Práctica 1 INTRODUCCIÓN A MATLAB

Transcripción

1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 1 INTRODUCCIÓN A MATLAB OBJETIVO: Que el alumno realice gráficos y programas sencillos usando MATLAB. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB (versión 6.5 mínimo) DESARROLLO: Antes de iniciar con las actividades, el docente presentará una exposición sobre el entorno de trabajo de MATLAB y mostrará ejemplos del uso de comandos y funciones básicas. 1. Hacer un programa que genere y grafique las siguientes funciones. a. y( t) = sen( 3t ) b. r ( t) = 3 t Multiplicar las funciones y(t) y r(t), luego graficar. 3. Mostrar en diferentes áreas de la ventana de gráfico cada una de las señales generadas en el punto 1. CONCLUSIÓN UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 1

2 Práctica 2 MUESTREO INTERPOLACIÓN Y ALIASING OBJETIVO: Observar el muestreo de una señal y el efecto conocido como Alising. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB FUNDAMENTOS TEORÍCOS Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica x a (t) es F max y la señal se muestrea a una tasa F s >2 F max, entonces x a (t) se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función: n n x, a ( t) = x a g t Fs Fs donde g ( t) ( πfst ) ( πf t) sen =. s Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con otras (el llamado aliasing). DESARROLLO: 1. Simular el muestreo de la señal y(t) a una frecuencia de muestreo de 10 Hz y graficarla. y ( t) = sen( 4 πt) + sen( 8πt ) 2. Recuperar la señal analógica y(t) utilizando las muestras obtenidas en el punto 1 y aplicando la sumatoria de funciones de interpolación. Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 2

3 y a n ( t) = y g t Fs Fs 3. Simular el muestreo de una onda sinusoidal pura de 300 Hz. Utilizar una frecuencia de muestreo de 800 Hz. 4. Simular el muestreo de las ondas sinusoidales puras cuyas frecuencias se indican en los incisos a, b, c, d y e a una frecuencia de muestreo de 800 Hz. a. 125 Hz b. 215 Hz c. 305 Hz d. 395 Hz e. 500 Hz Observar los cambios en las formas de onda de la señal muestreada y la señal recuperada. Graficar en la misma ventana la señal original, la señal muestreada y la señal recuperada. 5. Repetir el punto anterior pero ahora con un periodo de muestreo de 1 ms y con las frecuencias de a Hz b Hz c Hz d Hz Observar los cambios en las formas de onda de la señal muestreada y la señal recuperada. Graficar en la misma ventana la señal original, la señal muestreada y la señal recuperada. 6. Encontrar tres señales diferentes que tengan la misma representación discreta. 7. Establecer conclusiones n PROGRAMA DE APOYO %Practica 2. Procesamiento Digital de Senales %Muestreo e interpolacion %Desarrollado por: Marcial Castro Muñoz %Limpiar variables, funciones, ventana de comandos y figuras clear; clc; clf %Constantes f1=4.7 %Armónico de mayor frecuencia de la señal f2=2 %Armónico de menor frecuencia de la señal M=3 %Limite superior de la amplitud para la grafica m=-3 %Limite inferior de la amplitud para la grafica a=-1 %Tiempo de inicio de la señal b=1 %Tiempo final de la señal fs=10 %frecuencia de muestreo Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 3

4 ab=b-a %Intervalo de la señal %Crear el vector de tiempo cuasicontinuo fc=100*f1 %Frecuencia usada para visualizar la señal como analogica tc=1/fc t=[a:tc:b]; %Crea el vector de tiempo de señal muestreada ts=1/fs td=[a:ts:b]; %Señal a interpolar yc=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %Señal muestreada yd=sin(2*pi*f1*td)+sin(2*pi*f2*td); %Graficar ambas señales subplot(2,1,1) stem(td,yd,'o') title('señal muestreada') axis([a,b,m,m]) subplot(2,1,2) %Dos cuadros de figura en vertical plot(t,yc) title('señal original') axis([a,b,m,m]) hold on %Rutina para recuperar la señal original a partir de la muestreada [xm,xn]=meshgrid(t,td); aux=(pi/ts)*(xm-xn)+eps; yi=yd*(sin(aux)./(aux)); %Grafica de la señal recuperada plot(t,yi,'r') title('señal recuperada') axis([a,b,m,m]) hold off Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 4

5 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 3 CUANTIZACIÓN OBJETIVO: Analizar la relación entre el ruido de cuantización, la frecuencia de muestreo y el paso de cuantización. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB INTRODUCCIÓN: La cuantización se refiere al proceso en el que una señal analógica se aproxima a una señal que puede tomar solamente un número finito de valores. La señal digital resultado de la cuantificación es diferente a la señal analógica que la originó debido a lo que se conoce como error de cuantificación. El error de cuantificación se interpreta como un ruido añadido a la señal tras el proceso de decodificación digital. La cuantificación no tendrá ninguna consecuencia si el ruido añadido con la cuantificación se mantiene por debajo del ruido presente en la señal analógica original. Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 5

6 DESARROLLO: 1. Hacer un programa en MATLAB que simule la conversión analógica a digital y que recupere la señal original a partir de la señal digital con la sumatoria de funciones de interpolación. (Analizar el programa que aparece al final de este documento). 2. Trabajar con la señal definida por: 8 sen ( ) ( ) ( 3t ) y t = sen t 2 π 9 3. Muestrear la señal a una frecuencia 3 veces mayor a la del armónico de mayor frecuencia y luego digitalizar con una resolución de 1 unidad. Graficar el muestreo de la señal y su digitalización. 4. Reconstruir la señal analógica a partir de sus muestras digitalizadas y compararla con la señal original. Usar una frecuencia de muestreo 3 veces mayor a la del armónico mas alto. 5. Hacer una grafica de la magnitud del error de cuantización. Hacer una resta entre la seña muestreada la señal digitalizada. 6. Aumentar la frecuencia de muestreo 20 veces más y observar si se reduce la magnitud del error. Se debe incrementar la frecuencia de muestreo a 60 veces mayor que el armónico mayor. 7. Regresar ahora a la frecuencia de muestreo anterior (3 veces mayor a la del armónico de mayor frecuencia) y mejorar la resolución en un factor de 20, es decir usar una resolución de 0.05 unidades. Observar lo que sucede con la magnitud del error. 8. Simular un la digitalización de un convertidor A/D de 3 bits con niveles entre 0 y 5 Volt. 9. Anotar conclusiones Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 6

7 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 4 OPERACIÓNES CON SEÑALES OBJETIVO: Realizar operaciones con señales digitales de audio. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB Audifonos INTRODUCCIÓN: En muchas ocasiones es necesario considerar señales que son el resultado de una pequeña transformación de otra señal. Un tipo importante de este tipo de transformación en el tiempo es el corrimiento en el tiempo donde la señal original es desplazada en el eje del tiempo, ya sea para atrasarla o adelantarla; para una señal discreta equivale a un corrimiento en la variable independiente n y se representa como x[n-no] ( no es el corrimiento). Otro es la inversión en el tiempo donde la señal es vista como una reflexión en el en n=0 y se representa como x[-n]. Además de estas operaciones están las suma, resta y multiplicación entre señales. DESARROLLO: 1. Guardar los archivos de texto con el sonido digitalizado en la carpeta work de matlab. Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 7

8 2. Abrir uno de los archivos para verificar que se trata de datos numéricos. Enseguida se muestra el contenido del archivo 3. Cargar los datos del sonido digitalizado (archivo de texto) al workspace de matlab. Usar la función load. Guardar en una variable con el mismo nombre. Se muestra el ejemplo con el archivo datop. Después de hacer esto debe aparecer la variable en la ventana workspace 4. Generar el vector np, nd, nde, ns correspondiente al tiempo de las variables. Deben tener el mismo número de elementos que los que tiene la variable. La variable datop tiene elementos. Esto se puede ver en la ventana workspace Entonces el vector de tiempo debe tener elementos y se genera con la siguiente instrucción Despues de esto debe aparecer una nueva variable llamada np en el workspace Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 8

9 5. Graficar cada una de las señales usando la función stem (usar puntos en la grafica). Enseguida se muestra el ejemplo para la gráfica de datop vs np. Con esto se obtiene la siguiente gráfica 6. Reproducir las señales como sonido a una frecuencia de muestreo de 8000 Hz utilizando la función de matlab sound(señal, Fs). Fs es la frecuencia de muestreo, en este caso Fs= Reproducir las mismas señales con una frecuencia de muestreo de 5000 y observar la diferencia en el sonido. Anotar lo que sucede y dar una explicación. 8. Reproducir las mismas señales con una frecuencia de muestreo de y observar la diferencia en el sonido. Anotar lo que sucede y dar una explicación. 9. Obtener la suma de las cuatro señales y guardarla en una variable con nombre datosuma. 10. Graficar la señal datosuma y reproducirla como sonido. 11. Realizar las operaciones necesarias para concatenar las cuatro señales en el mismo orden que en (1) dándoles un espaciamiento de 2000 muestras y guardarlas en la señal datosconcatenados. Graficar y reproducir. 12. Invertir la señal datosconcatenados y guardalos en invertida. 13. Graficar y reproducir la señal invertida Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 9

10 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 5 RESPUESTA DEL SISTEMA OBJETIVO: Obtener la respuesta de un sistema discreto por medio de la convolución y la evaluación directa de las ecuaciones de diferencias. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB INTRODUCCIÓN: La convolución discreta es una operación matemática entre dos señales discretas (el símbolo de la operación es un * asterisco) que tiene gran importancia en procesamiento digital de señales ya que la respuesta y[n] de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede obtener a partir de su respuesta al impulso h[n] y la señal de entrada x[n]. La convolución discreta está definida por la sumatoria Un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo puede ser descrito matemáticamente por una ecuación de diferencias de coeficientes constantes de la forma, N k = 1 a k y M [ n k + 1 ] = b x[ n m + 1] m= 1 m Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 10

11 Esta ecuación describe la relación entre la señal de salida y la señal de entrada. Se puede ver que están involucrados los valores de instantes actuales así como de instantes anteriores tanto para la señal de entrada como para la de salida. De esta expresión se puede despejar el valor actual de la señal de salida y[n] con lo que se obtiene, y M m k [ n] = x[ n m + 1 ] y[ n k + 1] b a m= 1 1 N a a k = 2 1 Donde se puede ver que la ecuación de diferencias da una forma recursiva para obtener la salida actual del sistema utilizando los valores de la señal de entrada previos así como el actual y también los valores previos de la misma señal de salida. MATLAB cuenta con una función que evalúa este tipo de ecuación de diferencias dada una cierta señal de entrada. La función se denomina FILTER. FILTER filtro digital. Y = FILTER(B,A,X) filtra los datos del vector X con el filtro descrito por los vectores A y B. La función FILTER evalúa la siguiente ecuación de diferencias. a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) + a(3)*y(n-2) +... = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + b(3)*x(n-2) +... Donde B=[b(1) b(2) ], A=[a(1) a(2) ], X= señal de entrada DESARROLLO: 1. Hacer una función que calcule la convolución de dos funciones. 2. Obtener la convolución de x[n] y y[n] definidas a continuación. a) x [ n] = µ [ n] µ [ n 5] -10<n<10 y[ n] = δ[ n] -5<n<5 b) x [ n] = µ [ n] µ [ n 5] -10<n<10 y[ n] = δ [ n 5] -5<n<10 c) x [ n] = µ [ n] µ [ n 5] -10<n<10 y[ n] = δ [ n] + δ[ n 10] -5<n<15 3. La respuesta al impulso de un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo es h[n]. Qué respuesta tendrá este sistema si se le aplica la señal x[n] definida a continuación? (Utilizar la convolución). Solución Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 11

12 4. Hacer una función que genere una secuencia exponencial del tipo a n. (ejemplo 0.7 n ). 5. Obtener la respuesta de un sistema discreto lineal e invariante cuando la entrada es x[n]. La respuesta al impulso del sistema es h[n]. Graficar la señal de entrada, la señal de salida y la respuesta al impulso del sistema. 8. Un sistema esta descrito por la ecuación de diferencias donde x[n] es la entrada y y[n] es la salida. Calcular y graficar la respuesta al impulso y al escalón unitario. 9. Se tiene un diferenciador digital descrito por: Obtener la respuesta de este sistema para las siguientes entradas Pulso rectangular CONCLUSIONES: pulso sinusoidal Pulso triangular Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 12

13 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 6 DESARROLLO EN FRACCIONES PARCIALES Y GRAFICAS DE POLOS Y CEROS OBJETIVO: Obtener el desarrollo de fracciones parciales y las graficas de polos y ceros con ayuda de MATLAB. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB INTRODUCCIÓN: Una operación que debe hacerse con frecuencia en el cálculo de la respuesta del sistema es el desarrollo en fracciones parciales, para que permita el uso de tablas de transformadas. Para esta operación se cuenta con la función de MATLAB residuez. Las gráficas de polos ceros de la función de transferencia son muy importantes ya que nos dan información sobre la dinámica del sistema. MATLAB cuenta con la función zplane que permite realizar este tipo de gráficas de forma simple introduciendo los coeficientes de la función de transferencia DESARROLLO: Hacer el desarrollo en fracciones parciales y las gráficas de polos y ceros de las siguientes funciones. 2 z 1. H ( z) = 2 z 2z Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 13

14 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 7 RESPUESTA EN FRECUENCIA OBJETIVO: Aplicar las funciones de MATLAB para obtener la respuesta en frecuencia de sistemas discretos. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB INTRODUCCIÓN: Una de las características de un sistema lineal e invariante en el tiempo es que la respuesta en estado estacionario del sistema a una entrada sinusoidal es otra señal de tipo sinusoidal; la diferencia entre estas es solamente de magnitud y fase. Si conociéramos la forma en que afecta el sistema a una entrada sinusoidal de cualquier frecuencia podríamos determinar su respuesta a cualquier señal de entrada ya que todas las señales se pueden considerar como una combinación lineal de señales sinusoidales. Por eso resulta conveniente caracterizar a los sistemas con su respuesta en frecuencia, es decir con la información sobre el cambio que produce en la magnitud y en la fase de las señales sinusoidales de entrada antes de llevarlas a la salida. DESARROLLO: Obtener la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulso de los siguientes sistemas. Utilizar preferentemente la función FVTOOL a) b) Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 14

15 c) CONCLUSIONES: Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 15

16 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 8 ANALISIS ESPECTRAL OBJETIVO: Utilizar la transformada rápida de Fourier para obtener la descomposición de una señal discreta en sus armónicos. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB INTRODUCCIÓN: El análisis espectral se refiere al proceso de descomposición de una señal en sus componentes de frecuencia. Con este análisis se obtiene de cada componente de frecuencia una magnitud y una fase que representan lo que conocemos como transformada de Fourier. Para el caso de señales discretas se tiene la correspondiente transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), la cual es una representación de la misma señal pero en el domino de la frecuencia discreta. Con la DTFT se obtiene una función continua de la frecuencia discreta que se puede obtener directamente de la expresión matemática que la define, Si la señal a analizar fuera de duración infinita seria imposible evaluar numéricamente la expresión anterior debido a las limitaciones de memoria en los equipos de cómputo. Sin embargo si la señal es de duración finita entonces la ecuación se puede calcular para cualquier valor de frecuencia. Desafortunadamente la cantidad de operaciones y los requerimientos de memoria aumentan de forma exponencial con el número de muestras. Para sobrepasar este inconveniente se definió una nueva transformada denominada transformada discreta de Fourier DFT que equivale al desarrollo en series de Fourier (1) Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 16

17 para la señal a analizar. Para esto se supone que la señal representa solo un periodo de una señal ficticia de la cual se calcula su serie. Además se desarrollo la trasformada rápida de Fourier FFT que calcula la DFT mediante un la algoritmo que realiza las operaciones de forma eficiente. Existe una rutina en Matlab fft que calcula la FFT y que puede usarse para analizar espectralmente una secuencia de duración finita. La función regresa el mismo número de datos que los que se ingresan. Si se utiliza una secuencia de 10 elementos la fft regresa 10 datos que representan los componentes de frecuencia de la secuencia original espaciados por 2π/N radianes, donde N representa el número de muestras de la señal. El orden en que la función fft de matlab entrega los componentes de frecuencia es diferente a como estamos acostumbrados a graficarlos (frecuencias positivas a la derecha y negativas a la izquierda), nos da los componentes de frecuencia negativa a la derecha después del ultimo componente de frecuencia positiva. Para ordenar los componentes de frecuencia en el orden acostumbrado se utiliza la función fftshift. Otras funciones comunes en el análisis espectral son abs y angle la primera para obtener el valor absoluto de una señal compleja y la segunda para la fase. DESARROLLO: 1. Graficar el contenido espectral de la señal x[ n] = cos( 0.1π n) usando la transformada rápida de Fourier. 2. Generar una señal cuyas frecuencias sea π 0.9 y graficar su contenido espectral junto con la secuencia. 3. Generar una señal con tres tonos diferentes sobrepuestos cuyas frecuencias son 0.1π, 0.3π 0.7π y graficar su contenido espectral junto con la secuencia. En este caso la expresión matemática para la señal a analizar es una suma de tres funciones coseno a las frecuencias mencionadas.. 4. Analizar el contenido espectral de la señal impulso unitario localizado en n=100 con 0<n<200. Aquí hay que generar la secuencia definida desde n=0 hasta n=200 con un impulso unitario en n=100 y después aplicar la fft. 5. Analizar el contenido espectral de la señal impulso unitario localizado en n=0 con 0<n<200. Se procede igual que en Analizar el contenido espectral de las siguientes señales -20<n<40 Pulso rectangular -100<n<200 pulso sinusoidal Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 17

18 7. un pulso rectangular con inicio en n=100 y fin en 150 con 0<n<200. Igual pero se genera un pulso en lugar de un impulso. CONCLUSIONES: Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 18

19 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 9 FILTROS DIGITALES DE RESPUESTA INFINITA AL IMPULSO IIR OBJETIVO: Comparar la respuesta en frecuencia de los filtros de respuesta infinita al impulso. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB INTRODUCCIÓN: Un filtro electrónico es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de frecuencias de una señal que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto su amplitud como su fase. Existen diferentes tipos de filtros, según la respuesta en frecuencia que se desee de estos, así que se puede requerir de filtros pasa bajas, pasa altas, pasa banda o rechazo de banda. Cualquiera de las respuestas en frecuencia deseadas se puede obtener con diferentes tipos de filtros que tiene características especiales en las bandas de paso, de transición o de rechazo. Los filtros más comunes son los que se muestran en la figura 1. El filtraje se puede obtener de forma analógica o digital. Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 19

20 Figura 1. Gráficas de respuesta en frecuencia de los principales tipos de filtros donde se muestra sus diferencias en las bandas de paso, de rechazo y de transición. DESARROLLO: Comparar la respuesta en frecuencia de los diferentes tipos de filtros digitales IIR. 1. Para un filtro pasa bajas de quinto orden, una frecuencia de corte de 0.5 radianes y rizo de 1 db (donde aplique). 2. Para un filtro pasa banda de orden 10, frecuencias de corte en 0.3 y 0.6 radianes y rizo de 1 db. 3. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 1 pasa bajas para una frecuencia de 0.3 rad y rizos de 1 db, 3 db y 6 db. 4. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 2 pasa altas para una frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 db, 3 db y 6 db. 5. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Elíptico pasa bajas para una frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 db, 3 db y 6 db en banda de paso y de rechazo. Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 20

21 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y DISEÑO Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Práctica 10 FILTROS DIGITALES DE RESPUESTA FINITA AL IMPULSO FIR OBJETIVO: Comparar la respuesta en frecuencia de los diferentes tipos de filtros de respuesta finita al impulso. MATERIAL Y EQUIPO: Computadora con MATLAB INTRODUCCIÓN: Los filtros digitales de respuesta finita al impulso (FIR por sus siglas en ingles) son filtros que obtiene la señal de salida usando solamente valores de la secuencia de entrada y ningún valor de la señal de salida, por eso su respuesta a un impulso en la entrada tiene una longitud finita y por lo tanto siempre es estable. Sin embargo tienen la desventaja de necesitar un orden mayor respecto a los filtros IIR para cumplir las mismas características de respuesta en frecuencia. DESARROLLO: Comparar la respuesta en frecuencia de los filtros digitales que aplican el método de la ventana, la aproximación por mínimos cuadrados y muestreo en frecuencia. 1. Para un filtro pasa bajas de orden 15, una frecuencia de corte de 0.5 radianes. 2. Para un filtro pasa banda de orden 50, frecuencias de corte en 0.3 y 0.6 radianes. 3. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 1 pasa bajas para una frecuencia de 0.3 rad y rizos de 1 db, 3 db y 6 db. 4. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev tipo 2 pasa altas para una frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 db, 3 db y 6 db. 5. Comparar la respuesta en frecuencia del filtro Elíptico pasa bajas para una frecuencia de corte de 0.3 rad y rizos de 1 db, 3 db y 6 db en banda de paso y de rechazo. Elaboró: Dr. Marcial Castro Muñoz Página 21