Señales y Sistemas Capítulo 2: Señales

Transcripción

1 y Sistemas Capítulo 2: Señales Sebastián E. Godoy Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción, Concepción, Chile Marzo 2015 Marzo / 41

2 Tabla de Contenidos Señales Señales de prueba Muestreo Operaciones básicas sobre señales Escalamiento en amplitud Escalamiento en el tiempo Inversión en el tiempo Desplazamiento en el tiempo Combinaciones Integral de convolución Sumatoria de convolución cíclica Resumen capítulo Marzo / 41

3 Señales de prueba Señales de prueba Las señales de prueba son aquellas que utilizamos para caracterizar un sistema de forma empirica Aplicamos una señal de prueba conocida a un sistema para evaluar su respuesta Las señales que ya estudiamos son las señales de prueba típicas: Impuso Escalon unitario Rampa unitaria Exponenciales y sinusoidales Marzo / 41

4 Muestreo Muestreo Ya discutimos que las señales continuas y las discretas (muestreadas y digitales) están relacionadas por un proceso que se conoce como muestreo 1. Concepto de muestreo mediante interruptor x(t) Interruptor en nt x(nt ) x[n] 2. Matematicamente hablando el interruptor en el instante nt se representa por un impulso: δ(t nt ). Esto pues x(nt ) = x(t)δ 3. Si uno quiere tomar muestras cada T segundos entonces debe definir un tren de impulsos p(t) = + δ(t + 2) + δ(t + 1) + δ(t) + δ(t 1) + δ(t 2) + = δ(t nt ) n= Marzo / 41

5 Muestreo Muestreo 4. Así, la señal x( ) muestreada cada T segundos se representa matemáticamente mediante x[n] x(nt ) x(t)δ(t nt ) 5. El resultado es el siguiente: n= (1) Señal x(t) (2) Tren de impulsos, p(t) (3) Señal muestreada, x s(t) Marzo / 41

6 Muestreo Muestreo: Efecto de T sobre el muestreo (4) x(t) (5) p(t) (6) x s(t) (7) x(t) (8) p(t) (9) x s(t) Marzo / 41

7 Muestreo Muestreo: Efecto de T sobre el muestreo (10) x(t) (11) p(t) (12) x s(t) Si uno disminuye el tiempo de muestro se llega a un punto en donde la señal original ya no se puede recuperar a partir de las muestras Marzo / 41

8 Operaciones básicas sobre señales Escalamiento en amplitud La señal escalada ax( ) es simplemente x multiplicada por una constante a La señal escalada ax[ ] es simplemente x multiplicada por una constante a Marzo / 41

9 Operaciones básicas sobre señales Escalamiento en el tiempo: Señales continuas Una señal x( ) se escala en el tiempo al multiplicar la variable de tiempo por una constante positiva b para producir x(bt) Si b > 0 la señal se puede expandir (0 < b < 1) o comprimir (b > 1) en el tiempo Marzo / 41

10 Operaciones básicas sobre señales Escalamiento en el tiempo: Señales discretas Una señal x[ ] se comprime en el tiempo al multiplicar el índice n por un entero k para producir la versión escalada x[nk] Esto saca la k-ésima muestra de x[n] Muestras intermedias se pierden La secuencia se acorta Marzo / 41

11 Operaciones básicas sobre señales Escalamiento en el tiempo: Señales discretas Una señal x[ ] se expande en el tiempo al divifir el índice n por un entero m para producir la versión escalada x[n/m] Esto introduce la m-ésima muestra de x[n] Estas muestras intermedias deben ser sintetizadas (creadas). Por ejemplo se pueden hacer cero o usar interpolación La secuencia se alarga Esto se llama upsampling o simplemente interpolación Marzo / 41

12 Operaciones básicas sobre señales Inversión en el tiempo En tiempo continuo, reemplazar t con t para generar x( t) En tiempo discreto, reemplazar n por n para generar x[ n] Es lo mismo que escalamiento con b = 1 Marzo / 41

13 Operaciones básicas sobre señales Desplazamiento en el tiempo: Señales continuas Para una señal continua x y un tiempo t 0 > 0: Reemplazar t por t t 0 genera una señal retardada x(t t 0 ) Reemplazar t por t + t 0 genera una señal adelantada x(t + t 0 ) Parece ser contraintuitivo: Pensar cuando t t 0 se hace cero. Marzo / 41

14 Operaciones básicas sobre señales Desplazamiento en el tiempo: Señales discretas Para una señal discreta x y un entero n 0 > 0: x[n n 0 ] es una señal retardada x[n + n 0 ] es una señal adelantada Parece ser contraintuitivo: Nuevamente pensar cuando n n 0 se hace cero. Marzo / 41

15 Operaciones básicas sobre señales Combinaciones de operaciones Escalamiento, desplazamiento e inversion en el tiempo pueden ser combinadas Las operaciones pueden ser realizadas en cualquier orden, pero hay que ser cuidadosos Esto de seguro le causará confusión Ejemplo: Bosquejar la señal x(2(t 1)) sabiendo que x(t) = 2 para t [ 1, 1] y x(t) = 0 para t [ 1, 1]. Solución: Recomiendo siempre escalar en el origen (antes de desplazar) por lo tanto se obtiene x(2t) = 2 para t [ 1/2, 1/2] y cero para t fuera de dicho intervalo. Así, x(2(t 1)) = 2 para t [1/2, 3/2] y cero fuera de dicho intervalo Marzo / 41

16 : Relación entrada-salida SLIT Recordemos que para un sistema L.I.T. la respuesta a entrada impulso h nos permite obtener la salida del sistema para cualquier entrada: Sabiendo h = T (δ), con T un S.L.I.T δ SLIT h Entonces, para una entrada cualquiera x, la salida asociada, y esta determinada por y = x h en donde representa la convolución entre las señales x (entrada) y h (la respuesta a entrada escalón) Marzo / 41

17 Integral de Vimos que para sistemas en tiempo continuo, la convolución entre dos señales genéricas f y g se define mediante la integral (f g)(t) = f (τ)g(t τ) dτ Esto se traduce en y(t) = (x h)(t) en terminología de nuestros sistemas. y(t) = x(τ)h(t τ) dτ Marzo / 41

18 Integral de Si el sistema LIT es causal, entonces h(t) = 0, para t < 0 h(t τ) = 0, para t τ < 0 h(t τ) = 0, para t < τ entonces y(t) = t x(τ)g(t τ) dτ vale decir, solo valores presentes y pasados de x contribuyen para generar y Si ademas x es causal, entonces x(t) = 0 para t < 0, por lo que la integral se simplifica aun mas: y(t) = t 0 x(τ)g(t τ) dτ Marzo / 41

19 Integral de : Propiedades Conmutatividad: La convolución es conmutativa (f g) = (g f ) Demostración: Reemplazar λ = t τ en la definición: (f g)(t) = = (g f )(t) f (τ)g(t τ) dτ f (t λ)g(λ) dλ g(λ)f (t λ) dλ Marzo / 41

20 Integral de : Propiedades Distributividad con respecto a la suma: f (g + h) = f g + f h Demostración: (f (g + h))(t) = = f (τ)(g(t τ) + h(t τ)) dτ f (τ)g(t τ) + f (τ)h(t τ) dτ f (τ)g(t τ)dτ + (f g)(t) + (f h)(t) f (τ)h(t τ) dτ Marzo / 41

21 Integral de : Propiedades Asociatividad: f (g h) = (f g) h Las propiedaedes de conmutatividad, asociatividad y distribución significa que existe una algebra de señales en donde La suma de señales es igual a la suma aritmética o en álgebra elemental, y La multiplicación es reemplazada por la convolución Marzo / 41

22 Integral de : Propiedades con un impulso: Permítame la notación f (t) δ(t t 0 ) = f (t t 0 ) Demostración: f (t) δ(t t 0 ) = = f (t t 0 ) f (τ)δ(t t 0 τ) dτ f (t τ)δ(τ t 0 ) dτ con un escalón: Dado que el escalón es causal, entonces (f u)(t) = t f (τ) dτ Marzo / 41

23 Integral de : Propiedades Dado que los sistemas que son descritos por una convolución son SLIT, entonces los sistemas se pueden componer en base a sistemas en cascada El sistema en cascada y = (x f ) g es equivalente al sistema individual con respuesta a entrada impulso h = f g Marzo / 41

24 Integral de : Propiedades Además, dado que la convolución es conmutativa, entonces cualquier combinación de sistemas en cascada es tambien conmutativa Asi, estas dos combinaciones dan exactamente la misma respuesta, y para la misma entrada x Esto es importante pues muchos sistemas pueden ser descritos por convolución y todos conmutan. Por ejemplo: integrador, diferenciadores, retardos, etc. Marzo / 41

25 Integral de : Propiedades Ejemplo: Medir la respuesta impulso de un sistema δ(t) SLIT h(t) Hemos dicho que la respuesta impulso es muy importante para caracterizar los sistemas, sin embargo esto presenta dificultades de implementación Una alternativa común es medir la respuesta escalón, s( ), vale decir la respuesta cuando la entrada es un escalón unitario, u( ) u(t) SLIT s(t) Marzo / 41

26 Integral de : Propiedades La respuesta impulso se obtiene mediante la derivada de la salida escalón u(t) SLIT s(t) d dt h(t) Para comprobar esto, recordemos que el sistema diferenciador es tambien un sistema SLIT, por lo que se puede expresar en función de una convolución. Por lo tanto, conmuta: u(t) d dt δ(t) SLIT h(t) Marzo / 41

27 Integral de : Propiedades SLIT para entrada exponencial compleja: Si tenemos un SLIT su salida esta determinada por y = x h, en donde h es la salida a entrada impulso. Qué pasa si la entrada es una exponencial compleja: x(t) = e st en donde s es un numero complejo, es decir s = σ + jω? y(t) = = = x(t τ)h(τ) dτ e s(t τ) h(τ) dτ e st e sτ h(τ) dτ = e st e sτ h(τ) dτ es decir, recuperamos la misma exponencial compleja, pero multiplicada por una constante compleja H(s) = e sτ h(τ) dτ Marzo / 41

28 Integral de : Propiedades Si esta integral converge (veremos que significa esto luego) entonces la salida de mi sistema será y(t) = e st H(s) La función compleja H(s) se conoce como la función de transferencia del sistema. En el capitulo 3 desarrollaremos con más detalle este concepto. (El punto importante es que Ud. sepa desde ya la conexión.) Marzo / 41

29 Integral de : Cálculo Para calcular la integral de convolución y(t) = en general se siguen los siguientes pasos x(τ)h(t τ) dτ 1. Recuerde: h(t τ) es la respuesta impulse retardada al tiempo τ 2. Si consideramos h(t τ) como una función de τ, entonces h(t τ) está retardada al tiempo t e invertida Marzo / 41

30 Integral de : Cálculo 3. Esto se multiplica punto a punto con la entrada 4. Posteriormente se integra sobre τ para obtener y para dicho valor de t Marzo / 41

31 Integral de : Cálculo Graficamente: 1. Invertir en el tiempo la respuesta a entrada impulso h(τ). Esto genera h( τ) 2. Arrastrar hacia la derecha sobre t para obtener h( (τ t)) = h(t τ) 3. Multiplicar punto a punto para obtener x(τ)h(t τ) 4. Integrar sobre τ para obtener y(t) Marzo / 41

32 Integral de : Ejemplo de Cálculo Ejemplo 1: Considere un sistema LIT con respuesta impulso h dada abajo. Encuentre la respuesta del sistema para la entrada x. Marzo / 41

33 Integral de : Ejemplo de Cálculo Ejemplo 1: Considere un sistema LIT con respuesta impulso h dada abajo. Encuentre la respuesta del sistema para la entrada x. Solución a ejemplo 1: Marzo / 41

34 Integral de : Ejemplo 2 Ejemplo 2: Repetir el problema anterior para respuesta impulso h y entrada x dadas a continuación Marzo / 41

35 Integral de : Ejemplo 2 Ejemplo 2: Repetir el problema anterior para respuesta impulso h y entrada x dadas a continuación Solución a ejemplo 1: Marzo / 41

36 Sumatoria de convolución Recordemos que para un sistema LIT discreto, la respuesta a entrada impulso discreto unitario, δ[ ], la denotamos por h[ ] δ SLIT h En el capítulo anterior obtuvimos que para estos sistemas, la salida para una entrada x era y[n] = x[k]h[n k] k= la que denotamos como sumatoria de convolución Esta operación está en el corazón de cualquier sistema de procesamiento digital (de señales o imágenes) Marzo / 41

37 Sumatoria de convolución En general, la convolución entre dos secuencias f y g se define de la misma forma (f g)[n] = f [k]g[n k] k= Y satisface las propiedades de conmutatividad, asociatividad, distribución y homogeneidad Esta convolución es normalmente conocida como convolución lineal. Marzo / 41

38 Sumatoria de convolución: Cálculo Resolvemos la convolución de la misma forma que en tiempo continuo: Graficamente: y[n] = (f g)[n] = k= f [k]g[n k] 1. Invertir en el tiempo una señal g[n] para generar g[ n] 2. Arrastrar hacia la derecha sobre k para obtener g[ (k n)] = g[n k] 3. Multiplicar punto a punto para obtener f [k]g[n k] 4. Sumar todas las componentes sobre k para obtener y[n] Marzo / 41

39 Sumatoria de convolución: Cálculo Para calcular convolución de secuencias es bueno recordar las siguientes propiedades: n k = k=0 n k 2 = k=0 n k 3 = k=0 1 k= n n k = k=1 k = n(n + 1) 2 (1) n(n + 1)(2n + 1) (2) 6 ( ) n(n + 1) 2 (3) 2 n k k=1 n l 1 k = k + k=0 k=0 n k (4) k=l Marzo / 41

40 cíclica La convolución lineal normalmente diverge cuando se calcula sobre señales discretas periódicas. Por lo tanto se define el concepto de convolución cíclica (o circular) entre dos secuencias f y g mediante L 1 (f c g)[n] = f [k]g[n k], k=0 en donde se emplea el símbolo c para especificar claramente que es la convolución cíclica y no la linear revisada anteriormente. El parámetro L se conoce como el largo de las secuencias. Para señales periódicas uno fija L tal que sea igual a periodo Marzo / 41

41 Resumen capítulo Resumen capítulo: En este capítulo hemos revisado los siguientes conceptos importantes: Muestreo desde el punto de vista del tiempo Operaciones básicas sobre las señales que nos permitieron aprender como calcular la convolución La convolución como una propiedad de sistemas LIT Aprendimos a calcular convolución en tiempo continuo y discreto En el siguiente capítulo revisaremos en detalle cómo modelar sistemas mediante ecuaciones diferenciales, de diferencias finitas y estado. Marzo / 41