Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca

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1 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca INTRODUCCION AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Cátedra: Técnicas Digitales III Profesor: Mag. Guillermo R. Friedrich Octubre 2002

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3 Indice Introducción Filtros Digitales Características de los filtros digitales Caracterización de filtros digitales Filtros No Recursivos Filtros Recursivos Redes de Filtrado Digital Introducción al análisis en el dominio del tiempo Sumatoria de Convolución Estabilidad La transformada Z Propiedades de la transformada Z Transformada Z unilateral La transformada Z inversa Otras maneras de hallar la antitransformada Z Aplicación de la transformada Z Obtención de H(z) Criterio de Estabilidad de Jury Análisis en el dominio del tiempo Análisis en el dominio de la frecuencia Aproximaciones de filtros analógicos Conceptos básicos Aproximación de Butterworth Función Transferencia Normalizada Otras aproximaciones de filtros analógicos Transformaciones Aproximación por filtros recursivos Realizabilidad Método de la Transformación Bilineal Realización de un filtro digital Propiedades de mapeo de la transformación bilineal... 33

4 6. La transformada discreta de Fourier (DFT) Antitransformada discreta de Fourier (IDFT) Interrelación entre DFT y transformada Z Teorema del muestreo en el dominio de la frecuencia Aliasing en el dominio del tiempo Interrelación entre la transformada discreta de Fourier (DFT), y la la transformada contínua de Fourier (CFT) Algoritmos para el cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT) Diseño de filtros no recursivos (FIR) Propiedades de los filtros no recursivos Diseño de filtros no recursivos usando Series de Fourier Uso de funciones de ventana Ventana Rectangular Ventanas de von Hann y de Hamming Ventana de Blackman Ventana de Dolph-Chebyshev Ventana de Kaiser Un método de diseño de filtros FIR basado en la ventana de Kaiser Bibliografía recomendada Antoniu A., "Digital Filters. Analysis, Design and Applications", 2º edición., McGraw-Hill. Oppenheim, Schafer & Buck, "Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto", 2º edición, Prentice-Hall.

5 Introducción al Introducción El procesamiento de señales trata de la representación, transformación y manipulación de señales y de la información que contienen. Por ejemplo, podríamos desear separar dos o más señales que se han combinado de alguna forma, o podríamos querer realzar alguna componente de la señal o algún parámetro de un modelo de señal. Este procesamiento se puede realizar mediante teconología analógica en tiempo contínuo, o como se ha ido difundiendo cada vez más mediante procesamiento en tiempo discreto mediante programas y procesadores. Si las señales a tratar son analógicas, deberán ser convertidas en una secuencia de muestras, a fin de ser procesadas mediante algún algoritmo. Luego, de ser necesario serán vueltas a convertir en señales analógicas. Un ejemplo de esto es el filtrado de señales de audio. Es común que se denomine a esta forma de procesamiento, indistintamente, como procesamiento digital de señales o procesamiento de señales en tiempo discreto. Una buena parte del procesamiento de señales involucra el proceso de una señal para obtener otra señal: es el caso del filtrado digital. Otra buena parte del procesamiento de señales comprende la interpretación de señales. En este caso no se intenta obtener una señal de salida, sino una caracterización de la señal de entrada. Un ejemplo de este tipo de procesamiento es el reconocimiento de voz. 1. Filtros Digitales Un filtro digital puede ser representado mediante el siguiente diagrama en bloques: y(nt) = R x(nt) x(nt) Filtro Digital y(nt) x(nt) es la secuencia de entrada -la excitación del filtro- e y(nt) es la respuesta del filtro ante la excitación x(nt). El análisis de un filtro digital es el proceso de determinar la respuesta de un filtro ante una dada excitación. El diseño de un filtro digital es el proceso de sintetizar e implementar un filtro digital de tal manera que cumpla con las especificaciones prescriptas. 1.1 Características de los filtros digitales Los filtros digitales deben cumplir con las siguientes propiedades: Invariancia en el tiempo Causalidad Linealidad Invariancia en el tiempo Partiendo del reposo, y teniendo en cuenta que: x(nt) = y(nt) = 0 n < 0, Mag. Guillermo Friedrich - 1 -

6 un filtro digital es invariante en el tiempo si, para cualquier posible excitación, se cumple que: R x(nt kt) = y(nt kt) Ejemplos: (a) y(nt) = 2 nt x(nt) R x(nt kt) = 2 nt x(nt kt) y(nt kt) = 2 (nt kt) x(nt kt) son distintos NO es Invariante en el Tiempo (b) y(nt) = R x(nt) = 12 x(nt T) + 11 x(nt 2T) R x(nt kt) = 12 x(nt kt T) + 11 x(nt kt 2T) y(nt kt) = 12 x(nt kt T) + 11 x(nt kt 2T) son iguales es Invariante en el Tiempo Causalidad Para que un filtro digital sea causal, su salida en un instante dado no puede depender de valores posteriores de la excitación. Es decir: para un par de excitaciones tales que: x 1 (nt) = x 2 (nt) n k y x 1 (nt) x 2 (nt) n > k Si el filtro es causal se debe cumplir que: R x 1 (nt) = R x 2 (nt) n k Ejemplos: (a) y(nt) = R x(nt) = 3 x(nt 2T) + 3 x(nt + 2T) Para n=k tenemos: R x1(kt) = 3 x 1 (kt 2T) + 3 x 1 (kt + 2T) = = 3 x 1 ( (k 2)T ) + 3 x 1 ( (k+2)t ) R x 2 (kt) = 3 x 2 ( (k 2)T ) + 3 x 2 ( (k+2)t ) son distintos NO Causal (b) y(nt) = R x(nt) = 2 x(nt T) 3 x(nt 2T) Si n k (n 1) < k y: (n 2) < k x 1 (nt T) = x 2 (nt T) y: x 1 (nt 2T) = x 2 (nt 2T) n k Mag. Guillermo Friedrich - 2 -

7 R x 1 (nt) = R x 2 (nt) n k El filtro es Causal Linealidad Un filtro digital es lineal si se cumple que: R α x(nt) = α R x(nt) O bien: R [ x 1 (nt) + x 2 (nt) ] = R x 1 (nt) + R x 2 (nt) R [α x 1 (nt) + β x 2 (nt) ] = α R x 1 (nt) + β R x 2 (nt) α, x 1 (nt) y x 2 (nt) α, β, x 1 (nt) y x 2 (nt) Ejemplos: (a) y(nt) = R x(nt) = 7 x 2 (nt T) R α x(nt) = 7 α 2 x 2 (nt T) α R x(nt) = 7 α x 2 (nt T) No Lineal (b) y(nt) = R x(nt) = (nt) 2 x(nt + 2T) R [α x 1 (nt) + β x 2 (nt) ] = (nt) 2 [ α x 1 (nt + 2T) + β x 2 (nt + 2T) ] = = α (nt) 2 x 1 (nt + 2T) + β (nt) 2 x 2 (nt + 2T) = = α R x 1 (nt) + β R x 2 (nt) Es Lineal 1.2 Caracterización de Filtros Digitales Filtros No Recursivos Los filtros digitales no recursivos también se denominan "de Respuesta Finita al Impulso", y también se los identifica con la sigla FIR (Finite Impulse Response). La expresión general de un filtro FIR es la siguiente: Considerando que el filtro es causal tenemos que: y(nt) = a i x(nt it) i = a 1 = a 2 =... = 0, por lo tanto: Mag. Guillermo Friedrich - 3 -

8 y(nt) = a i x(nt it) i = 0 Si además se considera que se parte del reposo: x(nt) = 0 n < 0 y si sólo una cantidad finita de coeficientes es distinta de cero: a i = 0 i > N Se llega a la siguiente expresión del filtro no recursivo: N y(nt) = a i x(nt it) i = 0 Donde N: orden del filtro Esta expresión indica que el valor de salida actual de un filtro FIR es función de la entrada actual y de las N entradas anteriores Filtros Recursivos Los filtros digitales recursivos también se denominan "de Respuesta Infinita al Impulso", y también se los identifica con la sigla IIR (Infinite Impulse Response). La respuesta de un filtro IIR es función de la excitación y también de las respuestas anteriores. La siguiente es la expresión de un filtro digital recursivo, lineal, invariante en el tiempo y causal: N y(nt) = a i x(nt it) b i y(nt it) i = 0 i = 1 N Redes de Filtrado Digital La estructura de un filtro digital puede representarse gráficamente mediante una red en la que se combinan los siguientes elementos básicos: Retardo unitario: x(nt) T y(nt) y(nt) = x(nt T) Sumador: x 1 (nt) x k (nt) k y(nt) = x i (nt) i=1 Mag. Guillermo Friedrich - 4 -

9 Multiplicador: m x(nt) y(nt) y(nt) = m x(nt) Ejemplo: y(nt) = x(nt) + e α y(nt T) x(nt) e α T y(nt) 2. Introducción al análisis en el dominio del tiempo Para analizar el comportamiento temporal de un filtro digital se considera que a la entrada se le aplica una secuencia determinada. Para ello se utilizan una serie de funciones elementales, que generan cada una de ellas distintas secuencias. Estas funciones son las siguientes: Impulso unitario: δ(nt) = Escalón unitario: u(nt) = 1 n = 0 0 n 0 1 n 0 0 n < 0 Rampa unitaria: r(nt) = nt n 0 0 n < 0 Exponencial: e α nt Sinusoide: sen( ω nt ) La respuesta temporal de un filtro digital se puede determinar resolviendo la correspondiente ecuación de diferencias. Ejemplo (a): Hallar la respuesta temporal al impulso de filtro digital cuya ecuación de diferencias es: y(nt) = x(nt) + e α y(nt T) Mag. Guillermo Friedrich - 5 -

10 Partiendo del reposo: y(0) = 1 + e α y( T) = 1 y(t) = 0 + e α y(0) = e α y(2t) = 0 + e α y(t) = e 2α... y(nt) = e n α Las siguientes gráficas representan la respuesta temporal del filtro en función de α: α < 0 α=0 α>0 y(nt) y(nt) y(nt) 1 1 nt nt nt 1 Ejemplo (b): Hallar la respuesta temporal del filtro dado por la siguiente expresión: y(nt) = x(nt) + e α y(nt T) α < 0 Para la entrada: x(nt) = u(nt) sen(ω nt) y(nt) = R sen(ω nt) = R ( 1 e j ωnt 1 e j ωnt ) = 1 R e j ωnt 1 R e j ωnt = 2j 2j 2j 2j y(nt) = 1 y 1 (nt) 1 y 2 (nt) 2j 2j Ahora resolvemos por separado cada una de las componentes de la salida. y 1 (nt) = R e jωnt Partiendo del reposo: y 1 (0) = 1 + e α y( T) = 1 y 1 (T) = e j ωt + e α y 1 (0) = e α + e j ωt y 1 (2T) = e j 2ωT + e α y 1 (T) = e 2α + e α + j ωt + e j 2ωT... y 1 (nt) = e n α + e (n 1)α + j ωt e j ωnt n y 1 (nt) = e j ωnt e k ( α j ωt) k=0 Como esta expresión corresponde a una serie geométrica, puede demostrarse que : Mag. Guillermo Friedrich - 6 -

11 y 1 (nt) = e j ωnt ((n+1) α j ωt) e 1 e ( α j ωt) e j ωt 1 Si ahora consideramos la función: H(e j ωt ) = = = M(ω) e jθ(ω) e j ωt e α 1 e ( α j ωt) donde: M(ω) = H(e j ωt ) = e 2α 2 e α cos(ωt) y: θ(ω) = arg H(e j ωt ) = ωt arc tg sen(ωt) cos(ωt) e α y 1 (nt) = u(nt) M(ω) e j( θ(ω) + ω nt) e (n+1)α + j( θ(ω) ω T) Reemplazando ω por ω en y 1 (nt) se obtiene y 2 (nt) y 2 (nt) = u(nt) M( ω) e j( θ( ω) ω nt) e (n+1)α + j( θ( ω) + ω T) Como M( ω) = M(ω) y θ( ω) = θ(ω) se puede llegar a: y(nt) = 1 y 1 (nt) 1 y 2 (nt) 2j 2j y(nt) = M(ω) sen [ω nt + θ(ω) ] M(ω) e (n+1)α sen [ θ(ω) ωt] estacionario transitorio (tiende a 0 para n ) lím y(nt) = M(ω) sen [ω nt + θ(ω) ] n Donde: H(e j ωt ) : respuesta en frecuencia M(ω) : respuesta en amplitud θ(ω) : respuesta en fase x(nt) y(nt) 1- M(ω) - nt nt 1 - Mag. Guillermo Friedrich - 7 -

12 2.1 Sumatoria de Convolución La respuesta de un filtro digital a una excitación arbitraria puede ser expresada en términos de la respuesta del filtro a una entrada impulsiva. Para ello se debe realizar la convolución entre la señal de entrada y la respuesta impulsiva. Una señal de entrada x(nt) puede ser expresada de la siguiente forma: x(kt) si n=k x(nt) = x k (nt) donde: x k (nt) = k= 0 si n k También se podría expresar de la siguiente manera: x k (nt) = x(kt) δ(nt kt) Por lo tanto: x(nt) = x(kt) δ(nt kt) k= Partiendo de esta última expresión, vamos a considerar un filtro digital lineal, invariante en el tiempo, tal que su respuesta impulsiva sea: h(nt) = R δ(nt) y su respuesta a una entrada arbitraria x(nt) sea: y(nt) = R x(nt) y(nt) = R x(kt) δ(nt kt) = x(kt) R δ(nt kt) = x(kt) h(nt kt) k= k= k= Si el filtro es causal h(nt) = 0 n < 0, por lo tanto: y(nt) = n x(kt) h(nt kt) = h(kt) x(nt kt) k= k=0 Si además se considera que: x(nt) = 0 n < 0, la respuesta del filtro digital queda expresada mediante la siguiente sumatoria de convolución: y(nt) = n x(kt) h(nt kt) = h(kt) x(nt kt) k=0 k=0 n Ejemplo: Dado el filtro digital caracterizado por la siguiente expresión: y(nt) = x(nt) + e α y(nt T), calcular, usando la sumatoria de convolución, la respuesta del filtro a la siguiente excitación: Mag. Guillermo Friedrich - 8 -

13 x(nt) = 1 para 0 n 4 0 para otro n Tal como se ha visto más arriba, la respuesta impulsiva de este filtro es: h(nt) = R δ(nt) = e nα La entrada puede expresarse de esta otra forma, en términos de alguna de las funciones básicas que se mencionaron anteriormente: x(nt) = u(nt) u(nt 5T) Para n 4 y(nt) = R u(nt), En un ejemplo anterior ya se ha hallado la respuesta de este filtro al escalón unitario, entonces tenemos: n n 1 e (n+1) α y(nt) = e kα u(nt kt) = e kα = 1 e α para n 0 k=0 k=0 0 para n < 0 Para n > 4 y(nt) = R u(nt) R u(nt 5T) 1 e (n 4)α n 5 n 5 1 e α n 5 R u(nt 5T) = R u( (n 5)T ) = e kα u( (n 5)T kt ) = e kα = k=0 k=0 0 n < 5 Finalmente, reuniendo ambos resultados en una sola expesión, llegamos a: y(nt) = R u(nt) R u(nt 5T) = 1 e (n+1) α 0 n 4 1 e α e (n 4) α e (n+1) α n 5 1 e α 2.2 Estabilidad Un filtro digital es estable si para cualquier excitación acotada se obtiene una salida acotada, es decir: y(nt) < n para x(nt) < n Vamos a tratar de encontrar la forma de determinar si un filtro es estable: Mag. Guillermo Friedrich - 9 -

14 y(nt) h(kt). x(nt kt) El módulo de una suma es menor o igual k= que la suma de los módulos; y además el módulo de un producto es menor o igual que el producto de los módulos. Si x(nt) M < n y(nt) M h(kt) k= Por lo tanto, si: h(kt) < y(nt) < n k= Condición de estabilidad Ejemplo: analizar si el filtro dado por y(nt) = x(nt) + e α y(nt T) es estable. Para este filtro: h(nt) = R δ(nt) = e nα Por lo tanto: h(kt) = 1 + e α + e 2α e nα k= e (k+1)α Esta serie converge si: < 1 Es decir, si: e α < 1 e kα Por lo tanto, la condición de estabilidad es: α < 0 Mag. Guillermo Friedrich

15 3. La transformada Z La transformada Z se utiliza para el análisis de filtros digitales lineales e invariantes en el tiempo. Transforma ecuaciones de diferencias en expresiones algebraicas, lo que simplifica los cálculos. Definición: Notación: F(z) = f(nt) z n Para cualquier z, tal que F(z) converge. n=- z : variable compleja z = x + j y F(z) = Z f(nt) 3.1 Propiedades de la transformada Z a) Región de convergencia - El tipo de funciones que se usa en filtros digitales son funciones meromórficas (sus únicas singularidades son polos). - Hay más de una serie que converge. Por ejemplo, dado el siguiente diagrama de polos y ceros: x x x x x Se puede ver que hay tres regiones de convergencia: I, II y III x x I x III II x x Se asume que la serie que interesa es una que converge en la región III, es decir: R 1 z R 2 b) Linealidad donde: z = R 1 es el círculo que pasa por los polos más alejados del origen R 2 Si a y b son constantes, y Z f(nt) = F(z) y Z g(nt) = G(z), entonces: Mag. Guillermo Friedrich

16 Z [ a f(nt) + b g(nt) ] = a F(z) + b G(z) c) Translación Z f(nt + mt) = z m F(z) d) Cambio de escala complejo: e) Diferenciación compleja: Z [ω n f(nt) ] = F(ωz) Z [ nt f(nt) ] = T z d F(z) dz f) Convolución Real: Z f(kt) g(nt kt) = F(z) G(z) k= o bien: Z f(nt kt) g(nt) = F(z) G(z) k= 3.2 Transformada Z unilateral De manera análoga a la transformada de Laplace, la transformada Z unilateral es definida así: F(z) = f(nt) z n = Z I f(nt) n=0 Z Z I sólo si f(nt) 0 para n<0. Ejemplos: Como se trabaja con funciones que son cero para n<0, no es necesario hacer la distinción. a) Z δ(nt) = δ(0) + δ(t) z 1 + δ(2t) z = 1 1 z b) Z u(nt) = u(0) + u(t) z 1 + u(2t) z = 1 + z 1 + z = = 1 z 1 z 1 K c) Z u(nt T) K = K z 1 Z u(nt) = (aplicando la propiedad de translación) z 1 K z (se aplicó la prop. d) Z [ u(nt) K ω n ] = K Z [ (1/ω) n u(nt) ] = K Z u(nt) = de cambio de z z/ω z ω escala complejo) Mag. Guillermo Friedrich

17 z e) Z [ u(nt) e α nt ] = (se partió del ejemplo anterior, y se hizo K=1 y ω = e αt ) z e αt f) Z r(nt) = Z [ nt u(nt) ] = T z d [ Z u(nt) ] = Tz (aplicando prop. de diferenc. compl.) dz (z 1) 2 g) Z [u(nt) sen(wnt)] = Z [ u(nt) ( e jωnt e jω nt )] = 2j = 1 Z [ u(nt) e jωnt ] 1 [ u(nt) e j ωnt ] = 2j 2j Aplicando lo visto en el ejemplo (e), se llega al siguiente resultado: Z [u(nt) sen(wnt)] = 1 [ z z ] = z sen(ωnt) 2j z e jωt z e jωt z 2 2z cos(ωnt) La transformada Z inversa Si F(z) converge en algún anillo abierto, tal como se vió anteriormente al definir la transformada Z, entonces es posible obtener f(nt) de la siguiente manera: f(nt) = 1 F(z) z n 1 dz = Z 1 F(z) 2πj Γ Si: F(z) z n 1 = F 0 (z) = N(z) donde k y m son enteros positivos k m i ( z p i ) i=1 Aplicando el teorema del residuo se obtiene: f(nt) = res z=pi [Fo(z)] La notación es la siguiente: f(nt) = Z 1 F(z) Ejemplos: Hallar la antitransformada Z de las siguientes F(z): (a) F(z) = (2z 1) z 2 (z 1) (z + 0.5) f(nt) = res z=1 [ F(z) z n 1 ] + res z= 0,5 [ F(z) z n 1 ] = (2z 1) z n + (2z 1) z n 2 (z + 0.5) 2(z 1) z=1 z= 0.5 Mag. Guillermo Friedrich

18 f(nt) = ( 1 ) n Como f(nt)=0 n<0 f(nt) = u(nt) [ ( 1 ) n ] (b) F(z) = 1 F o (z) = F(z) z n 1 = z n 1 _ 2 (z 1) (z + 0.5) 2 (z 1) (z + 0.5) Esta F(z) tiene un polo en el origen para n=0 f(0) debe obtenerse por separado. Para n=0 : f(0) = = 1 + _1 + 2 _ = 0 2 (z 1) (z + 0.5) 2 (z + 0.5) z 2 (z 1) z 3 3 z=0 z=1 z= 0.5 Para n>0 : f(0) = z n-1 + z n-1 = _1 1 ( 1 ) n 1 2 (z + 0.5) 2 (z 1) z=1 z= 0.5 Finalmente: f(nt) = a(nt T) [ 1 1 ( 1 ) n 1 ] Otras maneras de hallar la antitransformada Z Expansión Binomial F(z) = K = K ( 1 w z 1 ) 1 = K ( 1 w z 1 + w 2 z ) = z w z z F(z) = K ( z + w z 2 + w 2 z ) = [ u(nt T) K w n 1 ] z n n=0 Z 1 [ K ] = u(nt T) K w n 1 Es apta para F(z) con un solo polo. z w Mag. Guillermo Friedrich

19 Fracciones Parciales Si una transformada Z se expresa de la siguiente manera: k F(z) = F i (z) i=1 Entonces, la antitransformada Z se puede hallar así: k Z 1 F(z) = Z 1 F i (z) i=1 Ejemplo: Sea F(z) = z = 2 1 (z ½) (z ¼) (z ½) (z ¼) Por lo tanto: f(nt) = 2 u(nt T) (½) n 1 u(nt T) (¼) n 1 = 4 u(nt T) [(½) n (¼) n ] Uso del Teorema de Convolución Si una transformada Z se puede convertir en el producto de dos transformadas Z cuyas antitransformadas sean conocidas, mediante convolución se puede hallar la antitransformada Z. Z 1 [ F(z) G(z) ] = f(kt) g(nt kt) k= Ejemplo: Y(z) = z F(z) = z G(z) = 1 (z 1) 2 z 1 z 1 De la tabla se obtiene: f(nt) = u(nt) g(nt) = u(nt T) Por lo tanto: y(nt) = u(kt) u(nt T kt) = k= y(nt) = u(0) u(nt T) + u(t) u(nt 2T) +... = = n y(nt) = n u(n) Mag. Guillermo Friedrich

20 Convolución Compleja La convolución compleja permite encontrar la transformada Z del producto de dos funciones en el dominio del tiempo. Si: Z f(nt) = F(z) = f(nt) z n n= Z g(nt) = G(z) = g(nt) z n n= Y(z) = Z [ f(nt) g(nt) ] = [f(nt) g(nt)] z n Donde: g(nt) = Por lo tanto: Y(z) = f(nt) 1 G(v) v n 1 dv z n = n= 2πj Γ 1 Y(z) = 1 f(nt) v n 1 z n G(v) v 1 dv = 2πj Γ 1 n= n= 1 G(v) v n 1 dv 2πj Γ 1 Y(z) = 1 F(z/v) G(v) v 1 dv = 1 F(z) G(z/v) v 1 dv = 2πj Γ 1 2πj Γ 2 Donde: Γ 1 (o Γ 2 ) es un contorno en la región común de convergencia de F(z) y G(z/v) de F(z) y G(z/v) ( o de F(z/v) y G(z) ). Ejemplo: Hallar la transformada Z de y(nt) = u(nt) e αnt sen ωt Sean: f(nt) = u(nt) e αnt g(nt) = u(nt) sen ωt Γ 2 1 F(z) = z G(z) = z sen ωt z e αt (z e jωt ) (z e jωt ) F(z/v) = z/v = z G(v) = v sen ωt z/v e αt v z e αt (v e jωt ) (v e jωt ) Y(z) = 1 z e αt sen ωt dv = z e αt sen ωt 2πj Γ 2 (v z e αt ) (v e jωt ) (v e jωt ) z2 2z e αt cos ωt + e 2αT plano v F(z/v) y G(z) convergen en: v < ze αt v > 1 Mag. Guillermo Friedrich

21 3.5 Aplicación de la transformada Z Usando la transformada Z, un filtro digital puede ser caracterizado mediante una función transferencia discreta en el tiempo, que juega el mismo rol que la función transferencia contínua en el tiempo para un filtro analógico. Considerando un filtro digital lineal e invariante en el tiempo, tal como el siguiente: y(nt) = x(kt) h(nt kt) Z y(nt) = Z h(nt). Z x(nt) Y(z) = H(z). X(z) k= Obtención de H(z) Para un filtro digital causal y recursivo tenemos: N y(nt) = a i x(nt it) b i y(nt it) i = 0 i = 1 N Por lo tanto: N Z y(nt) = a i z i Z x(nt) b i z i Z y(nt) i = 0 i = 1 N N Y(z) = X(z) a i z i Y(z) b i z i i = 0 i = 1 N N Y(z) 1 + b i z i = X(z) a i z i Como H(z) = Y(z) i = 0 i = 1 X(z) N N a i z i H o Π ( z z i ) i=0 i=0 H(z) = Y(z) = =... factoreando...= N 1 + b i z i Π ( z p i ) i=1 i=1 N Donde: z i son los ceros y p i son los polos N Mag. Guillermo Friedrich

22 Ejemplo: Hallar la función transferencia discreta del siguiente filtro: X(z) U(z) Y(z) ½ T ¼ T Los tres elementos básicos son: sumador: y(nt) = x i (nt) x i (nt) y(nt) Y(z) = X i (z) multiplicador: y(nt) = m x(nt) m x i (nt) y(nt) Y(z) = m X i (z) retardo: y(nt) = x(nt T) x(nt) T y(nt) Y(z) = z 1 X i (z) U(z) = X(z) + ½ z 1 U(z) ¼ z 2 U(z) U(z) = X(z) 1 ½ z 1 + ¼ z 2 Y(z) = U(z) + z 1 U(z) = (1 + z 1 ) U(z) Y(z) = (1 + z 1 ) X(z) H(z) = Y(z) = (1 + z 1 ) 1 ½ z 1 + ¼ z 2 X(z) 1 ½ z 1 + ¼ z 2 H(z) = z (z + 1) los polos son: p 1 = ¼ + j 3_ 1 x z 2 ½ z + ¼ 4 p 2 = ¼ j 3_ 4 x Como p 1 < 1 y p 2 < 1 El filtro es estable Mag. Guillermo Friedrich

23 3.5.2 Criterio de Estabilidad de Jury Si expresamos la función transferencia discreta de un filtro de la siguiente manera: H(z) = N(z) Donde: D(z) = b i z N i ( se asume b 0 > 0 ) D(z) i=0 Y se construye un arreglo como el siguiente: N Fila Coeficientes 1 b 0 b 1 b 2 b 3 b 4... b N 2 b N b N 1 b N 2... b 0 3 c 0 c 1 c 2 c 3 c 4... c N 4 c N c N 1 c N 2... c 0 5 d 0 d 1 d 2 d 3 d 4... d N 6 d N d N 1 d N 2... d 0 : : 2N 3 r 0 r 1 r 2 Donde: b 0 b N 1 c i = i [0, N 1] b N b i c 0 c N 1 d i = i [0, N 2] c N c i e i y subsiguientes se calculan de manera análoga. Para que el sistema sea estable se deben cumplir las siguientes condiciones: a) D(1) > 0 b) ( 1) N D( 1) > 0 c) c 0 > c N 1 d 0 > d N 2... r 0 > r 2 Ejemplo: H(z) = z z 4 + 3z 3 + 2z 2 + z Verificando: (a) D(1) = = 11 > (b) ( 1)4 D( 1) = = 3 > 0 El filtro es estable. (c) r 0 =224 > r 2 =79 Mag. Guillermo Friedrich

24 3.5.3 Análisis en el dominio del tiempo Si se desea obtener la respuesta temporal de un filtro digital caracterizado por una función transferencia discreta H(z), ante una cierta excitación X(z), se hace lo siguiente: y(nt) = Z 1 [ H(z) X(z) ] Ejemplo: Hallar la respuesta temporal al escalón unitario del siguiente filtro digital: X(z) Y(z) T 1 ½ T H(z) = 1 z 1 + z 2 = z 2 z + 1 = z 2 z + 1 Donde: p 1 = e jπ/4 1 z 1 + ½ z 2 z2 z + ½ (z p 1 ) (z p 2 ) 2 p 2 = e jπ/4 X(z) = z Y(z) = H(z) X(z) = z (z2 z + 1) = A z + B z + C z z 1 (z 1)(z p 1 )(z p 2 ) (z 1) (z p 1 ) (z p 2 ) 2 Donde: A=2 B = e j5π/4 C = B* = e j5π/4 2 2 y(nt) = Z 1 [ H(z) X(z) ] = 2 u(nt) + 1 u(nt) [ e j(n 5)π/4 + e j(n 5)π/4 ] ( 2 ) n 1 y(nt) = 2 u(nt) + 1 u(nt) cos[ (n 5) π/4 ] ( 2 ) n 1 y(nt) 2 1 nt Mag. Guillermo Friedrich

25 3.5.4 Análisis en el dominio de la frecuencia La respuesta estacionaria de un filtro analógico cuya función transferencia es H(s), se calcula de la siguiente manera: lím y(t) = lím R u(t) sen(ω t) = M(ω) sen[ ωt + θ(t) ] t t Donde: M(ω) = H(jω) : ganancia θ(ω) = arg H(jω) : desplazamiento de fase Si consideramos un filtro digital de orden N, la respuesta a una excitación senoidal es: O sea: y(nt) = Z 1 [ H(z) X(z) ] donde: X(z) = Z [ u(nt) sen(ωnt) ] = z sen(ωnt) (z e jωt )(z e jωt ) y(nt) = H(z) X(z) z n 1 dz = res [ H(z) X(z) z n 1 ] Γ Para n > 0 tenemos: N y(nt) = res [ H(z)] x(p i ) p i n [ H(e jωt ) e jωnt H(e jωt ) e jωt ] i=1 z=p i 2j Como p i <1, este término tiende a cero para n Por lo tanto: y(nt) 1 [ H(e jωt ) e jωnt H(e jωt ) e jωt ] 2j Como: H(e jωt ) = H*(e jωt ) y si: H(e jωt ) = M(ω) e jθ(ω) Donde: M(ω) = H(e jωt ) y θ(ω) = arg H(e jωt ) y(nt) = M(ω) sen[ωnt + θ(ω)] H 0 Π (e jωt z i ) H(e jωt ) = M(ω) e jθ(ω) = i=1 Donde: N N Π (e jωt p i ) i=1 jϕ zi T e jωt z i = M zi e jϕ pi T e jωt p i = M pi e Mag. Guillermo Friedrich

26 Así obtenemos: N H 0 Π M zi N N M(ω) = i=1 θ(ω) = ϕ zi ϕ pi N i=1 i=1 Π M pi i=1 Por lo tanto, M(ω) y θ(ω) pueden obtenerse dibujando los fasores en el plano, y midiendo sus magnitudes y sus ángulos. Para un filtro recursivo de segundo orden tenemos: p 1 ϕ z1 M z1 o El punto A ω = ϕ p1 M p1 z 1 C ω = π/t (frecuencia x de Nyquist) M p2 M Z2 C A Una vuelta completa alrededor del ϕ p2 x origen corresponde a un incremento de frecuencia de ω S = 2π p 2 ϕ z2 T o Donde ω S : frecuencia de muestreo Como: H(e jωt ) = H(e j(ω+ kωs)t ) = H(e jωt ) z 2 H(e jωt ) es periódica con período ω S A los fines prácticos se trabaja con un período ω S, ω S llamado banda base. Ejemplo: Hallar la respuesta en frecuencia en fase y amplitud para el siguiente filtro, considerando: ω S = 2 [rad/seg] ( A 0 = 0.4 A 1 = y A 2 = ). H(z) = A 2 z 2 + A 1 z + A 0 + A 1 z 1 + A 2 z 2 z 2 H(e jωt ) = A 2 ( e j2ωt + e j2ωt ) + A 1 ( e jωt + e jωt ) + A 0 = e j2ωt H(e jωt ) = 2 A 2 cos(2ωt ) + 2 A 1 cos(ωt) + A 0 e j2ωt M(ω) = H(e jωt ) = 2 A 2 cos(2ωt ) + 2 A 1 cos(ωt) + A 0 θ(ω) = θ N 2ωT donde: θ N = 0 si (2 A 2 cos(2ωt ) + 2 A 1 cos(ωt) + A 0 ) > 0 π para otro caso Mag. Guillermo Friedrich

27 4. Aproximaciones de filtros analógicos Un filtro digital recursivo se puede aproximar usando alguna de las siguientes aproximaciones de filtros analógicos: - Butterworth - Tschebyscheff - Elipticos - Bessel 4.1 Conceptos Básicos La función transferencia de un filtro analógico se puede expresar como: V 0 (s) = H(s) = N(s) V i (s) D(s) Donde: N(s) y D(s) son polinomios en función de s = σ + jω Atenuación en db: A(ω) = 20 log V i (jω) = 20 log 1 = 10 log L(ω 2 ) V o (jω) H(jω) Donde: L(ω 2 ) = 1 H(jω) H( jω) Desplazamiento de fase: θ(jω) = arg H(jω) Retardo de grupo: τ = dθ(jω) dω De aquí surgen las curvas características de Atenuación, Fase y Retardo en funcion de ω. Con ω = s hacemos: L( s 2 ) = D(s) D( s) Función de atenuación j N(s) N( s) Un par de diagramas típicos de polos y ceros de H(s) y L( s 2 ) son como los siguientes: x jω jω H(s) x 2 L( s 2 ) x σ x x Aproximación de Butterworth La aproximación mas simple para un pasabajos es la de Butterworth. Se asume que: L(ω 2 ) = B 1 ω 2 + B 2 ω B n ω 2n Mag. Guillermo Friedrich

28 tal que: lím L(ω 2 ) = 1 L(0) = 1 B o = 1 ω 2 Se puede llegar a que B 1 = B 2 =... = B n = 0 L(ω 2 ) = 1 + B n ω 2n Como para un pasabajos normalizado: A(ω) = 3dB a ω = 1 [rad/seg] B n = 1 L(ω 2 ) = 1 + ω 2n La atenuación de un pasabajos Butterworth normalizado es: A(ω) = 10 log(1+ω 2n ), y en la siguiente figura se presentan las curvas de atenuación en función de n (orden del filtro). n=9 n=6 n= Función Transferencia Normalizada 2n Con ω = s tenemos: L( s 2 ) = 1 + ( s 2 ) n = Π (s s k ) j k=1 donde: s k = e j(2k 1)π / 2n para s k = e j(k 1)π / n n par para n impar Como s k = 1, los ceros de L( s 2 ) están en el círculo s = 1. La función transferencia normalizada puede ser expresada como: H N (s) = 1 n Π (s p i ) i=1 donde: p i son los ceros de L( s 2 ) en el semiplano izquierdo. Mag. Guillermo Friedrich

29 Ejemplo: hallar H N (s) para: (a) n=2 (b) n=3 (a) n = 2 (par) s k = e j(2k 1) π / 2n s k = e j(2k 1) π / 4 s 1 = e j π / 4 (semiplano derecho) s 2 = e j 3π / 4 s2 = 1 + j s 2 X s 3 = e j 3π / 4 s2 = 1 j s 4 = e j 7π / 4 (semiplano derecho) s 3 X H N (s) = 1 = 1 (s + 1 j 1 ) (s j 1 ) ( s s + 1 ) (b) n = 3 (impar) s k = e j(k 1) π / n s k = e j(k 1) π / 3 = cos (k 1)π + j sen (k 1)π 3 3 s 3 = j 3_ s 3 2 s 4 = 1 X s 5 = j 3_ s 4 2 X H N (s) = 1 s 5 (s + 1) (s 2 + s + 1) X 4.3 Otras aproximaciones de filtros analógicos Además de la aproximación de Butterworth, existen otras aproximaciones para filtros analógicos, de las cuales las siguientes son las más conocidas. Aproximación de Tschebyscheff La atenuación en la banda de paso oscila entre 0 y un máximo permitido La atenuación en la banda de rechazo aumenta monotónicamente. Mag. Guillermo Friedrich

30 Aproximación Elíptica La atenuación en la banda de paso oscila entre 0 y Ap. La atenuación en la banda de rechazo oscila entre y Aa. Aproximación de Bessel Tiene una respuesta lineal en fase ( a diferencia de las tres anteriores ). 4.4 Transformaciones Partiendo de un filtro pasabajos normalizado, se pueden obtener filtros pasabajos, pasaaltos, pasabandas y rechazabandas desnormalizados. Para tal fin se utilizan transformaciones de la forma: s = f( s ). PasaBajos PasaBajos : PasaBajos PasaAltos : s = λ s s = λ_ s PasaBajos PasaBanda: s = 1 ( s + ω 2 o ) B s PasaBajos RechazaBanda: s = B s s ω o Ejemplo: Hallar la función transferencia de un filtro pasabajos de Buterworth de orden 3. La frecuencia de corte ( 3 db) debe ser de 2000 Hz. H N (s) = 1 λ = ω on = 1 = 1 (s + 1) (s 2 + s + 1) ω od 2 π π H PB (š) = 1 = λ 3 = (λš + 1) ( (λš) 2 + λš + 1 ) (š + λ 1 ) ( š 2 + λ 1 š + λ 2 ) H PB (š) = (š ) ( š š ) Como se verá posteriormente, una de las aplicaciones de los filtros digitales es el procesamiento de señales analógicas, con un esquema como el siguiente: Mag. Guillermo Friedrich

31 x(t) F PB x ~ (t) x(nt) FILTRO y(nt) y~(t) A/D DIGITAL D/A F PB y(t) c(t) Una posibilidad para el diseño y síntesis del filtro digital es partir de la función transferencia del filtro analógico, y aplicarle una transformación para hallar H(z), y posteriormente implementar el filtro digital. Las transformaciones para pasar de un filtro analógico a un filtro digital recursivo son: Método de la respuesta invariante al impulso Variante del anterior Transformada Z asociada Transformación Bilineal es la más común. 5. Aproximación por filtros recursivos Al igual que para los filtros analógicos, la etapa de aproximación es el proceso a través del cual se obtiene una función transferencia que satisfaga los requerimientos. Los filtros digitales recursivos pueden obtenerse a partir de aproximaciones de filtros analógicos, mediante alguno de los métodos recién mencionados. 5.1 Realizabilidad A fin de poder ser implementada mediante un filtro recursivo, una función transferencia debe satisfacer las siguientes condiciones: 1) Debe ser una función real de z con coeficientes reales. 2) Sus polos deben estar dentro del círculo unidad en el plano Z. 3) El grado del polinomio del numerador debe ser de grado menor o igual al grado del polinomio del denominador. 5.2 Método de la Transformación Bilineal El objetivo de la transformación Bilineal es lograr un filtro digital cuya respuesta temporal sea similar a la respuesta temporal del filtro analógico de origen, ante cualquier excitación. Se parte de la función transferencia analógica: a i s N i H A (s) = i=0 N N s N + b i s N i Mag. Guillermo Friedrich

32 Y se obtiene H D (z) mediante el siguiente reemplazo: s = 2 (z 1) donde T : período de T (z + 1) muestreo Es decir: H D (z) = H A (s) s = 2 (z 1) T (z+1) Demostración: Un integrador analógico con función transferencia H I (s) = 1, tiene una respuesta temporal al impulso: s L 1 H I (s) = h I (t) = 1 para t 0+ 0 para t 0 t Y su respuesta temporal ante cualquier excitación será: y(t) = x(τ) h I (t τ) dτ 0 x(τ) Considerando: 0+ < t 1 < t 2, podemos escribir: t 1 t 2 τ t 1 t 2 y(t 2 ) y(t 1 ) = x(τ) h I (t τ) dτ x(τ) h I (t τ) dτ 0 0 Como para 0+ < τ < t 1, t 2 h I (t 1 τ) = h I (t 2 τ) = 1 y(t 2 ) y(t 1 ) = x(τ) h I (t τ) dτ t 1 t 2 Si t 1 t 2 y(t 2 ) y(t 1 ) t 2 t 1 [ x(t 1 ) + x(t 2 ) ] 2 haciendo t 1 = nt T, t 2 = nt y(nt) y(nt T) = ½ T [ x(nt T) + x(nt) ] Y(z) z 1 Y(z) = ½ T [ z 1 X(z) + X(z) ] Mag. Guillermo Friedrich

33 Y(z) [ 1 z 1 ] = ½ T X(z) [ z ] H I (z) = Y(z) = T z = T z + 1 X(z) 2 1 z 1 2 z 1 Es decir: H I (z) = H I (s) s = 2 (z 1) T (z+1) Y en general: H D (z) = H A (s) Transformación Bilineal s = 2 (z 1) T (z+1) Ejemplo: Hallar la función transferencia discreta en el tiempo, partiendo de un pasabajos analógico con frecuencia de corte igual a 2000 Hz, usando aproximación de Butterworth con n=3. Considerar T=125 µseg (8000 muestras/seg). Aplicar transformación Bilineal. H N (s) = 1 Si λ = 1 H PB (š) = λ 3 (s+1) (s 2 + s + 1) 2 π 2000 (š+λ 1 )(š 2 + λ 1 š + λ 2 ) Aplicando la transformación Bilineal: s = 2 (z 1) T (z+1) y luego de realizar los pasos algebráicos correspondientes, se llega a la siguiente expresión: H D (z) = (z + 1) (z 2 + 2z + 1) (z z ) (z 0,120198) Finalmente, una posible realización de este filtro es la siguiente: x(nt) y(nt) T T T Mag. Guillermo Friedrich

34 5.3 Realización de un filtro digital 1. Realización Directa Y(z) = H(z) = N(z) = N(z) Donde: N(z) = a i z i X(z) D(z) 1 + D'(z) i=0 Y(z) [ 1 + D'(z) ] = X(z) N(z) N N D'(z) = b i z i Y(z) = X(z) N(z) Y(z) D'(z) X(z) N(z) Y(z) i=1 Ejemplo: N(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 D'(z) = b 1 z 1 + b 2 z 2 N(z) X(z) X(z) N(z) T D'(z) T a 1 a 2 D'(z) X(z) N(z) Y(z) T b 1 T b 2 Mag. Guillermo Friedrich

35 Filtro completo: X(z) Y(z) T a 0 T T a 1 b 1 T a 2 b 2 2. Realización Directa Canónica Minimiza la cantidad de retardos: la cantidad de retardos es igual al orden del filtro. Y(z) = H(z) = N(z) = N(z) Se puede expresar como: Y(z) = N(z) Y'(z) X(z) D(z) 1 + D'(z) Donde: Y'(z) = X(z) Y'(z) = [ 1 + D'(z) ] = X(z) 1 + D'(z) Y'(z) = X(z) Y'(z) D'(z) X(z) Y'(z) D'(z) Y(z) = N(z) Y'(z) X(z) N(z) Y'(z) D'(z) Volviendo al ejemplo anterior: Mag. Guillermo Friedrich

36 X(z) Y(z) T T b 1 T T a 1 a 0 b 2 a 2 (*) y (**) Como lo que está almacenada en cada par de retardos son los mosmos valores, el filtro puede quedar finalmente así: X(z) Y(z) T b T 1 a 1 a 0 b 2 a 2 Solución Canónica Mag. Guillermo Friedrich

37 5.4 Propiedades de mapeo de la transformación bilineal La transformación bilineal tiene como objetivo que el filtro digital obtenido tenga la misma respuesta temporal que el filtro analógico de origen. Por otra parte, puede haber diferencias entre la respuesta en frecuencia del filtro digital y la del filtro analógico de origen. Esto es lo que se analiza a continuación. s = 2 (z 1) z = 2/T + s_ Con s = σ + jω z = 2/T + σ + jω T (z+1) 2/T s 2/T σ jω Considerando que z = r e jθ r = (2/T + σ) 2 + ω 2 (2/T σ) 2 + ω 2 θ = arc tg ω arc tg ω 2/T + σ 2/T + σ si σ > 0 r > 1 jω si σ = 0 r = 1 si σ < 0 r < 1 σ s=j s=0 s= j La transformación bilineal mapea: El semiplano derecho del plano s en la región z > 1 El eje jω en la circunferencia z = 1 El semiplano izquierdo del plano s en la región z < 1 Si σ = 0 r = 1 θ = 2 arc tg (ωt / 2) si ω = 0 θ = 0 si ω + θ +π si ω θ π El efecto "warping" (distorsión de frecuencia) Si y ω : frecuencia en el filtro analógico, Ω : frecuencia en el filtro digital H D (e jωt ) = H A (jω) Del análisis anterior obtuvimos que: θ = 2 arc tg (ωt / 2) Mag. Guillermo Friedrich

38 Como θ = Ω T ω = 2 tg( ΩT ) Si Ω < 0.3 : ω Ω T 2 T Es decir que para que el filtro digital tenga una cierta atenuación a una frecuencia Ω, debe diseñarse el filtro analógico de origen con la corrección dada por ω = 2 tg(ωt) T 2 Por ejemplo: para el pasabajos de Butterworth de orden 3, una frecuencia de corte ( 3 db) de 2000 Hz y período de muestreo T=125 µseg, el filtro analógico debería calcularse para una frecuencia de corte de: ω = 2 tg 2 π x 10 6 = rad/seg 125 x f = ω = = 2546,48 Hz 2π 2π f = 2546,48 Hz Esta corrección se denomina "prewarping". A continuación se trata de obtener la función transferencia del filtro digital: H N (s) = 1 Si λ = 1 H PB (š) = λ 3 (s+1) (s 2 + s + 1) 2 π 2546,48 (š+λ 1 )(š 2 + λ 1 š + λ 2 ) Aplicando la transformación Bilineal: s = 2 (z 1) T (z+1) y luego de realizar los pasos algebráicos correspondientes, se llega a la siguiente expresión: H D (z) = (z + 1) (z 2 + 2z + 1) _ = (1 + z 1 ) (1 + 2 z 1 + z 2 ) z (z ) ( z 2 ) Una posible realización de este filtro es la siguiente: x(nt) y(nt) T T 0 0 T Observación: calculando este mismo filtro con algún programa (por ej.: QED Lite), puede darse alguna diferencia en los valores de los coeficientes, debido a los errores de redondeo que cometen dichos programas. (por ej.: en lugar de anularse los términos en z 1 del denominador, toman valores muy pequeños). Mag. Guillermo Friedrich

39 6. La transformada discreta de Fourier (DFT) Dada una señal x(nt) real, discreta en el tiempo y de duración finita, puede formarse una señal periódica, con período NT, x p (nt), de la siguiente manera: x p (nt) = x(nt + rnt) r = x(nt) x p (nt) nt nt NT La transformada discreta de Fourier de x p (nt) se define de la siguiente forma: N 1 W = e j2π/n X p (jkω) = x p (nt) W kn = D x p (nt) donde: Ω = ω s / N n=0 ω s = 2π / T En general X p (jkω) es complejo, y puede expresarse de la siguiente forma: X p (jkω) = A(kΩ) e jφ( kω ) donde: A(kΩ) = X p (jkω) espectro de amplitud Φ(kΩ) = arg X p (jkω) espectro de fase 6.1 Antitransformada discreta de Fourier (IDFT) x p (nt) se denomina "antitransformada discreta de Fourier" de X p (jkω), y está dada por la siguiente expresión: N 1 x p (nt) = 1 X p (jkω) W kn = D 1 X p (jkω) N k=0 Demostración: N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 1 X p (jkω) W kn = 1 x p (mt) W km W kn = 1 x p (mt) W k(n m) N k=0 N k=0 m=0 N m=0 k=0 Mag. Guillermo Friedrich

40 N 1 N si m=n Como: W k(n m) = k=0 0 para otro caso N 1 N 1 N 1 1 X p (jkω) W kn = 1 x p (mt) W k(n m) N k=0 N m=0 k=0 = x p (nt) 1 si 2 n 6 Ejemplo: calcular la DFT para la siguiente señal: x p (nt) = N=10 0 otro n 6 X p (jkω) = W kn = W 2k W 7k como W = e j2π/n = e j π/5 n=2 1 W k j 4π/5 X p (jkω) = e sen serie geométrica de términos finitos (πk/2)_ sen (πk/10) Los siguientes graficos representan x p (nt) y A(kΩ) x p (nt) A(kΩ) 1 5 nt kω 10T 10Ω 20Ω La siguiente tabla muestra los valores de A(kΩ), para 0 k 9, correspondientes al gráfico anterior. k A(kΩ) , Mag. Guillermo Friedrich

41 6.2 Interrelación entre DFT y transformada Z La DFT de x p (nt) puede derivarse de la transformada Z, tal como se ve a continuación: N 1 N 1 X p (jkω) = x(nt + rnt) W kn = x(nt + rnt) W kn n=0 r = r = n=0 Haciendo n = m rn obtenemos la siguiente expresión: rn+n 1 X p (jkω) = x(mt) W k (m rn) = r = m=rn 1 N 1 2N 1 =... + x(mt) W km + x(mt) W km + x(mt) W km +... = m= N m=0 m=n X p (jkω) = m = Reemplazando W=e j2π/n x(mt) W km y m por n obtenemos la siguiente expresión: X p (jkω) = x(nt) e jk Ω nt = X D (e jk ΩT ) n = X p (jkω) = X D (e jk ΩT ) X D (z) = I x(nt) La DFT de x(nt) es numéricamente igual a la transformada Z de x(nt) muestreada en el círculo z = 1. 3 Ejemplo: N= kωt 6 0 plano Z Mag. Guillermo Friedrich

42 6.3 Teorema del muestreo en el dominio de la frecuencia El teorema del muestreo en el dominio de la frecuencia es análogo al teorema del muestreo en el dominio del tiempo, el cual dice que si x(t) es tal que X(jω) = 0 para ω ω s /2, donde ω s = 2π/T, entonces: x(t) puede obtenerse a partir de x(nt). El teorema del muestreo en el dominio de la frecuencia dice que una transformada Z X D (z) para la cual: x(nt) = Z 1 X D (z) = 0 para n N y para n<0 puede ser determinada a partir de los valores de X D (e jkωt ), donde Ω = ω s / N. Asimismo: X D (z) puede obtenerse de la DFT de x p (nt) de acuerdo a lo visto en el punto anterior. Por lo tanto: Si x(nt)=0 para nt<0 o nt NT, entonces: x p (nt) puede obtenerse de x(nt), y X p (jkω) puede obtenerse de X D (z) Y, por otra parte, x(nt) y X D (z) pueden obtenerse a partir x p (nt) y X p (jkω) respectivamente. x(nt) = [ u(nt) u(nt NT) ] x p (nt) N 1 X D (z) = 1 X p (jkω) 1 z N x(nt) puede ser representada por la DFT de x p (nt) N k=0 1 W k z 1 Cualquier señal discreta en el tiempo de duración finita, puede ser procesada empleando algoritmos de Transformada Rápida de Fourier (FFT), si se adopta un valor de N lo suficientemente grande. 6.4 Aliasing en el dominio del tiempo Si x(nt) 0 para n N o n<0, x p (nt) y X p (jkω) pueden obtenerse a partir de x(nt) y X D (z). Sin embargo, en este caso x(nt) no podrá ser recuperada a partir de x p (nt) haciendo: x(nt) = [ u(nt) u(nt NT) ] x p (nt) Esta situación se puede ver en las siguientes figuras: Mag. Guillermo Friedrich

43 x(nt) x p (nt) nt nt NT Asimismo: la expresión de X D (z) en función de X p (jkω) presentada en el punto anterior ya no es exacta, y en el mejor de los casos la DFT de x p (nt) es una representación distorsionada de x(nt). 6.5 Interrelación entre la transformada discreta de Fourier (DFT), y la transformada contínua de Fourier (CFT). Si : x(t) es contínua en el tiempo, podemos obtener X(jω) : CFT de x(t) x^(t) es la versión muestreada de x(t), podemos obtener X ^(jω) : CFT de x^(t) X p (jkω) = X D (e jkωt ) = x^(jkω) D x(nt + rnt) = 1 X(jkΩ + jrω s ) (*) r = T r = Si x(t) = 0 para t < 0 y para t NT y X(jω) = 0 para ω ω s / 2 las sumatorias anteriores (*) se hacen periódicas x p (nt) = x(nt) para 0 nt (N 1)T Xp(jkΩ) = 1 X(jkΩ) para kω < ω s _ T 2 Por lo tanto: x p (nt) x(t) X p (jkω) X(jω) Si, por el contrario, x(t) 0 para t < 0 o para t NT x p (nt) ya no es una representación periódica de x(nt), por lo tanto la DFT de xp(nt) no es una representación precisa de x(t). Sin embargo, si la banda de frecuencias está limitada, se puede aplicar una ventana temporal w(t), y obtenemos x'(t) una versión truncada de x(t) : Mag. Guillermo Friedrich

44 x'(t) = w(t). x(t) w(t) = 0 para t < 0 y para t NT Se puede demostrar que X'(jω) X(jω) para ω < ω s / 2, y como x'(t) x(t) para t < 0 y para t NT entonces, la DFT de x'(nt) es una representación aproximada de x(t), en el dominio de la frecuencia. Las pautas para seleccionar el tipo de ventana w(t) y el valor de N pueden verse en el cap. 9.4 del libro "Digital Filters" de Antoniou, 2º edición. El valor de T (= 2π/ω s ) debe elegirse de modo tal que la expresión X(jω)=0 ω ω s /2, se satisfaga lo mejor posible. La técnica recién descripta también puede ser usada para obtener la representación aproximada mediante DFT de señales discretas en el tiempo tales que: x(nt) 0 para n < 0 o para n N Mag. Guillermo Friedrich

45 7. Algoritmos para el cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT) Uno de los algoritmos existentes para el cálculo de la transformada rápida de Fourier está basado en la técnica de decimación en el tiempo. Partiendo de la transformada discreta de Fourier que se desea obtener: N 1 kn X(k) = x(n) W N n=0 donde: W N = e j2π / N Si se considera un valor de N que sea una potencia entera de 2 (N=2 r -r entero-), entonces la sumatoria puede dividirse en dos partes, según que n sea par o impar: N 1 N 1 kn X(k) = x(n) W N kn + x(n) W N n=0 n=0 (n par) (n impar) Lo anterior se puede expresar de esta otra forma: N / 2 1 N / 2 1 2kn X(k) = x 10 (n) W N 2kn + x 11 (n) W N donde: x 10 (n) = x(2n) n=0 n=0 x 11 (n) = x(2n+1) para 0 n N / 2 1 y como: W 2kn kn N = W N / 2 N / 2 1 N / 2 1 kn X(k) = x 10 (n) W N/2 k + W N x 11 (n) W kn N/2 = X 10 (k) + W k N X 11 (k) n=0 n=0 X(k) = X 10 (k) + W k N X 11 (k) Como X 10 (k) y X 11 (k) son periódicas con período N/2: X(k+N/2) = X 10 (k+n/2) + W N (k+n/2) X 11 (k+n/2) X(k+N/2) = X 10 (k) W N k X 11 (k) Las ecuaciones y pueden representarse mediante el siguiente gráfico, denominado "mariposa" Mag. Guillermo Friedrich

46 X 10 (k) X 11 (k) 1 1 ±W k 1 X(k) X(k+N/2) O también se puede utilizar el siguiente diagrama simplificado: X 10 (k) X(k) X 11 (k) k X(k+N/2) N/2 1 kn A su vez: X 10 (k) = x(n) W N/2 n=0 también puede dividirse en dos sumatorias: N/4 1 N/4 1 X 10 (k) = x 20 (n) W kn 2k N/4 + W N kn x 21 (n) W N/4 n=0 n=0 donde: x 20 (n) = x 10 (2n) y x 21 (n)=x 10 (2n+1) 0 n N/4 1 Que puede expresarse como: X 10 (k) = X 20 (k) + W N 2k X 21 (k) Por su parte, puede hacerse un análisis similar a partir de X 11 (k), llegando a la siguiente expresión: X 11 (k) = X 22 (k) + W N 2k X 23 (k) donde: x 22 (n) = x 11 (2n) y x 23 (n)=x 11 (2n+1) 0 n N/4 1 Como X 20 (k) y X 21 (k) son periódicas con período N/4, se puede repetir el razonamiento aplicado anteriormente, por lo tanto: X 10 (k+n/4) = X 20 (k) W N 2k X 21 (k) X 11 (k+n/4) = X 22 (k) W N 2k X 21 (k) De igual modo a lo realizado hasta aquí, se puede continuar dividiendo las sumatorias, y en el ciclo m-ésimo tendremos: Mag. Guillermo Friedrich

47 m 1 X (m 1)0 (k) = X m0 (k) + W N 2 k X m1 (k) m 1 X (m 1)0 (k+n/2 m ) = X m0 (k) W N 2 k X m1 (k) m 1 X (m 1)1 (k) = X m2 (k) + W N 2 k X m3 (k) m 1 X (m 1)1 (k+n/2 m ) = X m2 (k) W N 2 k X m3 (k)... donde: x m0 (n) = x (m 1)0 (2n) x m1 (n) = x (m 1)0 (2n+1) x m2 (n) = x (m 1)1 (2n) x m3 (n) = x (m 1)1 (2n+1)... Y todo esto es válido para 0 m N / 2 m 1. Sin embargo, para el último ciclo, o sea: el ciclo r-ésimo (N=2 r ), x r0 (n), x r1 (n), etc. quedan reducidas a secuencias de un solo elemento, en cuyo caso tendremos: X ri (0) = x ri (0) para i = 0, 1,..., N 1 Los valores de la penúltima DFT pueden obtenerse de las siguientes ecuaciones: X (r 1)0 (0) = x r0 (k) + W N 0 x r1 (0) X (r 1)0 (1) = x r0 (k) W N 0 x r1 (0) X (r 1)1 (0) = x r2 (k) + W N 0 X r3 (0) X (r 1)1 (1) = x r2 (k) W N 2 x r3 (0)... Lo último que resta es identificar los elementos x r0 (0), x r1 (0),... Esto es sencillo dado que: x rp (0) = x(q) donde: q es la representación binaria con r bits, de p revertido. Por ejemplo: si r=3 (N=8), x 31 (0) será x(4), ya que 1 = ; efectuando la reversión de bits queda = 4. En definitiva, {x r0 (0), x r1 (0),...} es una versión reordenada de la secuencia de muestras de entrada {x(0), x(1),...}. Ejemplo: Construir el algoritmo de FFT por decimación en tiempo para N=8. Como: x 10 (n) = x(2n) y x 11 (n) = x(2n+1) para 0 n N/2 1 x 10 = { x(0), x(2), x(4), x(6) } x 11 = { x(1), x(3), x(5), x(7) } Mag. Guillermo Friedrich

48 Consecuentemente obtenemos los siguientes valores: Finalmente: x 20 = { x(0), x(4) } x 21 = { x(2), x(6) } x 22 = { x(1), x(5) } x 23 = { x(3), x(7) } x 30 = { x(0) } x 31 = { x(4) } x 32 = { x(2) } x 33 = { x(6) } x 34 = { x(1) } x 35 = { x(5) } x 36 = { x(3) } x 37 = { x(7) } El algoritmo queda expresado mediante el siguiente diagrama de "mariposas": X 3i (k) X 2i (k) X 1i (k) X(k) x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) Como puede verse, la cantidad de operaciones ("mariposas") que hay que realizar es igual a N/2 log 2 N, en lugar de las N 2 correspondientes a la DFT. Por ejemplo: si N=512, la DFT requiere = cálculos, mientras que la FFT requiere de sólo 2304 cálculos ( 1%). Por otra parte, tambien puede verse del gráfico anterior que se la cantidad de memoria necesaria para poder calcular la FFT es igual a 2 N, ya que luego de utilizar un conjunto de valores X mi (k) como entradas para calcular los valores de X (m 1)i (k), ya no se necesitan más los valores de X mi (k), por lo que los lugares de memoria que ocupan podrán ser destinados a los valores de X (m 2)i (k). Mag. Guillermo Friedrich

49 8. Diseño de filtros no recursivos (FIR) Los filtros recursivos (IIR) que se han considerado anteriormente permiten obtener filtros de alta selectividad y sencillez computacional. Sin embargo, es muy dificil diseñar un filtro digital recursivo que tenga alta selectividad y al mismo tiempo un retardo de grupo constante. Mediante la aproximación de Bessel y la transformación invariante al impulso se puede obtener un filtro recursivo con retardo de grupo constante, pero esto solamente permite obtener filtros pasabajos o pasabanda de baja selectividad. Por el contrario, los filtros no recursivos se pueden diseñar fácilmente para que tengan un retardo de grupo constante, al mismo tiempo que se puede lograr una gran variedad de respuestas en frecuencia. Hay diferentes métodos para resolver la aproximación de filtros no recursivos. El método que se va a considerar está basado en series de Fourier. Otro método está basado en el uso de la DFT (o FFT), y otra posibilidad es utilizar el algoritmo de intercambio de Remez. Este último método permite lograr soluciones óptimas, es decir, un filtro con el mínimo orden posible. La desventaja del algoritmo de intercambio de Remez es la complejidad y volumen de cálculos necesarios para efectuar el diseño. 8.1 Propiedades de los filtros no recursivos Filtros de retardo constante. Un filtro causal no recursivo puede ser caracterizado mediante la siguiente función transferencia: N 1 H(z) = h(nt) z n e j 2π / N n=0 y su respuesta en frecuencia estará dada por: N 1 H(e jωt ) = M(ω) e jθ(ω) = h(nt) e jωnt n=0 donde: M(ω) = H(e jωt ) y θ(ω) = arg H(e jωt ) Los retardos de fase y de grupo están dados respectivamente por: τ p = θ(ω) y τ g = dθ(ω) ω dω Si se requiere que tanto τ p como τ g sean constantes, la respuesta en fase deberá ser lineal, es decir: θ(ω) = τω De las ecuaciones precendentes y se puede expresar la respuesta en fase como: Mag. Guillermo Friedrich

50 N 1 h(nt) sen ωnt θ(ω) = τω = arc tg n=0 N 1 h(nt) cos ωnt n=0 Por lo tanto: N 1 h(nt) sen ωnt tan ωτ = sen ωτ = n=0 cos ωτ N 1 h(nt) cos ωnt n=0 Luego, se puede llegar a: N 1 h(nt) ( cos ωnt sen ωτ sen ωnt cos ωτ ) = 0 n=0 Y finalmente, la expresión anterior es equivalente a la siguiente: N 1 h(nt) sen(ωτ ωnt ) = 0 n=0 Puede demostrarse que la solución a esta expresión es: τ = (N 1) T y h(nt) = h[(n 1 n)t ] para 0 n N 1 2 Por lo tanto, un filtro no recursivo puede tener fase y retardo de grupo constantes a lo largo de toda la banda base. Solamente es necesario que la respuesta impulsiva sea simétrica alrededor del punto medio entre las muestras (N 2)/2 y N/2, para N par, o bien con resepcto a la muestra (N 1)/2 para N impar. La figura siguiente muestra la simetría requerida para N=10 y N= N= N=11 h(nt) nt h(nt) nt n=10 n= Mag. Guillermo Friedrich

51 En algunas aplicaciones solamente es necesario que el retardo de grupo sea constante, en cuyo caso la respuesta de fase puede ser de la forma: θ(ω) = θ 0 τω (donde θ 0 : constante) Usando el mismo procedimiento anterior, se puede obtener una segunda clase de filtros no recursivos. Si θ 0 = ± π/2, la solución es: τ = (N 1) T y h(nt) = h[(n 1 n)t ] para 0 n N 1 2 Respuesta en Frecuencia Las precedentes ecuaciones y permiten arribar a algunas expresiones sencillas para la respuesta en frecuencia. Para el caso de respuesta impulsiva simétrica y N impar, la ecuación puede ser expresada así: (N 3)/2 N 1 H(e jωt ) = h(nt) e jωnt + h[ (N 1)T ] e jω(n 1)T/2 + h(nt) e jωnt n=0 2 n=(n+1)/2 Usando la ecuación y haciendo N 1 n = m, m=n, la última sumatoria en la ecuación anterior puede ser expresada así: N 1 N 1 (N 3)/2 h(nt) e jωnt = h[(n 1 n)t] e jωnt = h(nt) e jω(n 1 n)t n=(n+1)/2 n=(n+1)/2 n=0 Por lo tanto, de y podemos llegar a la siguiente expresión de la respuesta en frecuencia: (N 3)/2 H(e jωt ) = e jω(n 1)T/2 h { [ (N 1)T ] + 2h(nT) cos[ω (N 1 n) T ] } 2 n=0 Por último, si hacemos (N 1)/2 n = k, llegamos a: 2 (N 1)/2 H(e jωt ) = e jω(n 1)T/2 a k cos(ω k T ) donde: a 0 = h[(n 1)T] k=0 2 a k = 2 h[(n 1 k) T ] 2 De igual manera se pueden considerar el caso de respuesta impulsiva simétrica con N par y para los dos casos de respuesta antisimétrica. La siguiente tabla resume las expresiones de la respuesta en frecuencia para los cuatro casos posibles. Mag. Guillermo Friedrich