del escalón u[n], que sabemos que no está definida pues la sumatoria correspondiente no converge. O sea que el camino propuesto no nos lleva a la solución. Pero, como lo que buscamos es la respuesta en régimen del sistema, podemos usar la siguiente propiedad, Para un SLIT estable con una entrada acotada x[n] M x n se cumple que y[n] y u [n] 0 con n + () Veamos por qué esto es válido y[n] y u [n] = k h[k]x[n k] k h[k]x[n k]u[n k] = k h[k]x[n k](1 u[n k]) k k=n h[k] x[n k] M x k=n h[k] x[n k] (1 u[n k]) = }{{} 0 si n k<0 h[k] 0 con n + Donde se uso la propiedad de que un SLIT es estable sii k h[k] converge. Entonces la solución en régimen a ambas entradas es la misma. Aplicando esta propiedad a nuestro problema, verificamos que la entrada es acotada, pues x[n] = cosθ 0 n 1, y que el sistema es un SLIT estable pues k h[k] = k ( ) j n u[n] = k 0 ( j ) n que converge pues j < 1. La solución vendrá dada entonces de calcular la respuesta en régimen a la entrada x[n] = cosθ 0 n, Calculemos Y (e jθ ) = H(e jθ )X(e jθ ) H(e jθ ) = k h[k]e jθk = k ( ) k j u[k]e jθk = = k 0 ( ) k j e jθ = 1 1 j e jθ pues j e jθ < 1 6

7 Ejercicio 6 (a) Para que el sistema sea lineal se debe cumplir que si: y 1 [n] = {x 1 [n]} y y [n] = {x [n]} entonces: αy 1 [n] + βy [n] = y 3 [n] = {αx 1 [n] + βx [n]} Y como: {αx 1 [n] + βx [n]} = (αx 1 [n] + βx [n]) (αx 1 [n 1] + βx [n 1]) {αx 1 [n] + βx [n]} = α(x 1 [n] x 1 [n 1])+β(x [n] x [n 1]) = αy 1 [n]+βy [n] el sistema es lineal. Para ver que es invariante temporal consideremos las entradas x[n] y x r [n] = x[n r]. Si la respuesta del sistema a x[n] es y[n] entonces la respuesta a x r [n] será y r [n] = x r [n] = x[n r] x[n r 1] = y[n r] por lo que el sistema es también invariante temporal. (b) La respuesta al impulso del sistema es: 0 n < 0 1 n = 0 h[n] = 1 n = 1 0 n > 1 (c) 7

8 (d) Utilizando propiedades de la convolución tenemos que: (x[n]) = (f[n] g[n]) h[n] (e) Sea g[n] la respuesta al impulso del sistema buscado y h[n] la respuesta al impulso del operador diferencia hacia atrás. Si ambos sitemas son SLITS, la respuesta de los sistemas puestos en cascada es: En este caso queremos que: h[n] g[n] h[n] g[n] = δ[n] Una forma de resolver el problema es considerar a g[n] como la entrada al sistema de manera que el problema se convierte en hallar la solución a la ecuación en diferencias: g[n] g[n 1] = δ[n]. Donde la solución homogénea es: Aλ n con λ 1 = 0, es decir: g h [n] = A. Es fácil verificar que una solución particular es g p [n] = u[n]. Tenemos entonces que la solución general de la ecuación en recurrencia es: g[n] = A + u[n] que es la forma general de la respuesta que debe tener el sistema buscado. Ejercicio 7 (a) F 1 { X(e jθ )Y (e jθ ) } = F 1 { X(e jθ ) } F 1 { Y (e jθ ) } = x[n] F 1 { Y (e jθ ) } (b) Donde: F 1 { Y (e jθ ) } = 1 π Entonces tenemos que: π Y (e jθ )e jθn = [ 1 π ] Y (e jθ )e jθn = y [ n] π z[n] = F 1 { X(e jθ )Y (e jθ ) } = x[n] y [ n] Evaluando z[n] en 0 tenemos que: z[0] = x[k].y [ (0 k)] = x[k].y [k] También podemos calcular z[0] con: z[0] = F 1 {Z(e jθ )}[0] = 1 Entonces llegamos a: π π X(e jθ ).Y (e jθ )e jθ0 dθ = 1 x[k].y [k] = 1 π X(e jθ ).Y (e jθ )dθ π π π X(e jθ ).Y (e jθ )dθ 8

9 (c) sin( πn ) sin( πn 6 ) n 5πn = 1 10 sin( πn ) sin( πn 6 ) = 1 πn πn 10 sin(πn/) sin(πn/6) = 1 n 5πn 60 1 π π ( ) ( ) θ θ Π Π dθ = 1 π π/3 π/3 0π 3 9

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