1. Sistemas Muestreados

Transcripción

1 . Sistemas Muestreados. Sistemas Muestreados.. Introducción 2.2. Secuencias 5.3. Sistema Discreto 5.4. Ecuaciones en Diferencias 6.5. Secuencia de Ponderación de un Sistema Estabilidad 9.7. Respuesta en Frecuencia 9.8. ransformada de Fourier de una Secuencia 0.9. eorema del Muestreo.9.. Demostración.0. ransformada de Laplace ransformada de Laplace de una Secuencia 4.. ransformada en Z 5.2. Reconstrucción Reconstrucción ideal Bloqueadores 7.3. Aparición de Frecuencias Espurias 9

2 .. Introducción Si se buscamos en el diccionario el significado de muestreo dirá proceso o acción de tomar una pequeña parte o porción de algo como una muestra para su análisis. En el contexto del control y las comunicaciones, muestrear una señal implica reemplazar la magnitud continua por una secuencia de números que representan los valores de dicha señal en determinados instantes. Un sistema muestreado es entonces, aquel que, partiendo de una señal o magnitud analógica o continua es capaz de generar una secuencia de valores discretos, separados a intervalos de tiempo. El muestreo es la característica fundamental de los sistemas controlados por computadora dada la naturaleza discreta de estos dispositivos. Generalmente la señal continua es convertida en una secuencia de números que son procesados por el computador digital. Este da una nueva secuencia de números, los que son convertidos a una señal continua y aplicada al proceso. Este segundo proceso se denomina reconstrucción de la señal. Dada la importancia del muestreo es necesario conocer a fondo este proceso. La Ilustración - y la Ilustración -2 muestran la forma en que se realiza el muestreo. Existe un primer elemento llamado muestreador que congela un instante el valor de la señal a muestrear, pero la salida del muestreador sigue siendo analógica. Para convertir esta señal a un valor numérico esta el conversor analógico digital. y(t) - y Rec y r (t) Ilustración - Generación de una Secuencia 2

3 Ilustración -2 Muestreo de una señal continua En el ejemplo se ha dibujado ex-profeso el muestreo con tiempos diferentes pero lo más común es muestrear con un período constante llamado período de muestreo. Si bien se han dibujado separados, el muestreador y el conversor normalmente están juntos en un mismo elemento. Lo que conviene reiterar es que el proceso no sufre alteración alguna y si éste era continuo lo seguirá siendo. Para mayor claridad, se muestra en la Ilustración -3 cómo sería la generación de una señal de control discreta y en la Ilustración -4 se observan la diferentes señales. y(t) CAD y Computador u +c CDA B u(t) - - (mayor demora) Ilustración -3 Controlador Digital 3

4 Ilustración -4 Muestreo de una señal continua A los fines del análisis es útil tener una descripción del muestreo. Esta acción significa simplemente reemplazar una señal por su valor en un número finito de puntos. Sea Z el conjunto de números enteros y {t : Z } el subconjunto de números reales llamados instantes de muestreo. La versión muestreada de f es entonces la secuencia {f(t ) : Z}. El muestreo es una operación lineal. El período de muestreo es normalmente constante o sea t =. En estas condiciones se llama muestreo periódico y es llamado período de muestreo. f s = ( Hz ) se denomina frecuencia de muestreo. Son usados también otros esquemas de muestreo mas sofisticados. Por ejemplo, muestrear diferentes lazos con diferentes períodos de muestreo. Este caso se denomina muestreo múltiple y puede ser tratado como superposición de varios muestreos periódicos. El caso del muestreo periódico ha sido estudiado profundamente. Mucha teoría está dedicada a este tema pero el muestreo múltiple está cobrando importancia día a día con el uso de sistemas multiprocesadores. Con el software moderno es posible diseñar un sistema como si fuesen varios procesos trabajando asincrónicamente. La señal continua y(t) se convierte en una secuencia mediante el muestreador y el CAD que normalmente es el elemento más lento de la cadena. Ya dentro del computador se genera la secuencia de control u. Este proceso consume un determinado tiempo c. Mediante el CDA la secuencia se convierte en analógica y por último el bloqueador interpola los valores de la señal entre dos períodos de muestreo. El bloqueador más usual es aquel que mantiene el valor de la señal hasta la siguiente muestra llamado bloqueador de orden cero. 4

5 .2. Secuencias En síntesis lo que ve el computador no es más que una secuencia de números. Es necesario entonces recordar algunas de las operaciones básicas entre secuencias. La forma de escribir una secuencia es la siguiente: { u} = { u-3, u-2, u-, u0, u } [.] Se verán a continuación algunas operaciones, por ejemplo una suma de secuencias está dada por la siguiente ecuación { u} { v} = + [.2] x { } { } y el producto por una constante, y = m x [.3] Dos secuencias muy usuales en control son el impulso y el escalón que tienen la forma siguiente: { δ } = {,0,0, } { l } = {,,, } [.4] Su representación gráfica está dada en la Ilustración Sistema Discreto Ilustración -5 Secuencias Impulso y Escalón Ahora se podría definir un Sistema Discreto como aquel sistema que es excitado por una secuencia y genera otra secuencia como salida, tal como se ve en la Ilustración -6. 5

6 {u } Sistema {y } Discreto Ilustración -6 Sistema Discreto Un ejemplo de sistema discreto es un Sumador de modo que la secuencia de salida sea la suma de los valores de entrada hasta ese instante: { y } = i { u } [.5] i= Del mismo modo un Promediador puede escribirse como, { y } = ( u-+ u+ u+ ) 3.4. Ecuaciones en Diferencias [.6] Existe un equivalente a la ecuación diferencial de los sistemas continuos, son las llamadas ecuaciones en diferencias. Una ecuación diferencial típica es la siguiente: x (t) = t 0 ω (t) dt [.7] La integral se puede asociar a un sumador con lo cual se tendría, para dos instantes de tiempo consecutivo, las siguientes ecuaciones: - x () = ω (i) 0 x ((+)) = ω (i) 0 x ((+)) - x () = ω () [.8] 6

7 Restando miembro a miembro y despejando, se obtiene la llamada ecuación en diferencia: x ((+)) = x () + () ω [.9] La anterior sería una ecuación en diferencia de primer orden, el equivalente a un integrador. Pero en general para un sistema lineal tendríamos la siguiente forma: x + a x + + a x = b ω + b ω + + b ω [.0] - n -n 0 - m -m Al igual que en los sistemas continuos se pueden definir algunas propiedades. Por ejemplo, si los a i y los b i son constantes se dice que el sistema es invariante. La linealidad está dada por el cumplimiento de la siguiente condición: { u } { y }, { u } { } 2 y2 { αu + α2u2 } { α y + α2 y2 }.5. Secuencia de Ponderación de un Sistema. Es importante definir para un sistema discreto una función que vincule analíticamente su entrada y salida. En particular, se puede normalizar el comportamiento del sistema observando cuál es su respuesta a la secuencia impulso [.] {d } Sistema {g } Discreto Ilustración -7 Respuesta al Impulso Si el sistema es causal se cumple, g = 0 < 0 [.2] Esta forma de definir la relación entrada-salida es el equivalente a la respuesta impulsional de los sistemas continuos. De este modo, una secuencia se podría representar como: [.3] { u } = un{ δ -n } n=- 7

8 siendo u n el valor de la secuencia en ese instante. Por ejemplo la secuencia, { 2, 3, 5 } = 2 {, 0, 0 } + 3 { 0,, 0 } + 5 { 0, 0, } = 2 { } + 3 { } + 5 { } δ δ δ - -2 [.4] eniendo en cuenta la linealidad y esta descomposición se obtiene, { y } = ui{ g } = g { u-i } [.5] Con esto queda definida la convolución discreta entre secuencias del siguiente modo: { y } = { g }*{ u } y = u g = g u -i i i=- i=- i -i i i=- i=- -i Ejemplo. Secuencia de Ponderación Sean las secuencias de ponderación y de entrada de un sistema las siguientes [.6] { g } = {, 2, } { u } = { 0, 3, 4 } [.7] o lo que es lo mismo lo que muestra la gráfica y la forma de calcular la salida es la siguiente Ilustración -8 Ejemplo de secuencia de ponderación 8

9 y = u g = u g + u g + u g = 0 y = u-0 g + 0 u-g + u-2 g = 3 2 y = 2 u2-0g + 0 u2-g + u2-2 g = = 0 2 y3= u3-0g0+ u3-g+ u3-2 g2= = y = 4 u4-0 g + 0 u4-g + u4-2 g = 4. = 4 2 y = 0 5 [.8].6. Estabilidad Se dice que un sistema discreto es estable si secuencia de entrada acotada, la salida lo es. y = g u i -i y = g u g u -i [.9] si u es acotada se verifica y u c i=- c 0 0-i i i=- i=- i -i i i=- i=- g i [.20] condición para que y sea acotada es que ){ g } a i acotada g < sii i [.2] i=- b )lim g = 0 i i.7. Respuesta en Frecuencia Sistema con { g } entrada j { } = { } u e ω [.22] salida 9

10 y = y = e i=-j ω g e i j ω (-i) g i e -j ωi (la última sumatoria es independiente de ) [.23] -j ω i j ω { y } = g e { e } respuesta en frecuencia G( ω ) = g e ω G es periódica con respecto a ω = { y } = G( ) j { e ω } ω [.26] serán: G es el desarrollo en serie de Fourier (según [.23]) por lo tanto los coeficientes g π j ω = G( ω ) d e 2 -π ω π [.27] Ejemplo 2. Pasa Bajos. ω < ω G( ω ) = 0 ω c < ω c π [.28] g ω c j ω e ω ω c [.29] π -ω c = d = sen ( ) es no causal.8. ransformada de Fourier de una Secuencia ω χ ( ω ) = lim xe i = x n n i=-n i=- i [.24] i=- i -j i [.25] i=- -j i -j ω i xe i i=- π j ω = χ( ω ) e d -π ω [.30] para que χ exista debe ser 0

11 xi < [.3] i=- i- i [.32] i=- y = g u e e g iui -jω -jω y = =- =- i=- -jω = e g i =- i=- -jωi -j ω( i) = e ui e g i i=- =- u i [.33] el último [] va desde a + por lo que es independiente de i (i- = ) Υ ( ω ) = G( ω ) U( ω ) [.34].9. eorema del Muestreo Si el muestreo es suficientemente pequeño no se pierde casi información pero ésta pérdida puede ser importante si el período de muestreo es muy grande. Es, entonces, esencial saber cuando una señal continua es biunívocamente definida por su muestreo. El siguiente teorema da las condiciones para el muestreo. Una señal continua con espectro en frecuencia nulo fuera del intervalo [ ω, ω ] es reconstruible totalmente si se la muestrea con una frecuencia ωs > 2ω0. La reconstrucción se obtiene mediante el siguiente cálculo: ( ) = f ( ) f t ( ω s ( t ) ) ( t ) 2 sen 2 [.35] =.9.. Demostración ( ωs ) La transformada de Fourier y la antitransformada de la función continua son: jω t ( ω ) ( ) F = e f t dt [.36] jωt f ( t) = e F( ω) dω [.37] 0 0

12 { } a partir del muestreo se genera una secuencia f f ( ) transformada de Fourier discreta de la forma s jω ( ω) = = que tendrá una F = e f [.38] y su antitransformada π jω f = f ( ) = e Fs( ω) dω [.39] π es decir f ( ) tiene dos formas de calcularse, de acuerdo a [.37] y a [.39]. La ecuación[.37] se puede expresar la integral como una suma de partes, ( 2r+ ) π jω jω f ( ) = e F( ω) dω = e F( ω) dω [.40] r = ( 2r ) π haciendo un cambio de variables al período de muestreo r ω = Ω+ donde Ω es una frecuencia relativa ( 2r+ ) π Ω+ r j π 2 2 Ω+ πr Ω+ πr f ( ) = ( 2r ) e F d r = [.4] Ω+ r f ( ) = e F dω π j( r) r Ω+ π = [.42] se cumple además que j2 r e π = por lo que π jω Ω+ r f ( ) = e F dω r π = [.43] π jω Ω+ r f = e F d Ω [.44] π r= comparando [.44] con [.39] se obtiene la relación entre la ransformada de Fourier discreta y continua como sigue, F s ( ω ) Ω+ r = F r = [.45] o similarmente, dado que = ω s 2

13 r Fs F F sr r= r= [.46] ( ω) = ω+ = ( ω+ ω ) De aquí se deduce que si la frecuencia de muestreo es mayor a dos veces la máxima frecuencia para la cual la ransformada de Fourier es no nula, la ransformada de la señal muestreada será una repetición infinita del lóbulo de la transformada continua. Esto significa que tomando una parte de esta transformada se puede reconstruir exactamente la señal continua, excepto un factor de escala. No sucede lo mismo si la frecuencia de muestreo es inferior a este límite ya que los lóbulos se superpondrán. En la figura siguiente se muestra la ransformada de la señal continua y dos casos de ransformada de la señal discreta: el primero satisface el teorema del muestreo y el segundo no. Es fácil ver, gráficamente, la posibilidad de la reconstrucción en el primer caso. F s (w) F(w) F s (w) / / w w c p/=ws /2 w s w w c w s 2w s w w c -p/=w s /2 3w s /2 -p/=w s /2 p/=w s /2 Ilustración -9: ransformada de Fourier Continua, ransformada de Fourier de la señal muestreada con frecuencia superior e inferior a la de corte. La frecuencia ω s 2 recibe el nombre de Frecuencia de Nyquist. El reconstructor de la ecuación [.35] es no causal y tiene la siguiente respuesta impulsional. 3

14 Ilustración -0 Respuesta impulsional del reconstructor ideal.0. ransformada de Laplace La ransformada de Laplace de una función continua se define como -st X( s ) = Ls x(t) x(t) e dt s = σ + j ω { } 0 = [.47] La ransformada de un impulso es { δ ( )} δ ( ) -st Ls t = t e dt = [.48] s 0 y de un impulso desplazado en un tiempo -s { ( )} L δ t = e [.49].0.. ransformada de Laplace de una Secuencia Si se tiene la secuencia { x }, en la cual sus elementos han sido obtenido como muestreo de una señal continua, se puede escribir como una sumatoria de impulsos modulados por los elementos de la secuencia, x = x δ(t-) [.50] s =0 se define su transformada de Laplace como s ( ) L s = x e [.5] =0 4

15 es periódica respecto de s con período ω = lo que significa que todas las singularides se repiten al igual que la ransformada de Fourier. 3p/ 2p/ p/ Ilustración - ransformada de Laplace Discreta.. ransformada en Z Solo se define para secuencias Z x X z xz ({ } ) ( ) = = [.52] = donde z es una variable compleja. La ransformada en Z de la secuencia impulso es { } {,0,0, } δ = [.53] ( z) = [.54] de una secuencia 2 { x} {, aa,, } = [.55] ( ) = = ( ) [.56] X z az az = = que converge para z > a y en cuyo caso la sumatoria resulta 5

16 ( ) = az X z [.57] - Propiedades Linealidad: Z( af + bg) = az( f ) + bz( g) [.58] Desplazamiento d d ( ) ( ) Z q f = z Z f [.59] lim 0 Valor Inicial ( f ) limz( f ) = [.60] z Valor Final ( f ) ( z ) Z( f ) lim = lim [.6] z si ( z ) Z( f ) no tiene ningún polo fuera del círculo unidad..2. Reconstrucción Si se quiere saber cómo es la señal continua a partir de la información que brinda la secuencia de muestras es necesario un proceso llamado de reconstrucción. En este proceso es posible que la señal reconstruida no coincida exactamente con la original. Esto se ve en la figura siguiente: y(t) - y Rec y r (t) Ilustración -2 Proceso de Reconstrucción La pregunta es cuán parecida será la señal reconstruida a la original. odo dependerá del reconstructor que se utilice. 6

17 .2.. Reconstrucción ideal Para el caso de señales con ancho de banda limitado, se puede reconstruir a partir de la ecuación [.35]. La desventaja es que esta operación no es casual y debemos conocer los valores anteriores y posteriores al instante tratado. Esto no es conveniente para el control digital, pero si puede ser útil en comunicaciones donde se puede aceptar un retardo. Otra desventaja es su complicado cálculo y que solo es aplicable al muestreo periódico. La reconstrucción se hace con el siguiente proceso ( ωs ( t ) ) ( t ) 2 sen 2 fr ( t) = f ( ) [.62] = ( ωs ) Esta reconstrucción es no causal y en la gráfica siguiente se muestra el resultado del proceso; la línea suave es la señal continua y la ondulada es su reconstrucción. Se muestran además los aportes de cada elemento de la sumatoria. La reconstrucción no es perfecta ya que no se consideraron infinitos términos de la sumatoria Bloqueadores Ilustración -3 Reconstrucción ideal de una señal La reconstrucción anterior no es útil para aplicaciones en control y demasiado costosa desde el punto de vista de cálculo. Es por esto que se eligen métodos más simples. El más usual es el bloqueador de orden cero o retenedor que consiste en mantener la señal en el mismo valor de la última muestra. 7

18 Ilustración -4 Reconstrucción con Bloqueador de Orden Cero Dada su simplicidad este bloqueador es el más usado en control digital y los CDA estándares son diseñados con este principio. ambién se puede usar el BOO para muestreo no periódico. Obviamente ésta recontrucción introduce un error como se puede ver en la figura Otro bloqueador causal es el que se construye considerando las dos últimas muestras y extrapolando linealmente el comportamiento futuro tal como se ve en la gráfica Ilustración -5 Bloqueador de Orden Uno Este último bloqueador no necesariamente tiene menor error que el bloqueador de orden cero. Depende de las frecuencias de la señal a reconstruir 8

19 .3. Aparición de Frecuencias Espurias Lo que dice el teorema del muestreo es que si la frecuencia de muestreo es inferior a la máxima frecuencia del sistema continuo la reconstrucción ya no es posible debido a la superposición de los lóbulos. Un ejemplo es lo que sucede al muestrear la señal de la figura siguiente Ilustración -6 Aparición de frecuencias espurias Una posible solución es incrementar la frecuencia de muestreo pero esto trae dos problemas: ) si se observan los elementos de la transformada en Z, estos varían con el período de muestreo y en particular las raíces de los polinomios tenderán todas a, esto llevará a errores numéricos indeseados. 2) en el caso de que se elija una frecuencia suficientemente alta respecto de las frecuencias propias de la planta, puede ser que no sea lo suficientemente alta con respecto a alguna perturbación y el muestreo de esta perturbación introduzca componentes de baja frecuencia. Estas señales que aparecen reciben el nombre es frecuencias alias y la única forma de evitarlas es filtrar la señal antes del muestreo. 9