Procesamiento de Señales Digitales

Transcripción

1 Procesamiento de Señales Digitales La IEEE* Transactions on Signal Processing establece que el término señal incluye audio, video, voz, imagen, comunicación, geofísica, sonar, radar, médica y señales musicales. * Institute of Electrical and Electronics Engineers Cualquier cantidad física que varia con el tiempo y/o espacio o cualquier otra variable(s) independiente(s). Matemáticamente la describimos como una función de una o mas variables independientes: s 1 (t)=5t, s 2 (t)=10t 2, s 3 (x,y)=sin(x)*cos(y), etc. s 1 (t)=t s 1 (t)=t 2 10 s 3 (x,y)=sin(x)cos(y) 5 s1(t) s2(t) y t 0 0 t x

2 Esta ultima expresión describe una señal de dos variables independientes (x,y) que podría ser una imagen. y 1 I(x 1,y 1 ) La intensidad puede cambiar en el tiempo y el espacio. En el caso de una imagen la señal final es compuesta por tres señales en las distintas escalas de colores (r,g,b). I(x, y, t) = 2 4 I r (x, y, t) I g (x, y, t) I b (x, y, t) x 1

3 Hay veces que no se puede describir una señal por una función simple Que ocurre cuando la señal es más compleja? Ejemplo: señal de audio, temblor, electrocardiogramas, electroencefalogramas, etc La señal se puede escribir como suma de senos (o cosenos) NX A i (t)sin[2 F i (t)t + i (t)] i=1 donde A(t),F(t) y θ(t) corresponde a la amplitud, frecuencia y fase respectivamente.

4 Elementos básicos de un sistema de procesamiento de señal digital la mayoría de las señales encontradas en ciencia e ingeniería son análogas por naturaleza. Esto es, son funciones de una variable continua como el tiempo y espacio Ejemplos: voz, señales biológicas, sísmicas, sonar, radares y otras señales de comunicación como audio y video Entrada analogica Procesamiento de señal analogica Salida analogica

5 Sistema de procesamiento digital Entrada analogica convertidor A/D Procesamiento de señal digital convertidor D/A Salida analogica Entrada digital Salida digital se necesita una interface entre la señal analógica y el procesador digital. Este puede ser un computador o un microprocesador programada para dicha operación Señal original Aproximacion de escalera Amplitud 2T 4T 6T 8T 10T tiempo

6 Sistema de procesamiento digital Entrada analogica convertidor A/D Procesamiento de señal digital convertidor D/A Salida analogica Entrada digital Salida digital se necesita una interface entre la señal analógica y el procesador digital. Este puede ser un computador o un microprocesador programada para dicha operación ventajas de una señal digital sobre una analógica 1. Flexibilidad (reconfigurar el proceso - hardware vs software). 2. Bajo costo (computadores). 3. Manejo de la precision 4. Almacenamiento y transporte.

7 Convertidor A/D x a (t) x(n) x q (n) Sampler Cuantificador Codificador señal analogica señal tiempo-discreto señal cuantificada señal digital 1. Sampler: conversion de la señal tiempo-continua a tiempo-discreto tomando muestras (samples) a distintos instantes. 2. Cuantificador: conversion señal tiempo-discreto evaluada continuamente a una señal tiempo-discreto evaluada discretamente (digital). Cada valor de la señal sampleada es representado por un valor de un set finito de posibles valores. 3. Codificador: cada valor discreto es representado por una secuencia binaria

8 Convertidor A/D x a (t) x(n) x q (n) Sampler Cuantificador Codificador Señal analogica Señal tiempo-discreto Señal cuantificada Señal digital x(n) ω 0 =π/8 x(n) ω 0 =π/4 x(n)=cos(w 0 n) n n x(n) ω 0 =0 x(n) ω 0 =π/2 x(n) ω 0 =π n n n

9 Sampler Señal analogica x a (t) F s =1/T x(n)= x a (nt) Señal tiempo-discreto Sampleo (muestreo) de una señal análoga x a (t) x(n) x a (t) x(n)=x a (nt) 0 t T 2T 5T 8T t=nt n

10 cuantizacion de una señal continua 1,0 x(n)=0.9 n 0,8 x a (t)=0.9 n 0,6 0,4 0, n rango de la cuantización 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 x a (t)=0.9 t x q (n) Niveles de cuantización paso de cuantización n

11 Ejemplo: del CD al mp3 Un CD tiene una frecuencia de muestreo de 44.1kHz a 16 bits (32 bits en stereo), esto quiere decir que puede reproducir como máximo frecuencias de 22.05kHz. Lo que se traduce en: x 32 = 1.4 millones bits/segundos = bytes/segundo Si consideramos en promedio que una canción tiene 3 minutos de duración <canción> ~32 millones de bytes = 32 mbytes Es aquí donde la codificación del mp3 (ver link) actúa reduciendo prácticamente en un factor 10 el tamaño del archivo original CD mp3

12 Que ocurre si el sampleo es mas lento que la frecuencia de la señal? Aliasing (por ver ) efecto que causa que señales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se muestrean digitalmente F 2 = 1 8 Hz F 1 = Hz Amplitud tiempo (s)

13 Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda. Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica x a (t) es F max =B y la señal se muestrea a una tasa F s > 2F max = 2B, entonces x a (t) se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación: Así, x a (t) se puede expresar como: donde son las muestras de x a (t).

14 Transformada de Fourier

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18 Transformada de Fourier (2D) idea: descomponer una figura en suma de frecuencias

19 Transformada de Fourier (2D) aumentando f v e-iπ(ux + vy) v v u u u eiπ(ux + vy)

20 Transformada de Fourier (2D) FFT Shift FFT

21 rectángulo centrado en x con lados de largo X e Y u f(x,y) F(u,v) F(u,v)