Tema 5. Análisis de la Respuesta Frecuencial de Sistemas LTI. Automática. 2º Curso del Grado en Ingeniería en Tecnología Industrial

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1 Tema 5. Análisis de la Respuesta Frecuencial de Sistemas LTI Automática 2º Curso del Grado en Ingeniería en Tecnología Industrial

2 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

3 Análisis en frecuencia de sistemas LTI Respuesta en frecuencia: Se entiende por respuesta en frecuencia la respuesta en estado estacionario de un sistema estable ante una entrada senoidal. La respuesta en estado estacionario de un sistema LTI ante una entrada senoidal no depende de las condiciones iniciales, por lo que se van a suponer condiciones iniciales nulas. Una de las ventajas que ofrece el estudio de la respuesta en frecuencia de un sistema es que mediante pruebas sencillas se puede determinar de forma experimental su función de transferencia utilizando generadores de onda y equipos de medición de uso frecuente en los laboratorios.

4 Análisis en frecuencia de sistemas LTI Función de transferencia senoidal: La transformada de Laplace de la función seno es: y la salida será: Calculando la transformada inversa de Laplace y aplicando el límite cuando el tiempo tiende a infinito se obtiene la salida en estado estacionario: La salida es una señal senoidal de la misma frecuencia que la señal de entrada pero multiplicada por una ganancia G(jω) y desplazada en la fase por un ángulo G(jω).

5 Análisis en frecuencia de sistemas LTI Función de transferencia senoidal (cont.): La respuesta en frecuencia de un sistema con función de transferencia G(s) se obtiene sustituyendo s=jω, obteniendo la función G(jω) denominada función de transferencia senoidal: donde se cumple que Y(jω) = G(jω) X(jω). Gráficamente:

6 Análisis en frecuencia de sistemas LTI Función de transferencia senoidal (cont.): El módulo de la función de transferencia senoidal se obtiene del cociente entre las amplitudes de las señales de salida y entrada. El ángulo de la función de transferencia senoidal, denominado ángulo de fase, es la diferencia entre los ángulos de las señales de salida y entrada. Si el ángulo de fase es positivo, se denomina adelanto de fase, mientras que si es negativo se denomina atraso retardo de fase.

7 Análisis en frecuencia de sistemas LTI Función de transferencia senoidal (cont.): Ejemplo: Entrada: x(t) = sin(4πt) Salida 1: y1(t) = 1.5 sin(4πt + π /4) Adelanto de fase. Salida 2: y2(t) = 1.5 sin(4πt - π /4) Retardo de fase Adelanto y atraso de fase x y1 y2 x (entrada) y1 (salida adelanto) y2 (salida atraso) t (segundos)

8 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

9 Representación mediante diagramas de Bode Diagramas de Bode: Un diagrama de Bode representa la función de transferencia senoidal G(jω) mediante dos gráficas distintas, utilizando un eje de abscisas común en escala logarítmica para la frecuencia ω (rad/seg) y una escala lineal para los ejes de ordenadas: Expresada en db (20log G(jω) ) para la gráfica de magnitud. Expresada en grados para la gráfica de ángulo de fase. 20 Diagrama de Bode 0 Magnitud (db) Fase (deg) Frequencia (rad/sec)

10 Representación mediante diagramas de Bode Diagramas de Bode (cont.): La utilización de una escala logarítmica para ω permite representar en un solo diagrama las características de alta y baja frecuencia de G(jω). La frecuencia ω se expresa en décadas, donde una década es la banda de frecuencia desde ω 1 a 10ω 1 siendo ω 1 cualquier valor de frecuencia Decibelios La figura muestra el G(jω) = jω. En escala logarítmica (3 décadas) la gráfica resultante es una línea recta de 20 db/década que pasa por el punto (1 rad/s, 0dB) números en escala logarítmica

11 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

12 Trazado de diagramas de Bode Factores básicos: La función de transferencia de un sistema puede representarse como un producto de factores básicos (en forma normalizada): 1. Ganancia K. 2. Integradores y derivadores con orden de multiplicidad n. 3. Polos y ceros. 4. Polos y ceros ( ). Para dibujar el diagrama de Bode de cada uno de estos términos, se calcula la correspondiente función de transferencia senoidal G(jω) para varias frecuencias y se representan los puntos gráficamente. El trazado se simplifica utilizando aproximaciones asintóticas para cada uno de los factores.

13 Trazado de diagramas de Bode Ganancia K: La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibelios. si K > 1 recta con valor positivo en dbs. si 0 < K < 1 recta con valor negativo en dbs. El ángulo de fase de la ganancia K es cero grados. El recíproco de un número difiere de su valor sólo en el signo: El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta a la curva de fase.

14 Trazado de diagramas de Bode Integradores : Los valores de la magnitud expresada en db y del ángulo expresado en grados son: Como w se expresa en escala logarítmica, la representación de la magnitud en db es una línea recta que pasa por el punto (1 rad/s, 0 db) y pendiente de -20 db/década.

15 Trazado de diagramas de Bode Integradores (cont.):

16 Trazado de diagramas de Bode Derivadores G( jω) = jω: Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ángulo expresado en grados son: La pendiente de la curva de magnitud es de +20 db/década y el signo del ángulo de fase cambia de signo (pasa a ser positivo).

17 Trazado de diagramas de Bode Derivadores G( jω) = jω (cont.):

18 Trazado de diagramas de Bode Integradores y derivadores de orden superior a 1: Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ángulo expresado en grados serían: Tanto las pendientes como los ángulos de fase se multiplican por n.

19 Trazado de diagramas de Bode Integradores y derivadores de orden superior a 1 (cont.):

20 Trazado de diagramas de Bode Polo real: La función de transferencia de un sistema de primer orden con constante de tiempo T es El diagrama de Bode de la magnitud se obtiene de la expresión que se aproxima a:

21 Trazado de diagramas de Bode Polo real (cont.): OJO: En escala logarítmica La representación de la curva de ganancia es una recta de pendiente -20 db/década. Para la frecuencia w=1/t, las asíntotas de alta y baja frecuencia toman ambas 0 db, denominándose frecuencia de cruce, con un error máximo de cuál es el polo?? cuál es el polo?? En su forma normalizada (f.n.)

22 Trazado de diagramas de Bode Polo real (cont.): Para representar el ángulo de fase, se utiliza la expresión:

23 Trazado de diagramas de Bode Polo real (cont.): Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un polo real. cruce

24 Trazado de diagramas de Bode Cero real: Una ventaja de los diagramas de Bode es que para factores recíprocos, las curvas de magnitud y ángulo de fase sólo requieren un cambio de signo. La asíntota de baja frecuencia del cero, recíproco del polo real, es de 0 db y la pendiente de la asíntota de alta frecuencia de +20 db/década. El ángulo de fase varía de 0º a +90º con el punto de inflexión en +45º. polo cero?

25 Trazado de diagramas de Bode Cero real (cont.): Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un cero real.

26 Trazado de diagramas de Bode Polos complejos conjugados: En el caso de polos complejos conjugados la función de transferencia senoidal cuando G(s) expresada en función de ω n y de ξ es: El módulo de G(jω) expresado en decibelios viene dada por que se aproxima a Ambas asíntotas se cruzan en la frecuencia natural ω n que es la frecuencia de cruce.

27 Trazado de diagramas de Bode Polos complejos conjugados (cont.): Mientras que la representación asintótica es independiente de ξ, la representación exacta de la curva de magnitud depende del valor de este parámetro, produciéndose un máximo más acentuado (pico de resonancia) a medida que el valor de ξ es más pequeño. La frecuencia a la que se produce el máximo de la curva de magnitud se denomina frecuencia de resonancia.

28 Trazado de diagramas de Bode Polos complejos conjugados (cont.): Diagrama de Bode en magnitud de sistema con polos complejos conjugados.

29 Trazado de diagramas de Bode Polos complejos conjugados (cont.): El ángulo de fase de los factores complejos conjugados también depende de ξ según Sustituyendo para diferentes valores de w se obtiene En ingeniería se utiliza la variante de atan que calcula el ángulo en 4 cuadrantes (atan2)

30 Trazado de diagramas de Bode Polos complejos conjugados (cont.): Diagrama de Bode en magnitud y fase de sistema con polos complejos conjugados.

31 Trazado de diagramas de Bode Ceros complejos conjugados: El diagrama de Bode de magnitud tiene la asíntota de alta frecuencia de pendiente +40 db/década y el ángulo de fase varía de 0º a +180º con el punto de inflexión en +90º.

32 Trazado de diagramas de Bode. Procedimiento general: 1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como producto de los factores básicos. a. Considerando la forma general de una función de transferencia: b. se escribe como un producto de factores básicos: donde la ganancia es:

33 Trazado de diagramas de Bode. Procedimiento general: 1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como producto de los factores básicos. 2. Obtener los trazados individuales de cada factor básico, y representarlos. 3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o módulo entre sí (en db) y los de ángulo o fase entre sí (grados). Ángulo de G(jω) en grados Ganancia de G(jω) en db

34 Trazado de diagramas de Bode. Procedimiento general: 1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como producto de los factores básicos. 2. Obtener los trazados individuales de cada factor básico, y representarlos. 3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o módulo entre sí (en db) y los de ángulo o fase entre sí (grados). 4. Si se desea registrar una aproximación rápida, se puede hacer el trazado asintótico. La curva exacta, se encuentra cerca de la curva asintótica.

35 Trazado de diagramas de Bode Ejemplo: Para evitar errores al trazar la curva de magnitud logarítmica, es conveniente reescribir la función de transferencia en forma normalizada: Departamento de Ingeniería Esta función se compone de los factores siguientes: ω n y ξ?

36 Trazado de diagramas de Bode Ejemplo: Las frecuencias de corte del tercer, cuarto y quinto términos son w = 3, w = 2 y w n =, respectivamente. 2 Observe que el último término tiene el factor de amortiguamiento relativo de

37 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

38 Sistemas de fase no mínima Sistemas de fase mínima y de fase no mínima: Un sistema de fase no mínima se caracteriza por tener para altas frecuencias una fase más negativa de lo que era de esperar por el grado del polinomio del numerador y denominador de la función de transferencia. Ejemplos de sistemas de fase no mínima son sistemas con algún cero positivo y sistemas con retardo de transporte.

39 Sistemas de fase no mínima Sistemas de fase mínima y de fase no mínima (cont.): Ejemplo: G 1 es de fase mínima G 2 es de fase no mínima

40 Sistemas de fase no mínima Sistemas de fase mínima y de fase no mínima (cont.): Ejemplo: Las curvas de magnitud de ambos sistemas coinciden, sin embargo, las curvas de fase son bien distintas

41 Sistemas de fase no mínima Sistemas de fase mínima y de fase no mínima (cont.): Ejemplo: Los sistemas de fase no mínima son lentos en su respuesta. En la mayor parte de los sistemas de control, se debe tener cuidado en evitar un atraso de fase excesivo. Al diseñar un sistema, si una velocidad de respuesta rápida es de vital importancia, no deben usarse componentes de fase no mínima.

42 Sistemas de fase no mínima Cómo detectar si un sistema es de fase mínima: Sabiendo que p y q son los grados de los polinomios del denominador y numerador, respectivamente, de la función de transferencia, podemos afirmar que: 1. En cualquier sistema, sea o no de fase mínima, la pendiente de la curva de magnitud para valores altos de frecuencia verifica la relación -20(p-q) db/década 2. Sólo si el sistema es de fase mínima la curva de ángulos de fase para valores altos de frecuencia verifica la relación -90 (p-q) grados Para detectar si el sistema es de fase NO mínima se examina la pendiente de la asíntota de la curva del ángulo de fase para valores altos de frecuencia y se comprueba si verifica, o no, la expresión del punto 2.

43 Sistemas de fase no mínima Retardo de transporte: El retardo existente entre la medición y la acción de control da lugar a un tiempo muerto denominado retardo de transporte. Ejemplo: Sistema térmico en el que circula aire caliente para conservar constante la temperatura de una cámara. En este sistema, el sensor de temperatura se sitúa corriente abajo a una distancia de L metros del horno. La velocidad del aire es de v m/s por lo que transcurrirá T = L / v segundos antes de que el termómetro detecte cualquier cambio en la temperatura del horno.

44 Sistemas de fase no mínima Sistemas con retardo: Los sistemas con retardo de transporte tienen un comportamiento de fase no mínima y presentan un atraso excesivo de fase sin atenuación para valores altos de frecuencia. No afecta a la curva de ganancia La entrada x(t) y la salida y(t) de un elemento de retardo de transporte se relacionan mediante: donde T es el tiempo de retardo. La función de transferencia se obtiene calculando la transformada de Laplace: Los retardos de transporte están presentes normalmente en sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos.

45 Sistemas de fase no mínima Sistemas con retardo (cont.): El módulo y argumento de la función de transferencia senoidal será:

46 Sistemas de fase no mínima Sistemas con retardo (cont.): Comparación entre sistemas con y sin retardo de primer orden: por qué fase G 3 más negativa? Departamento de Ingeniería

47 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

48 Especificaciones del comportamiento en frecuencia Especificaciones: Las especificaciones estudiadas en el dominio del tiempo, tales como la sobreoscilación o el tiempo de subida, no se pueden utilizar directamente en el dominio de la frecuencia. Especificaciones de bucle cerrado Especificaciones de bucle abierto, pero ojo, están relacionadas con la estabilidad del sistema en bucle cerrado. Partiendo del diagrama de Bode de la función de transferencia las especificaciones que se utilizan frecuentemente en la práctica son: Pico de resonancia y frecuencia de resonancia. Ancho de banda, frecuencia de corte y razón de corte. Margen de fase y de ganancia.

49 Especificaciones del comportamiento en frecuencia Especificaciones: Mr(dB) 10 Pico de resonancia 0-3 db BW Ancho de banda Razón de corte Frecuencia de corte wr wb Frecuencia de resonancia

50 Especificaciones del comportamiento en frecuencia Pico de resonancia (M r ): Es el valor máximo de la curva de magnitud del diagrama de Bode. Indica la estabilidad relativa de un sistema estable en bucle cerrado. Un valor grande de M r se corresponde en general con una constante de amortiguamiento pequeña. En la práctica, el valor deseado se encuentra entre 1.1 y 1.5. Frecuencia de resonancia (w r ): Es la frecuencia en la que se produce el pico de resonancia M r Frecuencia de corte (w b ): Es la frecuencia en la cual la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado está 3 db debajo de su valor de baja frecuencia.

51 Especificaciones del comportamiento en frecuencia Ancho de banda (BW) El rango de la frecuencia en el cual la magnitud en lazo cerrado no desciende a -3 db se denomina ancho de banda del sistema. La especificación del ancho de banda se relaciona con: 1. La capacidad de reproducir la señal de entrada. 2. Las características de filtrado necesarias para el ruido de alta frecuencia. Un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de subida pequeño, es decir, a una respuesta rápida. En términos generales, puede decirse que el ancho de banda es proporcional a la velocidad de respuesta.

52 Especificaciones del comportamiento en frecuencia Razón de corte: La razón de corte es la pendiente de la curva de magnitud logarítmica cercana a la frecuencia de corte. La razón de corte indica la capacidad de un sistema para distinguir la señal del ruido.

53 Especificaciones del comportamiento en frecuencia Ejemplo:

54 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

55 Análisis de estabilidad en frecuencia Introducción: Al diseñar un sistema de control se requiere que el sistema sea estable. Además es necesario que tenga una estabilidad relativa adecuada por lo que es necesario conocer su grado de estabilidad. En el análisis de estabilidad que se va a realizar, se va a trabajar con la función de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) y con sistemas de fase mínima. La función de transferencia en bucle abierto coincide con G(s) sólo si se considera realimentación unitaria H(s)=1. La mayor o menor estabilidad de un sistema en bucle cerrado se suele expresar en términos de margen de fase y de ganancia, cuyas definiciones son las siguientes cuando se trata de sistemas de fase mínima.

56 Análisis de estabilidad en frecuencia Margen de ganancia (Mg o Kg): El margen de ganancia es el recíproco de la magnitud G(jω) de la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de cruce de fase. o bien en decibelios: donde w 1 es la frecuencia de cruce de fase. La frecuencia de cruce de fase es la frecuencia en la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es igual a 180º.

57 Análisis de estabilidad en frecuencia Margen de fase (Mf o g ): El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad: g = 180º + f donde f es el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia. La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la cual la magnitud de la función de transferencia en lazo abierto es unitaria, G(jω) =1 (i.e. 0 dbs).

58 Análisis de estabilidad en frecuencia Margen de fase y de ganancia: En el diagrama de Bode de la función de transferencia en bucle abierto del sistema, los márgenes de ganancia y de fase se determinan como indica la figura.

59 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Un sistema de fase mínima es estable si los márgenes de fase y de ganancia deben ser ambos positivos. Basta con que uno de estos márgenes sea negativo para que el sistema sea inestable. Los márgenes adecuados de fase y de ganancia aseguran contra las variaciones de los componentes del sistema y se especifican para valores de frecuencia definidos. Para obtener un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 30º y 60º, y el margen de ganancia debe ser mayor que 6 db. Con estos valores, un sistema de fase mínima tiene una estabilidad garantizada, incluso si la ganancia en lazo abierto y las constantes de tiempo de los componentes varían en cierto grado.

60 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejemplo 1: Sistema estable

61 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejemplo 2: Sistema inestable

62 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 1: Para un sistema de realimentado, la función de transferencia de la planta es: y el factor de realimentación es: Se pide: 1. Estudiar la estabilidad del sistema calculando márgenes de ganancia y fase. 2. Obtener el ancho de banda del sistema en bucle cerrado.

63 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 1: Para obtener los márgenes de ganancia y de fase, se trabaja con el Bode de la función de transferencia en bucle abierto.

64 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 1: Para obtener el ancho de banda, trabajamos con el Bode de la función de transferencia en bucle cerrado.

65 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 2: En la figura se muestra un sistema realimentado donde aparece un parámetro que es la ganancia K. También se incluye el diagrama de Bode del sistema para tres valores diferentes, K=0.1, K=2 y K = 10 (ver siguiente trasparencia). Se pide: 1. Calcular los márgenes de ganancia y de fase para los tres valores de K y 2. Determinar la estabilidad del sistema en los tres casos.

66 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 2: Se puede observar cómo la curva de fase es la misma mientras que la de magnitud sube o baja en el diagrama dependiendo de K.

67 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 2: Para K = 0.1 el sistema es estable, pues tanto el margen de ganancia como el de fase son positivos.

68 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 2: Para K = 2 el sistema está en el límite de la estabilidad, por tanto el margen de ganancia y el de fase son nulos.

69 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 2: Para K = 10 el sistema es inestable, pues tanto el margen de ganancia como el de fase son negativos.

70 Análisis de estabilidad en frecuencia Condición de estabilidad: Ejercicio 2: Para K = 0.1 el sistema es estable. Para K = 2 el sistema está en el límite de la estabilidad. Para K = 10 el sistema es inestable.

71 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

72 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del transitorio de la respuesta temporal: Se va a estudiar la relación de respuesta en frecuencia con la temporal para el caso de un sistema prototipo de segundo orden. Si el orden es superior a dos, pero tiene dos polos complejos conjugados dominantes las relaciones también son válidas. La correspondiente función de transferencia senoidal es:

73 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del transitorio de la respuesta temporal (cont.): Operando en la expresión del módulo se obtiene el máximo, que se producirá en la frecuencia de resonancia, y el valor del máximo obtenido será el pico de resonancia. Los valores calculados son: Departamento de Ingeniería Estas ecuaciones son validas para valores de la relación de amortiguamiento 0 < x < 0.707? Observando las ecuaciones se puede deducir que: a) El pico de resonancia M r depende sólo del coeficiente x. b) Si x 0 el pico de resonancia M r. c) Cuando aumenta x el pico de resonancia M r disminuye.

74 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del transitorio de la respuesta temporal (cont.): Operando, también se puede obtener la expresión analítica del ancho de banda para un sistema de segundo orden que es: y realizando una aproximación lineal de la misma, se obtiene Observando las ecuaciones se puede deducir que: a) De la que se puede deducir que el ancho de banda BW es directamente proporcional a la frecuencia natural w n. b) Para un valor de la frecuencia natural fijo, el ancho de banda disminuye a medida que la relación de amortiguamiento x aumenta.

75 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del transitorio de la respuesta temporal (cont.): Aumentar la relación de amortiguamiento implica que tanto el ancho de banda como el valor del pico de resonancia se hacen más pequeños.

76 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del estacionario de la respuesta temporal: Considerando un sistema de control con realimentación unitaria, las constantes estáticas de error de posición, velocidad y aceleración describen el comportamiento de baja frecuencia de los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2, respectivamente. Para un sistema definido, sólo es finita y significativa una de las constantes de error estático. El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en frecuencias bajas. La existencia y la magnitud del error en estado estacionario se determina a partir de la observación en baja frecuencia de la curva de magnitud logarítmica

77 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del estacionario de la respuesta temporal(cont.): Para el caso de un sistema de tipo 0, la gráfica de la magnitud G(jw) logarítmica en baja frecuencia es igual a K p.

78 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del estacionario de la respuesta temporal(cont.): Para el caso de un sistema tipo 1, la intersección del segmento inicial -20 db/década (o su extensión) con la línea w = 1 tiene la magnitud de 20 log K v. por tanto También se puede comprobar que donde w 1 = 1 es la frecuencia a la que G(jw) =1.

79 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del estacionario de la respuesta temporal(cont.): Para el caso de un sistema tipo 1.

80 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del estacionario de la respuesta temporal(cont.): Para el caso de un sistema de tipo 2, dado que a bajas frecuencias, se deduce que Además donde w a = 1 es la frecuencia a la que G(jw) =1.

81 Relación de la respuesta frecuencial y temporal Estudio del estacionario de la respuesta temporal(cont.): Para el caso de un sistema de tipo 2

82 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

83 Determinación experimental de la función de transferencia Identificación de sistemas: Si es posible medir la razón de amplitudes E/S del sistema y el cambio de fase para un número suficiente de frecuencias dentro del rango de frecuencias de interés, se puede graficar por puntos el diagrama Bode. Posteriormente se puede determinar la función de transferencia mediante aproximaciones asintóticas.

84 Determinación experimental de la función de transferencia Identificación de sistemas (cont.): Para el ajuste experimental es necesario el uso de generadores de señales senoidales. Los rangos de frecuencia necesarios para la prueba son, aproximadamente, Hz para sistemas con constantes de tiempo grandes y Hz para sistemas con constantes de tiempo pequeñas. Las frecuencias han de convertirse a rad/s antes de calcular las constantes de tiempo de cada polo o cero.

85 Determinación experimental de la función de transferencia Consideraciones a tener en cuenta: 1. Por lo general es más fácil obtener mediciones precisas de la amplitud que de la fase. 2. Los sistemas físicos tienen varios tipos de no linealidades. Por tanto, es necesario considerar con cuidado la amplitud de las señales senoidales de entrada: La respuesta en frecuencia producirá resultados imprecisos Si la amplitud de la señal de entrada es demasiado grande, el sistema se saturará. En cambio, una señal pequeña provocará errores debidos a la zona muerta. Es necesario comprobar que la forma de la onda de la salida sea senoidal y de que el sistema opere en su región lineal durante el periodo de prueba.

86 Determinación experimental de la función de transferencia Pasos para identificar una función de transferencia 1. Determinar la pendiente para bajas frecuencias en la curva de magnitud (número de polos en el origen). 2. Determinar la pendiente para altas frecuencias en la curva de magnitud (diferencia del orden del polinomio del denominador y el numerador (p-q)). 3. Determinar los ángulos en la curva de fases para bajas y altas frecuencias (detecta si se trata de un sistema de fase mínima o no). 4. Determinar la ganancia de baja frecuencia (K p, K v ó K a ). 5. Detectar el número de frecuencias de cruce, su posición y dibujar las asíntotas. Para los términos de segundo orden estimar la relación de amortiguamiento. 6. Utilizar el diagrama de fases para en caso de tratarse de un retardo de transporte y estimar la constante de tiempo del mismo. 7. Calcular la respuesta en frecuencia de la función de transferencia estimada y compararla con las curvas experimentales iniciales. 8. Iterar y repetir el proceso para afinar la posición de los polos y ceros.

87 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1: A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar experimentalmente la función de transferencia del sistema:

88 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Estimación de la pendiente inicial. Pendiente inicial = -20 db/década. Un polo en el origen Tipo 1.

89 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Cálculo de la ganancia estática de un sistema de tipo db = 20 log(kv) Kv=5.62 w =1

90 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Aproximación asintótica de la curva de ganancia. wc = 4 wc = 25 wc = 70

91 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Estimación de las caídas de db/década para cada asíntota. -20 db / década

92 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Estimación de las caídas de db/década para cada asíntota. -40 db / década polo real wc = 4

93 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Estimación de las caídas de db/década para cada asíntota. -60 db / década polo real wc = 25

94 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Estimación de la pendiente final. Pendiente final = -40 db / década cero real (p-q) = 2 wc = 70

95 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Es el sistema de fase mínima o no? SI wc = 4 wc = 25 wc = º (p-q) = -180º Fase mínima

96 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Como resultado de la identificación del Ejemplo 1 se obtiene la siguiente función de transferencia senoidal: y la forma final haciendo el cambio jw=s sería:

97 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 1 (cont.): Es el sistema estable en bucle cerrado? SI wcg = 4 Mg = 19 db Mf = 40º wcp = 13

98 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2: A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar experimentalmente la función de transferencia del sistema:

99 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Estimación de la pendiente inicial. Pendiente inicial = 0 db/década Tipo 0.

100 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Cálculo de la ganancia estática de un sistema de tipo db = 20 log(kp) Kp=10

101 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Aproximación asintótica de la curva de ganancia. 15 db wc = 0.2 wc = 1 wc = 5

102 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Estimación de las caídas de db/década para cada asíntota. -20 db/década Polo real wc = 0.2

103 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Aproximación asintótica de la curva de ganancia. 0 db/década Cero real wc = 1

104 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Aproximación asintótica de la curva de ganancia. Pendiente final = -40 db/década Polo complejo conjugado (p-q) = 2 wc = 5

105 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Es el sistema de fase mínima o no? SI 15 db wc = 0.2 wc = 1 wc = º (p-q) = -180º Fase mínima

106 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): El valor del pico de la curva de magnitud en wn = 5.0 es aproximadamente igual a 15 db, por lo que mirando las curvas de la figura se puede aproximar una relación de amortiguamiento igual a ξ = 0.1.

107 Determinación experimental de la función de transferencia. Ejemplo 2 (cont.): Como resultado de la identificación del Ejemplo 2, se obtiene la siguiente función de transferencia senoidal: y la forma final haciendo el cambio jw = s sería:

108 Determinación experimental de la función de transferencia Ejemplo 2 (cont.): Es el sistema estable en bucle cerrado? SI wcg = 8.5 Mg = Mf = 4º wcp =?

109 Contenido TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia 5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la frecuencia Representación mediante diagramas de Bode Trazado de diagramas de Bode Sistemas de fase no mínima Especificaciones del comportamiento en el dominio de la frecuencia Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta temporal Determinación experimental de la función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia Compensación en el dominio de la frecuencia.

110 Compensación en el dominio de la frecuencia Introducción: El cumplimiento de las especificaciones de funcionamiento de un sistema conlleva habitualmente el diseño de sistemas de compensación o control. La técnica de compensación permite la modificación de la dinámica del sistema en bucle cerrado con objeto de cumplir dichas especificaciones, las cuales vienen dadas por requerimientos de precisión, estabilidad relativa y velocidad de respuesta. Las especificaciones pueden venir dadas en el dominio del tiempo (t r, SO, t s, ) o en el dominio de la frecuencia (Mp, Mg, Mr, BW, ).

111 Compensación en el dominio de la frecuencia Compensación: En general, la función de transferencia del compensador vendrá dado por una ganancia, ceros y polos cuyas localizaciones permitan el cumplimiento simultáneo de las especificaciones de respuesta, que para el caso continuo será

112 Compensación en el dominio de la frecuencia Compensación (cont.): 1. En general, se realizará en primer lugar el ajuste de la ganancia proporcional, lo cual no siempre basta para cumplir el conjunto de especificaciones. Un aumento de ganancia produce mejora en la precisión, aumento en la velocidad de respuesta, pero perjudica la estabilidad relativa (incluso puede hacer inestable al sistema). Departamento de Ingeniería 2. Una vez modificada la ganancia se añaden polos y ceros hasta el cumplimiento de la especificaciones. Particularizando el procedimiento de compensación en el dominio de la frecuencia, en tiempo continuo se pueden distinguir 3 tipos: Compensador de Adelanto Compensador de Atraso Compensador Mixto (Atraso-Adelanto) Ts 1 Gc ( s) Kc, Ts 1 < 1 Ts 1 Gc ( s) Kc, Ts 1 1 G ( s) K c c ( T1 s 1) ( T2s 1), 1 T1 s 1 ( T2s 1)

113 Compensación en el dominio de la frecuencia Compensación proporcional: La compensación proporcional conlleva el uso de Gc(s) = K c, lo cual dada la configuración en serie del sistema de control supone el añadir un término ganancia en 20log(K c ) db en la curva de magnitud de la planta Gp(s) y ninguna modificación en la curva de fase o ángulo. En general, se produce un mejora en la constantes de error estático K p, K v o K a (siempre y cuando no sean de valor infinito), mientras que aumentará la frecuencia de cruce de ganancia y con ello la velocidad de respuesta, mientras que se reducirán en general el margen de fase y de ganancia, reduciéndose con ello la estabilidad relativa.

114 Compensación en el dominio de la frecuencia Ejercicio: En la figura se muestra un sistema realimentado donde aparece un parámetro que es la ganancia K. Se pide: a) Determinar la K crítica (K c ) del sistema y b) Hallar el rango de K válido que permite obtener un Mp > 75º y un Mg > 25 db.???

115 Compensación en el dominio de la frecuencia Ejercicio (cont.): Para determinar la K c se trazará el diagrama de Bode de bucle abierto del sistema realimentado. 100 Bode Diagram Gm = 6.02 db (at 1 rad/sec), Pm = 21.4 deg (at rad/sec) Magnitude (db) db = 20log(Kc) Kc = Phase (deg) Frequency (rad/sec) K < 2 (sistema estable)

116 Compensación en el dominio de la frecuencia Ejercicio (cont.): Se comprobará si el sistema está en el límite de la estabilidad para K = K c observando la respuesta ante entrada escalón unitario del sistema realimentado para este valor de K. 2 Step Response Amplitude Límite de la estabilidad Time (seconds) x 10 5

117 Compensación en el dominio de la frecuencia Ejercicio (cont.): Se determina la K para Mg > 25 db. 100 Bode Diagram Gm = 6.02 db (at 1 rad/sec), Pm = 21.4 deg (at rad/sec) ( ) db = 20log(K lim ) K < 0.11= K lim Magnitude (db) -100 Mg=6.02 db Phase (deg) Frequency (rad/sec) K lim = 0.11 < 2 = Kc

118 Compensación en el dominio de la frecuencia Ejercicio (cont.): Se comprueba si para 0 < K < 0.11 el Mg > 25 db determinando el valor del Mg para el sistema realimentado con K = K lim = Bode Diagram Gm = 25.2 db (at 1 rad/sec), Pm = 77.6 deg (at rad/sec) Magnitude (db) db Phase (deg) Frequency (rad/sec)

119 Compensación en el dominio de la frecuencia Ejercicio (cont.): Por último, se comprueba si para 0 < K < 0.11 el Mf > 75º determinando el valor del Mf para el sistema realimentado con K = K lim = Bode Diagram Gm = 25.2 db (at 1 rad/sec), Pm = 77.6 deg (at rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) º Frequency (rad/sec) SI K < 0.11

120 FIN Departamento de Ingeniería Automática 2º Curso del Grado en Ingeniería en Tecnología Industrial