Tratamiento Digital de Señales

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1 Tratamiento Digital de Señales Tema 5: Tipos de Sistemas F. Cruz Roldán Dept. Teoría de la Señal y Comunicaciones Universidad de Alcalá Tratamiento Digital de Señales Ingeniería de Telecomunicación 8 de febrero de 3 F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 / 7 Sumario Caracterización de un sistema LTI Respuesta al Impulso Función del Sistema Respuesta en Frecuencia Sistemas Descritos por EDLCC Sistema Inverso 3 Sistemas Paso-Todo 4 Sistemas de Fase Mínima 5 Descomposición de Sistemas 6 Sistemas de Fase Lineal F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 / 7

2 Caracterización de un sistema LTI Caracterización de Sistemas LTI -I Los sistemas se pueden definir de una forma general como todo proceso o transformación de una o varias señales de entrada en otra u otras de salida. Notación Cuando la variable independiente es continua, se indica entre paréntesis. En caso de ser discreta, se denota entre corchetes. Las señales en el dominio del tiempo se representan con letras minúsculas. Las correspondientes a un dominio transformado con letras mayúsculas. La variable independiente correspondiente a la transformada de Fourier de señales de tiempo continuo será ω, mientras que para tiempo discreto se empleará Ω. Ej.: Una secuencia de tiempo discreto x [n], y su correspondiente transformada z (de variable continua) X (z). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 4 / 7 Caracterización de un sistema LTI Caracterización de Sistemas LTI -II La figura muestra un esquema de sistema que podría venir definido por la relación entrada-salida y [n] = T {x [n]}, donde T es el operador transformación. Atendiendo al tipo de transformación de la señal de entrada, los sistemas pueden tener diferentes propiedades: Linealidad: a una combinación lineal de entradas (a x [n] + b x [n]), el sistema responde con la misma combinación lineal de salidas (a y [n] + b y [n]). Invarianza temporal: un desplazamiento temporal en la entrada genera el mismo desplazamiento temporal en la salida. Causalidad: la salida en un instante depende de la entrada en el mismo instante o en anteriores. Memoria: la salida depende de la entrada en instantes anteriores o posteriores al actual. Estabilidad BIBO (Bound-Input Bound-Output): a cualquier señal de entrada acotada en amplitud responde con una salida acotada también en amplitud. Invertibilidad:existe un sistema (inverso) que conectado en cascada con el sistema original, recupera la señal de entrada a este último. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 5 / 7

3 Caracterización de un sistema LTI Respuesta al Impulso Respuesta al Impulso -I Las propiedades de linealidad e invarianza temporal permiten utilizar diferentes herramientas para estudiar el funcionamiento y las características de este tipo de sistemas. En el dominio del tiempo, se puede utilizar la respuesta al impulso h [n]. Permite obtener la respuesta del sistema frente a cualquier entrada a través de la suma de convolución: y [n] = x[n] h [n] = X k= x[k] h[n k]. La convolución cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 7 / 7 Caracterización de un sistema LTI Respuesta al Impulso Respuesta al Impulso -II Un sistema LTI queda completamente caracterizado mediante su respuesta al impulso, ya que las propiedades del sistema pueden ser deducidas a partir de la misma. En particular, un sistema es: i) Causal, si su respuesta al impulso cumple que h[n] =, n <. ii) Estable, si la respuesta al impulso es sumable en valor absoluto: iii) Tiene memoria, si h [n] c δ [n], siendo c una constante compleja. P n= h[n] <. iv) Invertible, si existe otro sistema, denominado inverso, cuya respuesta al impulso h i [n] satisface que h [n] h i [n] = δ [n]. Es sencillo demostrar que el sistema inverso a un sistema LTI es también LTI. En ocasiones, operar en el dominio del tiempo puede entrañar una dificultad excesiva se puede encontrar una solución más sencilla cuando usamos los dominios transformados. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 8 / 7

4 Caracterización de un sistema LTI Función del Sistema -I Función del Sistema Un sistema LTI también se puede caracterizar mediante la función del sistema, la cual se define como X H (z) = h[n] z n, n= Ésta es una función compleja continua de variable continua compleja, con lo que es necesario para su representación emplear dos gráficos tridimensionales. Importancia de la R.C. (regiones anulares (con simetría angular) limitadas por los polos del sistema), y de las propiedades del sistema en la R.C.. Ejemplo: H (z) = z, i) z > / Sistema causal y estable,con h[n] = (/) n u[n]. ii) z < / Sistema es no causal e inestable, con una respuesta al impulso dada por la expresión h[n] = (/) n u [ n ]. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 / 7 Caracterización de un sistema LTI Función del Sistema -II Función del Sistema La función del sistema es la relación entre la salida y la entrada de un sistema en el dominio z: H (z) = Y (z) X (z). En el caso de ser una función racional, es posible determinar las propiedades del sistema a partir de la R.C.: a) Causal, cuando el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador, si la región de convergencia se extiende desde el polo que presente el mayor módulo hasta infinito (inclusive). b) Estable, si la región de convergencia incluye la circunferencia de radio unidad. c) Sin memoria, si su región de convergencia es todo el plano z. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 / 7

5 Caracterización de un sistema LTI Función del Sistema Función del Sistema -III La función del sistema simplifica el cálculo de determinados problemas en los que aparece involucrada la suma de convolución. Presenta como inconvenientes: a) La variable z no tiene un sentido físico claro. b) Es difícil la representación tridimensional de las dos funciones asociadas (módulo y fase, o parte real y parte imaginaria). c) Hay que determinar la región de convergencia de la transformada z. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 / 7 Caracterización de un sistema LTI Función del Sistema Función del Sistema -IV Ejemplo. Dada la siguiente convolución y suma de señales en el dominio del tiempo, las transformadas z son: x[n] h[n] = y [n] z X (z) H (z) = Y (z), ROC Y (z). x [n] + x [n] = x[n] z X (z) + X (z) = X (z), ROC X(z). Para resolver el problema anterior en el dominio z, además de obtener el producto o la suma de ambas señales transformadas, hay que calcular la nueva región de convergencia de la señal resultante. a) Debe existir una región de convergencia común de las funciones implicadas. b) En caso de que exista la región común, ésta puede ampliarse según cambie la estructura de los polos en la operación (hay que tener en cuenta posibles cancelaciones de polos). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 3 / 7

6 Caracterización de un sistema LTI Respuesta en Frecuencia Respuesta en Frecuencia -I Se define como la transformada de Fourier de la respuesta al impulso h[n]: Es una función de transferencia: H (Ω) = X n= h[n] e jωn. H (Ω) = Y (Ω) X (Ω). Cuando la función del sistema H (z) incluye la circunferencia de radio unidad en la región de convergencia: H (Ω) = H (z) z=e jω. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 5 / 7 Caracterización de un sistema LTI Respuesta en Frecuencia Respuesta en Frecuencia -II Se utilizan dos tipos de descripciones: i) Módulo y fase de la respuesta en frecuencia: H (Ω) = H (Ω) e jϕ H(Ω), donde H (Ω) = q H R (Ω) + H I (Ω), ϕ H (Ω) = arctan (H I (Ω)/H R (Ω)). ii) La función de amplitud A(Ω) y la función de fase θ H (Ω): H (Ω) = A (Ω) e jθ H(Ω). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 6 / 7

7 Caracterización de un sistema LTI Respuesta en Frecuencia -III Respuesta en Frecuencia Ejemplo. Consideremos el sistema cuya respuesta al impulso viene definida por h[n] = δ [n] δ [n ]. Descripción módulo y fase: H (Ω) = p cos (Ω) e jarctg sen(ω) cos(ω) Funciones de amplitud y de fase: «Ω H (Ω) = sen e j( π Ω) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 7 / 7 Caracterización de un sistema LTI Respuesta en Frecuencia -IV Respuesta en Frecuencia Ω (rad) (a) Ω (rad) (b) Ω (rad) (c) Ω (rad) (d) Figura: Funciones obtenidas de la respuesta en frecuencia (a) Módulo. (b) Función de amplitud. (c) Fase. (d) Función de fase. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 8 / 7

8 Caracterización de un sistema LTI Respuesta en Frecuencia -V Respuesta en Frecuencia En el dominio de la frecuencia, un sistema puede modificar el módulo o la fase de la señal de entrada. Los sistemas que no introducen ninguna distorsión en la fase de la señal tienen fase cero o fase lineal. La desviación de la linealidad de la fase de un sistema suele dar idea de la distorsión de fase que introduce el sistema. Una medida de esta desviación es el retardo de grupo (también conocido como velocidad de grupo): dθ (Ω) τ (Ω) = d(ω). Se puede interpretar como el retraso temporal promedio que introduce el sistema para cada una de las frecuencias que contiene la señal si este valor no es constante, habrá una distorsión de la señal. El cálculo del retardo de grupo justifica la conveniencia de tener una función de fase continua. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 9 / 7 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC -I Sistemas Descritos por EDLCC Hay sistemas discretos LTI que pueden ser descritos mediante una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes (EDLCC): y [n] = a M X! NX b k x[n k] a k y [n k]. k= k= Definición completa del sistema Este tipo de ecuaciones necesitan unas condiciones auxiliares para definir completamente el sistema. Estas condiciones suelen venir dadas por el conocimiento de alguna propiedad del sistema. En general, una ecuación en diferencias no tiene por qué describir a un sistema LTI. Una de las condiciones más típicas consiste en asumir la condición de reposo inicial convierte el sistema automáticamente en LTI y causal. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 / 7

9 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC -II Sistemas Descritos por EDLCC Atendiendo a la duración en el tiempo de la respuesta al impulso del sistema descrito por la ecuación en diferencias: Sistemas de respuesta al impulso de duración finita (FIR) Sistemas de respuesta al impulso de duración infinita (IIR). Obsérvese que si el sistema es IIR, es necesario que algún coeficiente a k. Sin embargo, ésta no es una condición suficiente. Ejemplo Consideremos un sistema cuya h[n] = (/) n (u [n] u [n 8]). Este sistema es de duración 8 (FIR). Se puede caracterizar por dos ecuaciones en diferencias equivalentes: 7X «k y [n] = x[n k], k= «8 «y [n] = x[n] x[n 8] + y [n ]. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 / 7 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC -III Sistemas Descritos por EDLCC La función del sistema se puede calcular aplicando la transformada z a la ecuación en diferencias y calculando la función de transferencia: H (z) = Y (z) X (z) = MP k= NP k= b k z k a k z k = b a MQ i= NQ i= ` ci z ( d i z ) La ecuación en diferencias siempre da lugar a una función del sistema racional. Los ceros se definen como aquellos puntos del plano z en los que se anula la función del sistema. Los polos como aquellos puntos del plano z en los que dicha función tiende a infinito. Obteniendo las raíces de los polinomios del numerador y denominador encontramos, respectivamente, los ceros c i y polos p i que se encuentran en puntos finitos del plano z. Cada factor del numerador con la forma ` c i z aporta un cero en c i y un polo en z =. Por el contrario, un factor en el denominador ` d i z aporta un polo en d i y un cero en z =. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 3 / 7

10 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC -IV Sistemas Descritos por EDLCC MQ ` ci z H (z) = b a i= NQ i= ( d i z ) Cuando los coeficientes a k y b k de la ecuación en diferencias son números reales, los polos y ceros complejos aparecen por parejas conjugadas En el diagrama de polos y ceros existe simetría con respecto al eje real. En el diagrama de polos y ceros tenemos toda la información de la función del sistema, salvo una constante de ganancia. La respuesta en frecuencia del sistema estable: H (Ω) = Y (Ω) X (Ω) = MP k= NP k= b k e jωk a k e jωk = b a MQ i= NQ i= ` ci e jω ( d i e jω ) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 4 / 7 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC -V Sistemas Descritos por EDLCC Ejemplo. Dado el sistema LTI causal caracterizado por la ecuación en diferencias y [n] = (x [n],73 x [n ] + x [n ]) +,9 y [n ],8 y [n ]. El diagrama de polos y ceros, la función log ( H (z) ), y la función módulo de la respuesta en frecuencia: Las funciones módulo y fase de la respuesta en frecuencia: 4 Módulo (db) Fase (grados) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 5 / 7

11 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC -VI Sistemas Descritos por EDLCC Ejemplo. Dado el sistema LTI causal caracterizado por la ecuación en diferencias y [n] = (x[n],73 x[n ] + x [n ]),9 y [n ],8 y [n ] El diagrama de polos y ceros, la función log ( H (z) ), y la función módulo de la respuesta en frecuencia: Las funciones módulo y fase de la respuesta en frecuencia: Módulo (db) 5 Fase (grados) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 6 / 7 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC -VI Sistemas Descritos por EDLCC Ejemplo. Dado el sistema LTI causal caracterizado por la ecuación en diferencias y [n] = (x [n] x [n ] + x[n ]) +,9 y [n ],8 y [n ] El diagrama de polos y ceros, la función log ( H (z) ), y la función módulo de la respuesta en frecuencia: Las funciones módulo y fase de la respuesta en frecuencia: 3 Módulo (db) Fase (grados) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 7 / 7

12 Caracterización de un sistema LTI Sistemas Descritos por EDLCC Sistemas Descritos por EDLCC -VII Ejemplo. log H(z) Real{z} Im{z} log H(z) z = e jω Real{z} Im{z} H(Ω) π π Ω F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 8 / 7 Sistema Inverso -I Sistema Inverso Dado un sistema LTI, el sistema inverso es aquel que conectado en cascada con el inicial proporciona como señal de salida la señal de entrada al primero: El sistema inverso a uno dado compensa los efectos que haya provocado el sistema inicial en la señal de entrada. El cálculo del sistema inverso en el dominio del tiempo suele presentar serias dificultades. h [n] h i [n] = δ [n]. Sin embargo, la obtención del mismo en los dominios transformados en ocasiones es directo: H (z) H i (z) =, ROC {H} ROC {H i } = z. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 3 / 7

13 Sistema Inverso Sistema Inverso -II La función del sistema inverso a uno dado es la inversa de la función del sistema original. H i (z) = H (z). En el caso de funciones racionales, la función del sistema inverso se obtiene intercambiando los polos y los ceros entre sí: MQ ` ci z NQ ` di z H (z) = b a i= NQ i= ( d i z ), H i (z) = a b i= MQ i= ( c i z ) Es necesario asignar una región de convergencia: i) Debe existir una región de solapamiento entre las regiones de convergencia del sistema original e inverso. ii) Entre las diferentes regiones de convergencia que cumplan este requisito, se podrá elegir la que satisfaga las propiedades del sistema.. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 3 / 7 Sistema Inverso Sistema Inverso: Ejemplo -I Encontrar el sistema inverso al sistema LTI causal ` z ` 4 z H (z) = ` + z ` + z 4 Solución : Sistema Inverso Causal Solución H i (z) = ` + z ` + z 4 ( z ) `, R.C.? z 4 Sistema Original Región de Convergencia z > : Sistema Inverso Causal Región de Convergencia z > : Parte Imaginaria R.C. z >.5 Parte Imaginaria R.C. z > / /4 /4 Parte Real / /4 /4 Parte Real F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 3 / 7

14 Sistema Inverso Sistema Inverso: Ejemplo -II Solución H i (z) = ` + z ` + z 4 ( z ) `, R.C.? z 4 Solución : Sistema Inverso Estable Sistema Original Región de Convergencia z > : Sistema Inverso Estable Región de Convergencia 4 < z < Parte Imaginaria R.C. z >.5 Parte Imaginaria R.C..5 < z < / /4 /4 Parte Real / /4 /4 Parte Real F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 33 / 7 Sistema Inverso Sistema Inverso: Ejemplo -III Solución H i (z) = ` + z ` + z 4 ( z ) `, R.C.? z 4 Solución 3?: Sistema Inverso no Causal, Inestable Sistema Original Región de Convergencia z > : No es una solución al sistema inverso Región de Convergencia z < 4 Parte Imaginaria R.C. z >.5 Parte Imaginaria R.C. z <.5 / /4 /4 Parte Real / /4 /4 Parte Real F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 34 / 7

15 Sistemas Paso-Todo Sistemas Paso-Todo -I Definición Un sistema paso-todo tiene un módulo de la respuesta en frecuencia constante (y con el mismo valor) para todo Ω. Sistema paso-todo de orden uno H ap (z) = `z a ( a z ) = z ( a z) ( a z ). Este sistema tiene un polo en p = a = r e jω y un cero en c = (/a ) = (/r ) e jω. Es decir, cada polo va acompañado por un cero en una posición inversa conjugada, ambos con la misma fase, pero de módulo inverso. Si el sistema es estable, su respuesta en frecuencia es: H ap (Ω) = e jω ` a e jω ( a e jω ) = e jω F (Ω) F (Ω), donde se ha asumido módulo igual a uno, siendo F (Ω) = a e jω. Se puede comprobar que H ap (Ω) =. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 36 / 7 Sistemas Paso-Todo Sistemas Paso-Todo -II La función de fase y el retardo de grupo de la respuesta en frecuencia del sistema de orden uno:» r sen(ω Ω ) θ Hap (Ω) = Ω arctan, r cos (Ω Ω ) τ (Ω) = r r e jω e jω. Si la función del sistema es racional, causal y estable, todos los polos se encuentran dentro de la circunferencia de radio unidad (r < ). En este caso, el retardo de grupo será siempre positivo y por tanto la fase será monótona decreciente. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 37 / 7

16 Sistemas Paso-Todo Sistemas Paso-Todo -III Sistema paso-todo de orden N Su función del sistema se puede representar: donde A(z) = N P k= H ap (z) = z N Ã(z), A(z) a k z k y à (z) = A (/z ) = N P k= a k zk. Ã(z) se denomina el paraconjugado de A(z), y tiene el mismo módulo de la respuesta en frecuencia que A(z). Se puede obtener un sistema paso-todo de orden N multiplicando N sistemas de orden : H ap (z) = K M r Y k= `z d k ( d k z ) M c / Y k= `z e k ( e k z ) `z e k ` e k z, donde se ha supuesto que los coeficientes de la respuesta al impulso son reales y por tanto los polos y ceros son reales o aparecen en pares complejos conjugados (K C, d k R, e k C). En este caso, el sistema presenta M r polos reales y M c polos complejos. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 38 / 7 Sistemas Paso-Todo Sistemas Paso-Todo -IV Si el filtro paso-todo causal es de coeficientes reales, es decir, a k R, se satisface que Ã(z) = A `z. En este caso: H ap (z) = z N A `z A (z) = `an + a N z + + a z N (a + a z + + a N z N ). La fase de la respuesta en frecuencia del sistema paso-todo se puede expresar como θ Hap (Ω) = NΩ + arctan NP a k sen (kω) C NP A. a k cos (kω) k= k= Si la función racional H ap (z) tiene todos los polos dentro de la circunferencia de radio unidad, como le ocurre a los sistemas paso-todo estables y causales, se satisface que θ Hap (Ω) es monótona decreciente, lo que implica que el retardo de grupo es siempre positivo. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 39 / 7

17 Sistemas Paso-Todo Sistemas Paso-Todo. Ejemplo -I Problema La función del sistema de un sistema paso-todo, de coeficientes reales, causal y estable presenta un polo en el punto p =,8 e j 3π 4. Encontrar la función del sistema de menor orden que cumple las condiciones anteriores. Solución Es necesario añadir otro polo conjugado p =,8 e j 3π 4 y los correspondientes ceros en posiciones inversas conjugadas: c =,5 e j 3π 4 y c =,5 e j 3π 4. La función del sistema resultante es ` +, z +,565 z H ap (z) = ( +,33785 z +,64 z ) = ` +, z,64 +,565 z (,565 +, z + z ) `,64 +,33785 z + z =,565 con región de convergencia z >,8. ( +,33785 z +,64 z ), F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 4 / 7 Sistemas Paso-Todo Sistemas Paso-Todo. Ejemplo -II Sistema Paso-Todo El diagrama de polos y ceros: Sistema Paso-Todo Las funciones log ( H (z) ) y módulo de la respuesta en frecuencia R.C. z >.8 Parte Imaginaria Parte Real El filtro paso-todo causal cumple el teorema del módulo máximo Si H ap (Ω) = c, entonces 8 < > c, para z <, H ap (z) = c, para z =, : < c, para z >. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 4 / 7

18 Sistemas Paso-Todo Sistemas Paso-Todo. Ejemplo -III Sistema Paso-Todo El módulo y la fase de la respuesta en frecuencia: Módulo (db) Fase (grados) Sistema Paso-Todo El retardo de grupo: Retardo de Grupo (muestras) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 4 / 7 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima -I En general, un sistema LTI no puede ser descrito únicamente a partir del módulo de la respuesta en frecuencia, ya que dicha función no contiene información de la fase y puede provenir de distintas funciones del sistema que tengan diferentes fases. El módulo de la respuesta en frecuencia puede obtenerse a partir de una función C(z) = H (z) H (z) evaluada en la circunferencia de radio unidad: C e jω = H e jω. H e jω = H e jω. A continuación se procede a extraer la máxima información posible de H(z) a partir de la función módulo, es decir, de C (z) z=e jω. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 44 / 7

19 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima -II Supongamos una función del sistema racional y su paraconjugado: MQ ` ci z MQ ` c i z H (z) = k i= NQ i= ( d i z ), H (z) = k i= NQ i= ` d i z. Si H(z) presenta un cero (o un polo) en z la función H (z) presenta un cero (o un polo) en z. Así, al representar el diagrama de polos y ceros de la función C(z), que es producto de ambas, nos encontramos con polos o ceros en parejas recíprocas conjugadas. Además, si los coeficientes de la respuesta al impulso son reales, los polos y ceros estarán en parejas conjugadas Por cada polo o cero existirán otros tres, el recíproco conjugado y los conjugados de ambos. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 45 / 7 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima -III El procedimiento para encontrar la función H(z) a partir del diagrama de polos y ceros de C(z) consiste en asignar la mitad de los polos y ceros para H(z) y la otra mitad para H(z), de manera que cada sistema tenga los polos y ceros recíprocos conjugados del otro. Las diferentes posibilidades de asignación de los polos y ceros corresponden a las diferentes funciones de fase para un mismo módulo de la respuesta en frecuencia. Así, dado el módulo de la respuesta en frecuencia de un sistema, existe un número finito de posibilidades para la fase de la respuesta en frecuencia del sistema con mínimo número de ceros y polos. Es interesante observar que a partir de dicho módulo, siempre se pueden encontrar infinitas posibilidades para la fase sin más que multiplicar la función H(z) por un sistema paso-todo, pero todos estos sistemas no tendrán un número mínimo de polos y ceros. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 46 / 7

20 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -I Problema De una función C (z) = H (z) H (z) racional de coeficientes reales, se conoce: Cero: Polo: c =,5,5j. p =,5 +,5j. Encontrar la función C (z) y los sistemas que presentan el mismo módulo de la respuesta en frecuencia. Solución Se pueden obtener los polos y ceros restantes de la función C(z) de orden mínimo que cumple los requisitos anteriores: Ceros: c =,5,5j, c =,5 +,5j, c 3 = j, c 4 = + j. Polos: p =,5 +,5j, p =,5,5j, p 3 = + j, p 4 = j. Por tanto: C (z) = k ` c z ` c z ` c 3 z ` c 4 z ( p z )( p z )( p 3 z )( p 4 z ). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 47 / 7 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -II El diagrama de polos y ceros de C (z):.5 c 4 p 3 Parte Imaginaria.5.5 c c p p.5 c 3 p 4 Parte Real Los polos y ceros deben estar situados en pares recíprocos conjugados en H(z) y en H(z) Cada una de las parejas (c, c 3 ), (c, c 4 ), (p, p 3 ), (p, p 4 ) no puede estar en el mismo sistema.existen 6 funciones H(z) diferentes con el mismo módulo y diferente fase: H (z) = k H 3 (z) = k 3 ` c z ` c 4 z ( p z )( p 4 z ), H (z) = k ` c z ` c 4 z ( p z )( p z ), H 4 (z) = k 4 ` c z ` c 4 z ( p z )( p 3 z ), ` c z ` c 4 z ( p 3 z )( p 4 z ). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 48 / 7

21 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -III Las funciones restantes: ` c z ` c 3 z H 5 (z) = k 5 ( p z )( p 4 z ), ` c H z ` c 3 z 6 (z) = k 6 ( p z )( p 3 z ), ` c z ` c 3 z H 7 (z) = k 7 ( p z )( p z ), ` c H z ` c 3 z 8 (z) = k 8 ( p 3 z )( p 4 z ), ` c z ` c z H 9 (z) = k 9 ( p z )( p 4 z ), ` c H z ` c z (z) = k ( p z ) ( p 3 z ), ` c z ` c z H (z) = k ( p z )( p z ), ` c H z ` c z (z) = k ( p 3 z )( p 4 z ), ` c3 z ` c 4 z H 3 (z) = k 3 ( p z )( p 4 z ), ` c3 H z ` c 4 z 4 (z) = k 4 ( p z )( p 3 z ), ` c3 z ` c 4 z H 5 (z) = k 5 ( p z )( p z ), ` c3 H z ` c 4 z 6 (z) = k 6 ( p 3 z )( p 4 z ). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 49 / 7 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -IV El diagrama de polos y ceros de C (z):.5 c 4 p 3 Parte Imaginaria.5.5 c c p p.5 c 3 p 4 Parte Real Eligiendo adecuadamente la constante de ganancia k l, l 6, la diferencia entre las funciones H l (Ω) se encuentra únicamente en la fase de la respuesta en frecuencia. Si el sistema H(z) fuese causal y estable, solo existirían cuatro posibilidades: (p, p, c, c 3 ), (p, p, c, c ), (p, p, c 4, c 3 ), (p, p, c 4, c ). Si, además, la respuesta al impulso es real, las posibles soluciones se reducen a dos: (p, p, c, c ) y (p, p, c 4, c 3 ). Si, además, imponemos que el sistema H(z) sea causal y estable y su inverso sea causal y estable, solo existe una posibilidad, (p, p, c, c ). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 5 / 7

22 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima. Definición y Propiedades -I Definición De todos los sistemas que tienen el mismo módulo de la respuesta en frecuencia, el sistema causal de fase mínima H min (z) se puede definir como aquel que presenta un retardo de fase o de grupo mínimo. Si H min (z) no presenta ningún cero situado en la circunferencia de radio unidad, su sistema inverso H inv (z) = /H min (z) también es causal y estable. Diferentes definiciones H(z) es estrictamente de fase mínima si todos los ceros están dentro de la circunferencia unidad. H(z) es estrictamente de fase máxima si todos los ceros están fuera de la circunferencia unidad. H(z) es de fase mínima si todos los ceros cumplen z k, es decir, los ceros están dentro de la circunferencia unidad o en ésta. H(z) es de fase máxima si todos los ceros cumplen z k. H(z) es de fase mixta si no se cumple nada de lo anterior. En cualquier caso, en todos los sistemas de fase mínima (estricta o no) el módulo de su respuesta en frecuencia nos fija una única posibilidad para obtener la función del sistema y por lo tanto la fase de la respuesta en frecuencia. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 5 / 7 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -V Considerando de nuevo las funciones del sistema H i (z) obtenidas de C (z): Si se corresponde con un sistema causal, estable, de coeficientes reales, las soluciones se restringen a H (z) (sistema de fase mínima) y H 5 (z). Con las constantes de ganancia k =.8 y k 5 =.6, ambas tienen el mismo módulo: 34 3 El retardo de grupo: Retardo de Grupo (muestras) Retardo de Grupo (muestras) Módulo (db) Ω (rad).5.5 Sistema H (z) Sistema H (z) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 5 / 7

23 Sistemas de Fase Mínima Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -VI El diagrama de polos y ceros, la función log ( H (z) ), y la función módulo de la respuesta en frecuencia: El diagrama de polos y ceros, la función log ( H 5 (z) ), y la función módulo de la respuesta en frecuencia: F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 53 / 7 Descomposición de Sistemas Descomposición de Sistemas -I Cualquier sistema racional puede descomponerse en dos subsistemas en cascada: H (z) = H ap (z) H mín (z), donde H ap (z) es un sistema paso-todo y H mín (z) es un sistema de fase mínima. A partir de esta descomposición, se pueden demostrar algunas propiedades interesantes de los sistemas de fase mínima. Por ejemplo, dado un sistema: H (z) = H ap (z) H mín (z). Su retardo de grupo será τ {H (Ω)} = τ {H ap (Ω)} + τ {H mín (Ω)}. Debido a que el retardo de grupo de un sistema paso-todo siempre es positivo, el retardo de grupo de un sistema de fase mínima será el menor posible de todos los sistemas que presentan el mismo módulo de la respuesta en frecuencia. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 55 / 7

24 Descomposición de Sistemas Descomposición de Sistemas -II Ejemplo Supongamos el sistema estable caracterizado por la función H (z) = ` ( + j) z ` ( j) z. Este sistema tiene dos polos en el origen y dos ceros fuera del círculo unidad, luego no es un sistema de fase mínima. Tampoco es paso-todo porque los polos y ceros no son recíprocos conjugados. Sin embargo, el sistema dado se puede expresar como la interconexión en cascada de un sistema paso-todo y un sistema de fase mínima. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 56 / 7 Descomposición de Sistemas Descomposición de Sistemas -III Ejemplo Supongamos el sistema estable caracterizado por la función H (z) = ` ( + j) z ` ( j) z. El procedimiento consiste en generar un sistema paso-todo con los dos ceros del sistema original y dos nuevos polos recíprocos conjugados. Para obtener el sistema original debemos cancelar los polos recíprocos conjugados con dos ceros dentro de la circunferencia unidad, ocasionando otro sistema (con estos dos ceros) que será de fase mínima. La descomposición viene dada por: H (z) = H ap (z) H mín (z), donde y ` ( + j) z ` ( j) z H ap (z) = ( (,5 +,5j) z ) ( (,5,5j) z ) H mín (z) = ` (,5 +,5j) z ` (,5,5j) z. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 57 / 7

25 Descomposición de Sistemas Descomposición de Sistemas -IV Sistema Original Sistema Paso-Todo Parte Imaginaria.5.5 Parte Imaginaria Parte Real.5.5 Parte Real Sistema de Fase Mínima Parte Imaginaria Parte Real F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 58 / 7 Descomposición de Sistemas Descomposición de Sistemas -V 5 Sistema Original 7.5 Sistema Paso-Todo Módulo (db) 5 Módulo (db) Fase (grados) Fase (grados) Módulo (db) Fase (grados) Sistema de Fase Mínima F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 59 / 7

26 Descomposición de Sistemas Descomposición de Sistemas -VI Sistema Original: Retardo de Grupo Sistema Paso-Todo Retardo de Grupo (muestras) Retardo de Grupo (muestras) Sistema de Fase Mínima.5 Retardo de Grupo (muestras) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 6 / 7 Sistemas de Fase Lineal Efectos de la Distorsión de Fase Cuando una señal pasa a través de un sistema, se modifica el módulo y la fase. El retardo de fase y de grupo de dicho sistema proporcionan una medida de la modificación o distorsión de la fase. Señal de Entrada: Diagrama de polos y ceros del sistema: Respuesta en Frecuencia del Sistema: Señal de Salida: F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 6 / 7

27 Sistemas de Fase Lineal Sistemas de Fase Lineal -I Definición Un sistema de fase lineal tiene como respuesta en frecuencia la siguiente: H (Ω) = A (Ω) e jωα. Otro tipo de sistemas que, sin tener fase estrictamente lineal, tienen la velocidad de grupo constante: H (Ω) = A(Ω) e jωα+jβ, donde α y β son constantes. Estos últimos sistemas se denominan sistemas de fase lineal generalizada. Condiciones de Simetría El sistema tiene fase lineal si la respuesta al impulso presenta: simetría HS (Half-sample Symmetry), antisimetría HA (Half-sample Antisymmetry), simetría WS (Whole-sample Symmetry) y antisimetría WA (Whole-sample Antisymmetry) ( h[n] = ±h[l n]): HS HA WS WA F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 63 / 7 Sistemas de Fase Lineal Sistemas de Fase Lineal -II En función de su longitud L, se pueden distinguir cuatro tipos distintos de sistemas de fase lineal: Respuesta al Impulso Número de Simetría Tipo A(Ω) θ H (Ω) = β αω Coeficientes L de Filtro Simétrica Impar WS I A I (Ω) β = h [n] = h[l n ] Par HS II A II (Ω) α = (L )/ Antisimétrica Impar WA III A III (Ω) β = π h[n] = h [L n ] Par HA IV A IV (Ω) α = (L )/ A I (Ω) = h[(l )/] + A II (Ω) = A III (Ω) = A IV (Ω) = L/ X k= (L )/ X k= L/ X k= (L )/ X k= h[(l )/ k] cos (k Ω) h [L/ k] cos ((k,5) Ω) h[(l )/ k] sen(k Ω) h[l/ k] sen((k,5) Ω) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 64 / 7

28 Sistemas de Fase Lineal Condiciones y Restricciones -I Los sistemas de fase lineal simétricos o antisimétricos cumplen la siguiente condición: H (z) = L X n= L X h[n] z n = ± p= n= h[l n] z n L X = ± h[p] z (L p) = ±z (L ) H `z. Consecuencias respecto de la localización de los ceros: Si aparece un cero en cualquier punto finito z del plano z, debe aparecer otro cero en una posición recíproca, es decir, en /z, ya que z (L ). Si además la respuesta al impulso es real, la función del sistema H(z) será una función racional con coeficientes reales, y cada cero debe ir acompañado por su conjugado En este tipo de sistemas los ceros aparecen por cuartetos recíprocos conjugados. Excepciones: Los ceros sobre la circunferencia unidad (salvo en z = ± ) aparecen por parejas. Los ceros reales no situados en la circunferencia unidad aparecen por parejas. Los ceros en z = ± coinciden con su recíproco y su conjugado, pudiendo aparecer solos. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 65 / 7 Sistemas de Fase Lineal Condiciones y Restricciones -II Además Que los sistemas tipo II deben contener al menos un cero en z = no pueden utilizarse como filtros paso alto. Que en los sistemas tipo III debe aparecer al menos un cero en z = y otro en z = no sirven para sistemas que permitan el paso de las bajas y altas frecuencias. Que para los tipo IV existe al menos un cero obligatorio situado en z = no se pueden emplear como sistemas paso bajo. Que los sistemas de fase lineal tipo I no presentan ninguna restricción. Todos ellos, si son causales y cumplen la condición de fase lineal h[n] = ±h[l n], serán sistemas FIR y los polos están situados en el origen. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 66 / 7

29 Sistemas de Fase Lineal Condiciones y Restricciones -III El número de ceros en z = ± está relacionado con la simetría y orden del sistema. Supongamos un sistema de fase lineal que tiene un grupo de 4 ceros: c = a, c = /a, c 3 = a, c 4 = /a. La función del sistema será un producto de los siguientes factores: (a, /a) (z a) z «= z z a + «+ a a (a,/a ) z z a + «a + El producto de estos dos factores es claramente de coeficientes simétricos tipo I. Si se añade un cero en z =, la expresión anterior queda multiplicada por (z + ) se mantiene la simetría tipo II. Si, además, añadimos un cero en z =, el factor que debemos añadir es (z ) el filtro pasa a ser antisimétrico con número coeficientes impar tipo III. Si sólo tenemos un cero aislado en z =, el sistema será antisimétrico y con un número de coeficientes par tipo IV. Por consiguiente, la restricciones impuestas para cada filtro en z = y/o z = implican que la multiplicidad de los ceros en dichos puntos debe ser impar. Si no existe restriccción, si apareciese algún cero en z = y/o z =, éste debe tener multiplicidad par. F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 67 / 7 Sistemas de Fase Lineal Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -I Problema Un sistema de fase lineal tipo I, causal, y de respuesta al impulso real, presenta los siguientes ceros en puntos del plano z: Ceros: c =, c =,5,5j. Encontrar la función del sistema de menor orden que cumple las condiciones anteriores. Solución El sistema de orden mínimo que cumple los requisitos anteriores tiene además los siguientes ceros y polos: Ceros: c 3 =,5 +,5j, c 4 = j, c 5 = + j, c 6 =. Polos: p,6 = (de orden 6). La condición de fase lineal impone que, acompañando a c aparezca el cero c 5. Los ceros c 3 y c 4 son consecuencia de que la respuesta al impulso sea real, lo que obliga a que cada cero vaya acompañado de su conjugado. Por último, el cero c 6 permite que el sistema sea tipo I (WS). F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 68 / 7

30 Sistemas de Fase Lineal Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -II Respuesta al Impulso Diagrama de Polos y Ceros Amplitud 5 5 Parte Imaginaria n.5 Parte Real Módulo y Fase de la Respuesta en Frecuencia Retardo de Grupo 4 Módulo (db) Retardo de Grupo (muestras) Fase (grados) F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 69 / 7 Sistemas de Fase Lineal Sistemas de Fase Mínima. Ejemplo -I Respuesta al Impulso Diagrama de Polos y Ceros Amplitud Parte Imaginaria n Parte Real F. Cruz Roldán (TSC) TDS: Tipos de Sistemas 8 de febrero de 3 7 / 7