Ing. Jorge Enrique Montealegre

Transcripción

1 Tema 1: Muestreo de Señales y Conversión A/D Ing. Jorge Enrique Montealegre [email protected]

2 Muestreo de Señales y Conversión A/D 1. Introducción 2. Conversión A/D 3. Teorema del muestreo

3 1. Introducción Señales, sistemas y procesamiento de señales Una señal está definida como una cantidad física que varía en el tiempo, espacio, o con otra(s) variable(s) s 1 (t) = 5t s 2 (t) = 20 t 2 s(x,y) = 3x + 2xy + 10y 2 s = 1 i N A i (t) sen[2πf i (t)t + θ i (t)]

4 Cómo se generan las señales? La generación de la señal está asociada con un sistema que responde al estímulo. El estímulo en combinación con el sistema es llamado fuente de la señal. Un sistema se puede definir como un dispositivo físico que efectúa una operación a una señal. La realización de esas operaciones son referidas como procesamiento de la señal.

5 Elementos básicos de un sistema PDS. La mayoría de las señales son analógicas por naturaleza. Estas señales son funciones de una variable continua (tiempo, espacio). Pueden procesarse con sistemas analógicos (filtros o analizadores de frecuencia). En estos casos la señal se ha procesado directamente en su forma analógica. Señal Analógica de entrada Procesador de la señal analógica Señal Analógica de salida

6 El procesamiento de la señal digital nos da un método alternativo para procesar la señal analógica Se requiere de una interfaz: Convertidor A/D En ciertas aplicaciones requerimos de otra interfaz: Un convertidor D/A Señal Analógica de entrada A/D Procesador de la señal digital D/A Señal Analógica de salida Señal digital de entrada Señal digital de salida

7 Clasificación de las señales Los métodos a emplear en el procesamiento ó análisis de una señal depende en gran medida de sus características. Señales multicanal y multidimensionales. Señales continuas y discretas en el tiempo. Señales con valores continuos y con valores discretos. Señales determinísticas y aleatorias.

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9 Concepto de frecuencia en señales continuas y discretas en el tiempo. x a (t) = A cos(ωt + θ), - < t < Ω = 2πF : Frecuencia angular 1. Para cada F determinada, x a (t) es periódica. T p = 1/F es el período fundamental. 2. Diferentes frecuencias, señales diferentes 3. Mayor frecuencia, mayor oscilación (a) Analog form (b) Magnetic tape contanin x d (n) = A cos(ωn + θ), - < n < ω = 2πf : Frecuencia angular 1. La señal es periódica si f es un racional. f = k/n; cos[2πf(n+n) + θ] = cos[2πfn + θ] El menor N es el periodo fundamental. 2. Dos o más señales son iguales (a) si Analog sus form f las separa un (b) Sampled múltiplo analog de form2π 3. La mayor oscilación solo se logra si ω= ± π ó f = ± ½ Nota: Identidad de Euler Acos(ωn + θ) = ½AeMagnetic j(ωn + θ) tape + ½Ae-j(ωn + θ) contaning analog and digital forms of a signa

10 2. Conversión A/D Muchas señales de interés práctico son analógicas: voz, sísmicas, biológicas, radar, sónar, audio, video, etc. Para procesarlas por medios digitales es necesario convertirlas en una señal digital: Conversión Analógica a Digital. Esta conversión consta de tres pasos: Muestreo Cuantización Codificación

11 Conversión A/D

12 Muestreo Conversión de una señal continua a discreta en el tiempo a través de muestras de la señal tomadas en instantes discretos de tiempo. x a (t) es la entrada al muestreador x(nt) x(n) es la salida T es el intervalo de muestreo Cuantización Conversión de una señal discreta de valores continuos a valores discretos (digital). El valor de cada muestra se representa con un elemento seleccionado de un conjunto finito de posibles valores. La diferencia x(n) x q (n) se llama error de cuantización. Codificación Cada valor discreto cuantizado x q (n) se representa mediante una secuencia binaria b-bit.

13 Convertidor A/D x a (t) Muestreador x(n) Cuantizador x q (n) Codificador 0100 Señal analógica Señal discreta Señal cuantizada Señal digital En ocasiones es deseable convertir la señal digital procesada en analógica: Convertidor D/A Se conectan puntos a través de interpolación Para señales con contenido de frecuencia limitado (ancho de banda finito), el teorema de muestreo especifíca la forma óptima de interpolar

14 El muestreo no produce pérdida de información ni distorsión si la señal tiene un ancho de banda finito Una señal análoga se puede reconstruir de muestras si la tasa de muestreo es lo suficientemente alta para no producir aliasing La cuantización es irreversible y produce distorsión, la cual depende de la resolución (número de bits). La resolución implica costo, lo mismo que la tasa de muestreo

15 Aliasing

16 Muestreo de señales analógicas Muestreo periódico o uniforme. x(n) = x a (nt), - < n < + T es el período de muestreo F s = 1/T es la tasa o frecuencia de muestreo (# de muestras por segundo ó Hertz) t = nt = n/f s Relación entre al F de la señal analógica y la f de la señal digital: f = F/F s x(n) = x a (nt)

17 Muestreo

18 Relaciones entre variables de frecuencia x a (t) = Acos(2πFt + θ) Acos(Ωt + θ) Señal continua Ω = 2πF rad/s Hz - Ω - F ω = ΩT f = F/F s Ω = ω/t F = f F s Señal discreta ω = 2πf rad/muestra ciclos/muestra - π ω π - ½ f ½ - π/t Ω π/t - F s /2 F F s /2 x(n) = Acos(2πfn + θ) Acos(ωn + θ) El muestro introduce ambigüedad, la frecuencia más alta en una señal continua que puede distinguirse cuando la señal se muestrea a F s = 1/T es F max = ½ F s = 1/(2T) y Ω max = πf s = π/t

19 Sean x 1 (t) = cos20πt y x 2 (t) = cos100πt con F s = 40 Hz Cuáles son x 1 (n) y x 2 (n)?

20 x a (t) = 3 cos 100π t a) Cuál sería la F s mínima para evitar aliasing? b) Si F s = 200 Hz Cuál sería x(n)? c) Si F s = 75 Hz Cuál sería x(n)? d) Cuál sería la frecuencia 0 < F < F s /2 de una señal senoidal con muestras idénticas a x(n) en c)? Respuestas a) F s 100 Hz b) x(n) = 3 cos(π n/2) c) x(n) = 3 cos(2 π n/3) d) F = 25 Hz y a (t) = 3 cos 50 π t

21 3. Teorema del muestreo Dada una señal analógica, cómo podemos seleccionar el período de muestreo T, o su tasa de muestreo F s? Información acerca de la señal: contenido de frecuencia. Señal de voz: Menor a 3000 Hz Señal de TV: Menor a 5 MHz La informacion se encuentra en las amplitudes, frecuencias y fases de los componentes de la señal.

22 Conociendo la máxima frecuencia contenida en una señal, se puede determinar la tasa de muestreo. Podemos suponer que las componentes de una señal no exceden a una frecuencia conocida F max. Con F max podemos determinar la tasa de muestreo adecuada a nuestra señal. Para evitar ambigüedades como el aliasing, la tasa de muestreo se selecciona de modo que: F s > 2F max

23 Teorema del muestreo. La frecuencia más alta contenida en una señal analógica x a (t) es F max = B y si la señal se muestrea a una tasa F s > 2F max 2B, entonces x a (t) puede recuperarse exactamente a partir de los valores de sus muestras empleando la función de interpolación g(t) = sen2πbt / 2πBt Así x a (t) puede expresarse como donde x a (n/f s ) = x a (nt) x(n) son las muestras de x a (t).

24 Cuando el muestreo se efectúa con la tasa mínima F s = 2B, la fórmula de reconstrucción es: La tasa de muestreo F N = 2B = 2F max se conoce como tasa de Nyquist.

25 Ejercicios. 1. Cuál es la tasa de Nyquist para x a (t)? 2. Cuál es la tasa de Nyquist para x a (t)? Si F s = 5000 muestras/s Qué señal se obtiene después del muestreo? Cuál es la señal reconstruida y a (t) si usamos interpolación ideal?

26 Cuantización de señales de amplitud continua. Una señal digital es una secuencia de muestras donde cada una se representa con un número finito de dígitos. El proceso de convertir una señal discreta de amplitud continua en una señal digital expresando cada valor de una muestra con un número finito de dígitos es llamado cuantización. El error introducido en la representación de una señal de valores continuos con un conjunto finito de niveles discretos de valores se llama error o ruido de cuantización.

27 La operación de cuantización de las muestras x(n) se representa como: x q (n) = Q[x(n)] El error de cuantización se representa como: e q (n) = x q (n) x(n)

28 Operaciones involucradas en la cuantización. 1. Truncamiento 2. Redondeo val = t(val) = 0.5 r(val) = 0.6 Los valores permitidos en una señal digital se llaman niveles de cuantización. La distancia entre dos niveles sucesivos de cuantización se llama paso de cuantización o resolución (Δ). El error de cuantización e q (n) en el redondeo es: -Δ/2 e q (n) Δ/2

29 Si x min y x max representan los valores mínimo y máximo de x(n) y L es el número de niveles de cuantización, entonces: Δ = (x max - x min ) / (L - 1) x max - x min es el rango dinámico de la señal.

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31 Codificación de muestras cuantizadas. La codificación en los convertidores A/D asigna un número binario único a cada nivel de cuantización. Una palabra de b bits crea 2 b números binarios diferentes. Entonces tenemos 2 b L ó b sup[log 2 L] Conversión D/A. La tarea del CDA es interpolar las muestras. El teorema del muestreo especifica la interpolación óptima para señales de banda limitada. Suele emplearse un postfiltrado a la señal obtenida de esta conversión. Ej, Filtro de aplanamiento.

32 Muestreo, cuantización e interpolación

33 La señal discreta x(n) = 6.35 cos (πn/10) es cuantizada con una resolución a) Δ = 0.1 b) Δ = 0.02 Cuántos bits se requieren en cada caso y con cuántos niveles de cuantización L?

34 Bibliografía Digital Signal Processing: Principles, algorithms and applications J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed Introduction to Signals and Systems, D. K. Lindner McGraw Hill, Signals and Systems: Continuous and Discrete. R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. Fannin Prentice Hall, 4a Ed Principles of Signals and Systems F. J. Taylor McGraw Hill, 1a Ed Signals and Systems A. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed