TEMA4: Implementación de Filtros Discretos

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1 TEMA4: Implementación de Filtros Discretos Contenidos del tema: El muestreo y sus consecuencias Relaciones entre señales y sus transformadas: Especificaciones de filtros continuos y discretos Aproximaciones usuales Ejemplos Técnicas de implementación de filtros IIR: Respuesta impulsiva invariante Transformación bilineal Implementación de filtros FIR Tr. 1

2 Algunas Consideraciones al Procesado Discreto La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuencia de la señal de entrada) condiciona la información disponible y la convertibilidad entre el dominio continuo y el discreto. La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuencia de la señal de entrada) condiciona la forma del espectro discreto. La precisión de la transformación discreta-continua depende de la calidad del algoritmo de interpolación y de la frecuencia de muestreo. Tr.

3 La frecuencia de muestreo (en relación con el contenido en frecuencia de la señal de entrada) condiciona la forma del espectro discreto. Tr. 3

4 Tr. 4

5 Tr. 5

6 Restricciones al Procesado Discreto Teorema de Nyquist: Para poder recuperar una señal muestrada debemos usar una frecuencia de muestreo por lo menos doble que la frecuencia significativa más alta de la señal de entrada. Sea la banda de interés de la señal de entrada: w < w max Sea la frecuencia de muestreo: w s Teorema de Nyquist: w s > w max Interesa limitar la banda de la señal de entrada usando un filtro de paso de baja Es imprescindible colocar un filtro de paso de baja al reconvertir la información como señal continua Ambos filtros son CONTINUOS! Tr. 6

7 Maneras de Filtrar Entrada Continua Salida Continua Filtro Continuo Filtro SC Filtro Continuo C k C k Filtro Continuo A/D Filtro Digital D/A Filtro Continuo C k Objetivo: Poder hacer un procesado Similar en todos los casos Tr. 7

8 Síntesis de Filtros Discretos Tareas Encontrar funciones en z que sean equivalentes a filtros continuos Determinar procedimientos para construir esas funciones en z Elegir una estructura de sistema y determinar sus coeficientes Seleccionar las características necesarias para soportar la información (nº de bits, frecuencia de muestreo, código binario, tipo de representación, grado de paralelismo...) Escoger los componentes y diseñarlos Verificar los resultados Necesidades Criterios para comparar entre opciones Estimación de la calidad de una solución Tr. 8

9 Síntesis de Filtros Discretos Diseñar Filtro Analógico Aplicar Transformación de Frecuencia Aplicar Transformación de Variable s ---> s s ---> s s ---> z Filtro IIR Diseñar Filtro Analógico Aplicar Transformación de Variable Aplicar Transformación de Frecuencia s ---> s s ---> z z ---> z Filtro IIR Tr. 9

10 Relaciones entre Señales y sus Transformadas Expresión Alternativa: X * ( jω) X D e jω 1 T X j ω s T jn π s T n s X c (jω) Α ESCALADO DIGITAL ω 0 Ω 0 X(e jω ) Ω 0 ω 0 Ω Α/T s w 0 W 0 T s π π 0 π π ω Tr. 10

11 Relaciones entre Señales y sus Transformadas ESCALADO DIGITAL T s 3 ms Ω 0 X(e jω ) Α/T s Ω 0 w 0 W 0 T s T s ms -W s 0 W s Ω 0 Ω 0 ω -W s 0 W s ω Importa NO el valor absoluto de W 0 sino su valor relativo respecto a T s (o a W s ) Es necesario hacer una normalización, por ejemplo: w s W s T s p Tr. 11

12 Relaciones entre Señales y sus Transformadas ESCALADO DIGITAL T s 3 ms Ω 0 X(e jω ) Α/T s Ω 0 w 0 W 0 T s T s ms -W s 0 W s Ω 0 Ω 0 ω -W s 0 W s ω Importa NO el valor absoluto de W 0 sino su valor relativo respecto a T s (o a W s ) Es necesario hacer una normalización, por ejemplo: w s W s T s p Tr. 1

13 Relaciones entre Señales y sus Transformadas X c (jω) Α ESCALADO DIGITAL T s 3 ms ω 0 Ω 0 X(e jω ) Α/T s Ω 0 ω 0 Ω w 0 W 0 T s π π 0 π π ω T s ms ω 0 ω 0 π π 0 π π ω Tr. 13

14 Relaciones entre Señales y sus Transformadas X e jω X * ( jω) X D e jω 1 T X j ω s T jn π s T n s x c (t) señal continua x*(t) x s (t) señal muestreada x(n) x c (t) tnts secuencia numérica F (CTFT) F (CTFT) z X c (jω) X s (jω) X(z) DTFT X(e jω ) X(z) ze jω ω ΩT s X s (jω) X(e jωτ s) X(e jω ) X s (jω/t s ) Tr. 14

15 Relaciones entre Señales y sus Transformadas x c (t) señal continua x c (nt s ) señal discreta x(n) x c (t) tnts secuencia numérica x*(t) x s (t) señal muestreada x c (nt s ) x c (t) tnts x(n) x c (nt s ) x s () t x c ( nt s )d( t nt s ) k xn ( )d( t nt s ) k Secuencia Transformada Z DTFT X(z) ze jw Señal Transf. Laplace CTFT X(s) sjw w -----> frecuencia digital W -----> frecuencia analógica Tr. 15

16 CTFT: Continuous-time Fourier Transform X S ( jw) X S ()e t jwt d t n jwnt s Xn ( )e DTFT: Discrete-time Fourier Transform X e jw X D e jw Xz ( ) z e jw n xn ( )e jwn sii > w W T s X S ( jw) X jwt s e X e jw X S j w - T s Tr. 16

17 Espectro original: x c (t) X c (jw) CTFT: x s (t) (otra visión): X S ( jw) [ X p c ( jw) PjW ( )] 1 - X T c [ j( W nw s )] s n W s p T s jwt s 1 X e - T X c [ j( W nw s )] s n X e jw 1 - X T c j w pn s T n s Tr. 17

18 Especificaciones de Filtros Discretos 1 d R p 0log d 1 jw1+δ δ 1 δ R p A s Rizado en la BP Banda de Transición Rizado en la BP (db) w p w s p Rizado en la BS Atenuación en la BS d A s 0 log d 1 w w jw Tr. 18

19 Filtros de Paso de Baja Discretos Definición del Problema: Obtener una función de sistema, H(z), (o su expresión en diferencias finitas) que tenga una banda pasante [0, ω p ] con una tolerancia δ 1 (ó R p en db), y una banda de rechazo [ω s, π] con tolerancia δ (ó A s en db) Tr. 19

20 Especificación de Filtros Continuos Escala Lineal Relativa: e H a ( jw) 1, ( W W p ) 0 H a ( jw) 1 A -, ( W s W ) H a ( jw) 1 Ω frecuencia analógica e 1 A - Ω p Ω s Ω Tr. 0

21 Filtros de Butterworth: Prototipo P. Baja N es el orden del Filtro N4 N1 N100 Función de transferencia: Módulo al cuadrado: H a ( jw) W W N c H a ( s) ( H a ( s) ) H a ( jw) W s j ( jw) N s N + ( jw c ) N p k Ω c e jπ(k+n+1)/n H a ( s) ( W c ) N ( s p k ) LHP Tr. 1

22 Filtros de Butterworth: Prototipo P. Baja N es el orden del Filtro N4 N1 N100 Función de transferencia: H a ( s) ( H a ( s) ) H a ( jw) w s j Módulo al cuadrado: ( jw) N s N + ( jw c ) N H a ( jw) w - w N c H a ( s) ( w c ) N ( s p k ) LHP Tr.

23 Filtros de Butterworth: Ecuaciones de Diseño Problema: Dados W p, R p, W s y A s Obtener N y W c En W W p : -10log H a (jw) R p -10log[1 + (W p /W c ) N ] -1 R p En W W s : -10log H a (jw) A s -10log[1 + (W s /W c ) N ] -1 A s Tr. 3

24 Filtros de Butterworth: Ecuaciones de Diseño N R p 10 A s 10 log log( W p W s ) W c W p W s R p 10 N W c A s 10 N Tr. 4

25 Filtros de Butterworth: Ejemplo Dados W p 0.p, R p 7 db, W s 0.3p, A s 16 db N log 10 0, , log( ( 0,p) ( 0,3p) ),79 3 W ,p 0,3p c 10 0, ,4985 W c , ,51 W c 0.5 H a ( s) ,15 ( s + 0,5) s + 0,5s + 0,5 Tr. 5

26 Filtros de Butterworth: Ejemplo A A B Tr. 6

27 Filtros de Chebyshev-I: Ejemplo A B Tr. 7

28 Filtros de Chebyshev-II: Ejemplo A B Tr. 8

29 Filtros Elípticos: Ejemplo A B Tr. 9

30 Técnicas de Aproximación para Filtros Discretos Filtros IIR ó Recursivos Método de la respuesta impulsiva invariante Modificación del método de la respuesta impulsiva invariante Transformación z apareada Transformación bilineal Filtros FIR ó No-recursivos Series de Fourier Fórmulas de análisis numérico Tr. 30

31 Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante Filtro Continuo H A (s) Filtro Continuo Idea: Imitar H A (s) a través de la función continua del bloque filtro + muestreador C k T, w s H * A (jw) * H A ( jω) HD e jωt h A ( 0+ ) H T A ( jω + jnω s ) n Procedimiento: 1.- Seleccionar un filtro analógico, H A (s).- Determinar h A (t) 3.- Discretizar la función temporal, h A (nt) 4.- Calcular la transformada z, Z[h A (nt)] Tr. 31

32 Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante Aplicación del Procedimiento (suposiciones): Para señales limitadas en banda, H A (jw) 0, para w w s / Se cumplirá: H A (jw + jkw s ) 0, para w w s / Si además h A (0+) 0 * Se cumplirá: H A ( jω) HD e jωt 1 - H T A ( jω) ; para w w s / Si grado [N(s)] < grado [D(s)] > Se cumplen las hipótesis Para polos simples: H ( s) A N A N p i i t N p i nt h () t A e s p A h ( nt) i A A e i i 1 i i 1 i 1 Para polos simples: H ( z) D N i 1 A i z z e p i T Tr. 3

33 Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante Utilidad para funciones sólo-polos Si el filtro analógico es estable, lo es el digital Ejemplo: H ( s) A Descomposición: s H ( s) A + 5s s s + 4 h A () t 1 - e t 1 - e 4t h 3 3 A ( nt) 1 - e nt 1 - e 4nT 3 3 Filtro Digital H ( z) D 1 - z 1 - z z e T z e 4T e T e 4T z z e T 4T z e Tr. 33

34 Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante H A ( s) s s + 5s s s + H D ( z) e 3T z z e T z 1 H D ( z) 1 0,8966z ,5595z 1 + 0,6065z Tr. 34

35 Filtros IIR: Respuesta Impulsiva Invariante Ejemplo: H A ( s) s H ( z) D + 5s + 4 H D ( z) K z ( z p 1 )( z p ) 1 - z 1 - z z e T z e 4T x(n) e T e 4T z z e T 4T z e H ( z) D Kz ( p + p )z 1 + p p z 1 1 p 1 + p z -1 K y(n) z -1 -p 1 p Tr. 35

36 Filtros IIR: Diseño Especificaciones del filtro digital: w p, R p, w s y A s Procedimiento (Filtro): 1.- Elegir T y determinar las frecuencias analógicas de interés: W p w p /T, W s w s /T.- Diseñar un filtro analógico, H a (s), usando Desarrollar H a (s) en fracciones simples 4.- Transformar los polos analógicos, p k, en digitales, e p k T Tr. 36

37 Filtros IIR: Butterworth, Ejemplo w p 0.p, w s 0.3p R p 1dB, A s 15dB A B Tr. 37

38 Filtros IIR: Butterworth, Ejemplo g 0 A x(n) -a 11 z -1 g a 1 z -1 g 11 y(n) B z - 1 g 0L -a 1L -a L z -1 g 1L Tr. 38

39 Filtros IIR: Transformación bilineal Técnicas anteriores: Emular la respuesta al impulso del filtro analógico Transformación bilineal: Emular la respuesta temporal del filtro analógico para cualquier excitación Alternativa: 1 Sea: H I ( s) - ; h s I () t Respuesta a una señal arbitraria: 1, t 0+ 0, t 0- yt () t x( τ)h I ( t τ)τ d 0 Para 0+ < t 1 < t t yt ( ) y( t 1 ) t x( τ)h I ( t τ) dτ t x( τ)h t I ( t τ) dτ 1 t x( τ)h 1 0 I ( t 1 τ) dτ x( τ) dτ 0 t 1 Aproximando cuando t 1 -> t t yt ( ) yt ( 1 ) t [ xt ( 1 ) + xt ( )] Tr. 39

40 Filtros IIR: Transformación bilineal Si t 1 nt - T, t nt: t yt ( ) yt ( 1 ) t [ xt ( 1 ) + xt ( )] ynt ( ) ynt ( T) Yz ( ) z 1 Yz ( ) T - [ xnt ( T) + xnt ( )] T - z 1 Xz ( ) + Xz ( ) La Función de Transferencia del integrador digital será: H I ( z) T - z z 1 Esto equivale a sustituir s por: s - ( z 1) T z + 1 Tr. 40

41 Filtros IIR: Transformación bilineal Significado de la transformación en el dominio s: t yt ( ) yt ( 1 ) t [ xt ( 1 ) + xt ( )] ynt ( ) ynt ( T) Yz ( ) z 1 Yz ( ) T - [ xnt ( T) + xnt ( )] T - z 1 Xz ( ) + Xz ( ) La Función de Transferencia del integrador digital será: H I ( z) T - z z 1 Esto equivale a sustituir s por: s - ( z 1) T z + 1 Tr. 41

42 Comparando Transformaciones jω 3π /Τ Im(z) π /Τ π /Τ σ 3π /Τ e st z Re(z) jω Im(z) σ 1+sT/ 1-sT/ z Re(z) Tr. 4

43 Comparando Transformaciones jω 3π /Τ Im(z) π /Τ π /Τ σ 3π /Τ e st z Re(z) Re(s) σ < > z < 1 [interior del círculo unidad] Re(s) σ > z 1 [circunferencia unidad] Re(s) σ > > z > 1 [exterior del círculo unidad] Todas las tiras semi-infinitas de anchura π/t se transforman en el círculo unidad Todo filtro analógico causal y estable se transforma en uno digital causal y estable Si H a (jω) H a (jω/t) 0 para Ω > π/t > H(e jω ) (1/T)H a (jω/t) para ω <π Tr. 43

44 Filtros IIR: Transformación bilineal Procedimiento: 1.- Seleccionar un filtro analógico, H A (s).- Sustituir s en H A (s), según: s - ( z 1) T z La función resultante, H D (z), es el filtro digital buscado En resumen: H D (z) H A (s) para s - ( z 1) T z + 1 Ejemplo: H A ( s) - ( z 1) s T z > ; s H D ( z) s ( z 1) T ( z + 1) + - ( z 1) T z Tr. 44

45 Filtros IIR: Transformación bilineal Ejemplo: H A ( s) - ( z 1) s T z > ; s H D ( z) s ( z 1) T ( z + 1) + - ( z 1) T z Ejemplo: Filtro Digital: α H D ( z) T α 1 z a 1 + a z 1 + a 3 z 10-4 T + + x(n) p 1 + p -p 1 p z - z - K K -K y(n) a 1 ( α + 4)α ( + 1) ; a ( α) ( + α) ; a 1 ( α 4)α ( 1) Tr. 45

46 Filtros IIR: Diseño usando la trans. bilineal Especificaciones del filtro digital: w p, R p, w s y A s Procedimiento (Filtro): 1.- Elegir T y determinar las frecuencias analógicas de interés: W p F 1 (w p, 1/T), W s F (w s, 1/T).- Diseñar un filtro analógico, H a (s), usando Sustituir s en H a (s) usando la transformación bi-lineal Tr. 46

47 Filtros IIR: Butterworth, Ejemplo B w p 0.p, w s 0.3p R p 1dB, A s 15dB A Tr. 47

48 Filtros IIR: Butterworth, Comparación A B B C e-004 B A B Tr. 48

49 Filtros IIR: Butterworth, Comparación Tr. 49

50 Filtros IIR: Transformación bilineal Relaciones: ; s - ( z 1) T z + 1 σ + jω z - + s T rexp( jω) - s T r - + σ T + ω σ + ω T 1 jw s s oo s-oo s0 Tr. 50

51 Filtros IIR: Transformación bilineal WARPING: H D (z) H A (s) para s - ( z 1) T z > H D (z) H D (e jw ) H D (e s ) s s' - s' es' 1 T e s' - e e T s' s' - e + e Ω sinh s' T cosh s' - ω jπ s s σ σ -jπ Tr. 51

52 Filtros IIR: Transformación bilineal WARPING:.- Sustituir s en H A (s), según: H D (z) H A (s) para s - ( z 1) T z > H D (e jw ) H A (jw) Ω - - ejω T e jω - ejω e jω T + 1 e jω - + e jω - sin ω T cos ω - Ω - tan ω > W < 0.3/T ----> ω Ω T Hay una evidente falta de linealidad!!! Tr. 5

53 Filtros IIR: Transformación bilineal WARPING: No-linealidad: Ω - tan ω > W < 0.3/T ----> ω Ω T ω π π π 3π Ω Tr. 53

54 Filtros IIR: Transformación bilineal WARPING: No-linealidad: Ω - tan ω > W < 0.3/T ----> ω Ω T ω π π π 3π Ω Tr. 54

55 Filtros IIR: Transformación bilineal WARPING: No-linealidad de Fase: ω π π π 3π Ω Tr. 55

56 Filtros IIR: Transformación bilineal Pre-warping: Seleccionar las frecuencias de interés: ej. Paso-baja: límite de la banda pasante, (W p ) y límite de la de corte, (W c ) Transformar esas frecuencias de interés según: Ω ω p p T atan Ω ω c c T atan ó Corregir la posición de los polos y ceros: - + σ - T m + s z T k m p k σ - T m s T k Tr. 56

57 Ejemplo: (T1) ( z 1) s + 1 z H A ( s) > ; s H D ( z) s ( z 1) ( z + 1) + 10 ( z 1) + z H D ( z) 0,15 + 0,1z 1 0,05z ,z σ T m z m σ T m σ 1 -, σ -3; s 3-1 z 1 0, z -0.0; p ; p 4 1 Tr. 57

58 Filtros FIR: Propiedades Filtro no recursivo: Hz ( ) N 1 hnt ( )z n n 0 Respuesta en frecuencia: z N 1 ( ) N 1 n 0 He jωt M( ω)e jθω ( ) N 1 hnt ( )e jωnt n 0 M( ω) He jωt θω ( ) argh e jωt hnt ( )z N 1 n N-1 polos en el origen Fase: τ p θω ( ) ; Retraso de grupo: ω τ g d θω ( ) d ω Tr. 58

59 Filtros FIR: Propiedades Filtros de Retraso Constante: Para que t p y t g sean constantes: θω ( ) τω θω ( ) τω N 1 hnt ( ) sinωnt atan n 0 N 1 hnt ( ) cosωnt n 0 N 1 hnt ( ) τω ωnt 0 n 0 ( N 1)T Soluciones: τ ; hnt ( ) h[ ( N 1 n)t] ; para 0 n N 1 Es posible mantener la fase y el retraso de grupo constantes en toda la banda pasante!! Tr. 59

60 Filtros FIR: Propiedades Filtros de Retraso Constante: Para que t p y t g sean constantes: 1 h(nt) N10 1 h(nt) N11 nt -1 n10-1 n10 Si sólo el retraso de grupo debe ser constante: ( N 1)T θω ( ) θ 0 τω ----->> τ y hnt ( ) h[ ( N 1 n)t] nt 1 N11 1 N10 h(nt) h(nt) nt -1 n10-1 n10 nt Tr. 60

61 Filtros FIR: Ejemplo Sea la respuesta al impulso: h(n) {1, 1, 1} H e jωt hn ( )e jωn 1 e jω e jω + + e jω 1 e jω jω + + e n 0 { 1 + cosω}e jω En este caso: H(e jω ) 1 + cosω, 0 < ω < π - ω, si 0 < ω < π/3 φ[h(e jω )] π - ω, si π/3 < ω < π Podemos definir: H(e jw ) H r (w)e j(b-aw), con β π/, α (N-1)/ En este caso: H r (w) 1 + cosω, -π < ω < π φ r [H(e jω )] - ω Tr. 61

62 H(e jw ) H r (w) f[h(e jw )] f r [H(e jw )] Tr. 6

63 Filtros FIR: Propiedades Respuesta en Frecuencia (caso simétrico con N impar): N He jωt hnt ( )e jωnt h ( N 1)T jω ( N 1)T + e + n 0 n N 1 N hnt ( )e jωnt Pero: n N 1 N hnt ( )e jωnt N hnt ( )e jω( N 1 n)t h[ ( N 1 n)t]e jωnt n 0 N 1 N + 1 n Tr. 63

64 Filtros FIR: Respuesta en Frecuencia h(nt) N H(e jωt ) Coeficientes Simétrica Antisimétrica Impar Par Impar Par jω ( N 1)T e jω ( N 1)T e N - k 1 jω ( N 1)T π - e jω ( N 1)T π - e ( N 1) k 0 b cos k ( N 1) k 0 N - k 1 a k cosωkt ω 1 k - T a k sin[ ωkt] b k sin ω 1 k - T a 0 a k b k h N T h h N k T N - k T Tr. 64

65 Filtros FIR: Posición de los ceros Hz ( ) Las restricciones exigen: N hnt ( N 1) n 0 ( ) z z Haciendo k (N-1)/ -n: Hz ( ) ( N 1) n ± z Los ceros de N(z) son los de H(z). Para esta expresión (sea N par o impar): N Nz 1 ± Nz ( ) Se trata de polinomios de imagen especular z ( N 1) n + a k z k ± z k ( N 1) k h ( N 1) T 0 z Nz ( ) Dz ( ) ( ± z 0 ) Tr. 65

66 Filtros FIR: Posición de los ceros Polinomios de imagen especular: Si z i r i e jφ i es un cero, z k z i -1 e -jφi /r i también es un cero. Implicaciones: Puede haber un número arbitrario de ceros en z i 1 ó -1. Puede haber un número arbitrario de pares de ceros complejos conjugados sobre dicha circunferencia. Los ceros fuera de esa circunferencia aparecen en pares recíprocos. Los ceros complejos fuera de la circunferencia unidad aparecerán en grupos de 4. N-1 polos Tr. 66

67 Filtros FIR: Ejemplo Sea: h(n) {-4, 1, -1, -, 5, 6, 5, -, -1, 1, -4} ----> N 11, α (N-1)/ 5 a(0) h(α) h(5) 6; a(1) h(5-1) 10; a() h(5-) -4; a(3) h(5-3) -; a(4) h(5-4) ; a(5) h(5-5) -8; Ahora: H r (w) a(0) + a(1)cosω + a()cosω + a(3)cos3ω cosω - 4cosω - cos3ω + cos4ω - 8cos5ω Tr. 67

68 Filtros FIR: Ejemplo Tr. 68

69 Filtros FIR: Ejemplo 3 Sea: h(n) {-4, 1, -1, -, 5, 6, 6, 5, -, -1, 1, -4} ----> N 1, α (N-1)/ 5.5 b(1) h(6-1) 1; b() h(6-) 10; b(3) h(6-3) -4; b(4) h(6-4) -; b(5) h(6-5) ; b(6) h(6-6) -8; Ahora: H r (w) b(1)cosω(1 1/) + b()cosω( 1/) + b(3)cosω(3 1/) cos(ω/) + 10cos(3ω/) - 4cos(5ω/) - cos(7ω/) + cos(9ω/) - 8cos(11ω/) Tr. 69

70 Filtros FIR: Ejemplo 3 Tr. 70

71 Filtros FIR: Ejemplo 4 Sea: h(n) {-4, 1, -1, -, 5, 0, -5,, 1, -1, 4} ----> N 11, α (N-1)/ 5 Tr. 71

72 Filtros FIR: Ejemplo 5 Sea: h(n) {-4, 1, -1, -, 5, 6, -6, -5,, 1, -1, 4} ----> N 1, α (N-1)/ 5.5 Tr. 7