REPRESENTACIONES GRÁFICAS

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1 REPRESENTACIONES GRÁFICAS 1. Qué son? Son gráficos que permiten mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal. Son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño. 2. Diagrama de Bode Permite representar la respuesta en frecuencia de un sistema H(jw) en dos gráficos conocidos como: H(jw) db = 20 log H(jw) v/s [ ] w r/s Diagrama de Magnitud / H(jw) v/s w[ r/s] Diagrama de Fase [ ] Unidades Cantidad Unidad Observación Magnitud decibeles [db] 20log H(jw) Fase Grados [º] 0[º] a 360[º] Frecuencia radianes/segundo [r/s] 1 radian = 180 / π [º] Escalas Cantidad Escala Observación Magnitud lineal Se marca cada 20 [db] Fase lineal Se marca cada 90 [º] Frecuencia logarítmica En decadas [dec] Década, corresponde al rango entre w 1 y su múltiplo 10w 1.

2 3. Factores canónicos Para dibujar estos diagramas la función de transferencia se expresa en producto de los siguientes factores canónicos: [B1] K Ganancia Bode a frecuencia cero. [B2] (1+jw/w o ) q Factor simple [B3] (jw) q Factor cero [B4] [1+2ξ(jw/w n )+(jw/w n ) 2 ] q Factor cuadrático [B5] e -jwτ τ>0 Factor retardo Donde q Є {-1,1}, 0 ξ 1 4. Ejemplo de descomposición en factores canónicos. H(jw) = Considerar la función: (jw) (jw -0.1jw 6 e (jw + 2) + 1) ((jw) 2 + jw + 4) Entonces puede escribirse como : H(jw) = (jw) (1 + 3 *( e -0.1jw ) (1 jw) (1 + j w/2 ) jw jw + 2* 0.25*( ) + ( ) 2) 2 2 H(jw) = 3 *( e -0.1jw ) (1 jw jw + jw/2) (jw) -1 (1+ jw) -1 (1+ 2* 0.25*( ) + ( ) 2) 1 2 2

3 5. Gráficas aproximadas de los factores canónicos. [B1] F(jw) = K Magnitud F(jw) [db] = K [db] = 20 log K es una recta horizontal F(jw) [db] log K w - 20 Fase /F(jw) = /K = o K 0 K < 0 es una recta horizontal Obs. MATLAB prefiere +180[ o ] /F(jw) [ o ] 0 o w K 0-90 o o K<0

4 [B2] F(jw) = (1+ jw/w o ) q, q Є {-1, 1} Magnitud F(jw) [db] = q * 10 * log (1 + (w/w o ) 2 ) [db] q = -1 F(jw) [db] w/w o Fase /F(jw) = q * arctan (w/w o ) [ o ] q = -1 /F(jw) [ o ] 0 o w/w o -45 o - 90 o

5 F(jw) [db] +20 [B3] F(jw) = (jw) q, q Є {-1, 1} Magnitud F(jw) [db] = q * 20 * log w [db] Es una recta con pendiente 20*q [db/decada] q = w - 20 /F(jw) [ o ] Fase /F(jw) = q * 90 [ o ] q = -1 0 o w -45 o - 90 o -135 o

6 [B4] F(jw) = [1+2ξ(jw/w n )+(jw/w n ) 2 ] q q Є {-1,1}, 0 ξ 1 Magnitud F(jw) [db] = q * 10* log ( (1- (w/w n ) 2 ) 2 + 4ξ 2 (w/w n ) 2 ) F(jw) [db] Para todo w > w n q = -1 (ξ aumenta ) ξ w/w n Fase /F(jw) = 2 ξ w w q * arctan ( n ) w2 - w 2 n 90* q 2 ξ w w + q* arctan( n ) w 2 - w2 n w < w n w > w n (ξ aumenta ) /F(jw) [ o ] 0 o w/w n -45 o - 90 o -135 o ξ -180 o

7 [B5] F(jw) = e -jwτ τ>0 Magnitud F(jw) [db] = 0 Fase /F(jw) = -w τ /F(jw) [ o ] 0 o wτ -300 o o

8 6. Procedimiento para construir un diagrama de Bode aproximado. Escriba H(jw) como producto de factores canónicos Seleccionar rango de frecuencia de los gráficos Dibujar los diagramas I) Diagrama de Magnitud Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Hacer una Tabla. Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el diagrama de magnitud. (Pendiente = [20dB / década]) Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log( K ). Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas II) Diagrama de Fase Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos. Hacer una Tabla. Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el diagrama de fase. (Pendiente = 45[ o / década]). Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [ o ] cuando existe el factor (jw) q. Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas. Si K<0 desplazar verticalmente el diagrama de fase en -180 [ o ] III) Verificación Verifique que su resultado satisface las aproximaciones asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy bajas (w 0) y para frecuencias muy altas (w ).

9 7. Ejemplo de Diagrama de Bode Dada la función de transferencia de un sistema lineal, obtener su respuesta en frecuencia usando Diagrama de Bode. 8 (s - 2) (s H(s) = s (s + + 1) 8) (s - 4) a) Como interesa el comportamiento en frecuencia usar s = jw. Luego escribir H(jw) como el producto de factores canónicos. H(jw) = 0,5 (1-jw/2) (1+jw) (jw) -1 (1+jw/8) -1 (1-jw/4) -1 F1 F2 F3 F4 F5 F6 b) Cálculo del rango de frecuencias de interés ( en Diagrama de Fase): Factores PQ 1 PQ 2 F1 - - F2 0,2 20 F3 0,1 10 F4 - - F5 0,8 80 F6 0,4 40 Tabla 1. Rango de frecuencias El rango va desde [0,1; 80], se usará un rango [ 0,01; 100 ]. c) Diagrama de Magnitud Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes entre dos puntos de quiebre sucesivos: PQ (- ; 1] ( 1 ; 2] ( 2 ; 4] ( 4 ; 8] ( 8 ; + ] F F F F F F Sumar pendientes Tabla 2. Contribución de pendientes

10 El factor F1 desplaza verticalmente el diagrama en 20 log (0,5) = - 6 [db]. db o w Figura 1. Diagrama de Magnitud d) Diagrama de Fase Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes entre dos puntos de quiebre sucesivos: PQ (- ;0,1] (0,1;0,2] (0,2;0,4] (0,4;0,8] (0,8;10] (10;20] (20;40] (40;80] ( 80;+ ] F F F F F F Suma Tabla 2. Contribución de pendientes El factor F4 desplaza verticalmente el diagrama de fase en -90[ o ].

11 /_[ o ] o w Figura 2. Diagrama de Fase El programa MATLAB dispone del comando bode para calcular y dibujar exactamente estos diagramas. En este ejemplo, primero se expande la función en polinomios tanto el numerador como el denominador. 8s - 8s - 16 H(s) = 2 s 3 + 4s 2-32s + 0 Entonces los diagramas de Bode se obtienen con el código MATLAB: >> H = tf ( [ ], [ ] ); >> bode (H);