15. LUGAR DE LAS RAICES - CONSTRUCCION

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1 15. LUGAR DE LAS RAICES - CONSTRUCCION 15.1 INTRODUCCION El lugar de las raíces es una construcción gráfica, en el plano imaginario, de las raíces de la ecuación característica de un lazo de control para diferentes valores de la ganancia ó algún otro parámetro del controlador del lazo de control Mediante la construcción del lugar de las raíces se puede estudiar la estabilidad del lazo de control de un proceso y analizar el efecto de cambiar algunos términos del lazo de control en la estabilidad del mismo 15.2 LAZO DE CONTROL CERRADO El diagrama de bloques de un lazo de control con retroalimentación lo integran los bloques funciones de transferencia del controlador, la válvula de control, el proceso y el sensor/transmisor como lo muestra la Figura 15.1 Figura Diagrama de bloques de un lazo de control cerrado La función de transferencia para un lazo de control cerrado como el de la Figura 15.1 es la siguiente: Gc ( s) Gv ( s) Gp( s) GL ( s) C( s) = R( s) + L( s) (15.1) 1+ H( s) G ( s) G ( s) G ( s) 1+ H( s) G ( s) G ( s) G ( s) c v p c v p

2 300 Siendo G, las funciones de transferencias para controlador, válvula y proceso y H, la función de transferencia del sensor/transmisor, R es el valor deseado para la variable de control y C es la variable de control Ecuación característica del lazo de control En la ecuación (15.1), el denominador de cada uno de los dos términos igualado a cero expresa la denominada Ecuación Característica del lazo de control, es decir 1 c v p = + H(s)G (s)g (s)g (s) 0 (15.2) Si se conocen las funciones de transferencia del proceso, la válvula de control y el sensor/transmisor y se asignan los parámetros de sintonización para el controlador, se puede hallar la solución de la ecuación (15.2) y, de acuerdo a la naturaleza de las raíces obtenidas determinar el comportamiento del sistema, en cuanto a su estabilidad Función de transferencia de lazo abierto, OLTF La función de transferencia de lazo abierto. OLTF, se define como el producto de todas las funciones de transferencia en el lazo cerrado de control, es decir OLTF= H(s)G (s)g (s)g (s) (15.3) c v p Si se conoce cada una de las funciones de transferencia incluidas en la ecuación (3), una expresión generalizada para la OLTF es la siguiente: OLTF = K ' s i = 1 n m i = 1 1 s + τ i 1 s + τ j n > m (15.4)

3 301 Siendo K' K c K v K = n T j= 1 K τ j m p i= 1 τ i 1 Para la ecuación (4), los valores de son los polos o raíces del denominador y τ j 1 los valores de son los ceros o raíces del numerador τ i 15.3 GRAFICAS DEL LUGAR DE LAS RAICES Mediante la técnica del lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica de un sistema de control, es posible analizar su estabilidad porque cuando la gráfica intercepta el eje imaginario o se prolonga a su derecha indica la posibilidad de que el lazo de control sea inestable. Lo anterior quiere decir que para las ganancias asignadas al controlador que hacen que la gráfica se extienda en tal sentido las raíces correspondientes de la ecuación característica o son números reales positivos o cantidades complejas conjugadas con parte real positiva. Un análisis matemático de la ecuación característica correspondiente a la función de transferencia en lazo abierto de un lazo de control por retroalimentación permite explicar los fundamentos y las reglas para la construcción del lugar de las raíces de dicha ecuación. En la actualidad se dispone de recursos computacionales, como el Matlab y el Simulink que facilitan su construcción, el análisis de la estabilidad del sistema de control y el diseño de un controlador para una respuesta estable deseada. Lugar de las raíces de sistemas de diferentes ordenes A continuación se construyen los lugares de las raíces para un conjunto de sistemas con dinámicas de diferentes órdenes y se describen las características de dichos gráficos para cada uno de los casos presentados. Se dirige el análisis en el sentido de dilucidar la influencia que tienen los zeros, los polos en la función de transferencia en la estabilidad del sistema. Se comienza con la construcción del lugar de las raíces de un sistema lineal de segundo orden sin zeros y se continúa con la de un sistema de tercer orden sin zeros para observar el efecto que tiene sobre la estabilidad de un sistema la inclusión de un polo. Posteriormente, se consideran sistemas de

4 302 segundo o tercer orden con zeros para observar el efecto que tiene la inclusión de zeros en la estabilidad del sistema Sistema con Función de transferencia de Segundo Orden sin zeros Considere el diagrama de bloques que se muestra en la Figura 15.2 con un controlador de acción proporcional. Figura Sistema de Segundo Orden sin zeros La función de transferencia en lazo abierto para este sistema es: K OLTF = c (3s+ 1)(s+ 1) (15.5) De la OLTF se observa que contiene dos polos que son -1/3 y -1 y no contiene zeros y de la ecuación característica de segundo grado se deduce que las raíces de su solución dependen del valor de Kc, de acuerdo a la ecuación 2 1 r , r 2 = ± 1 K c (15.6) El lugar de las raíces correspondiente a la OLTF de la ecuación (15.5) es el que se observa en la Figura 15.3 Algunas observaciones importantes que se deducen del lugar de las raíces para un sistema de segundo orden sin zeros son:

5 303 Figura Lugar de las raíces del sistema de segundo orden sin zeros 1. El lazo de control nunca será inestable, cualquiera que sea el valor que se le asigne a Kc. Cuando el valor de Kc se aumente, el lazo responderá mas oscilatoriamente o subamortiguado pero nunca inestablemente. 2. Cuando Kc = 0, el lugar de las raíces se origina desde los polos de la función de transferencia de lazo abierto, es decir, desde -1/3 y Las ecuaciones características de sistemas de primer o segundo orden sin tiempo muerto permiten deducir que nunca serán inestables 4. Cuando Kc aumenta, el lugar de las raíces se aproxima al infinito Sistema con Función de transferencia de tercer orden sin zeros Considere ahora que el sensor transmisor de la Figura 15.2 tiene una constante de tiempo de 0.5 unidades de tiempo. El diagrama de bloques es el que se muestra en la Figura 15.4 Figura Sistema de Tercer Orden sin zeros

6 304 La función de transferencia en lazo abierto para este sistema es: K OLTF = c (3s+ 1)(s+ 1)(0.5s+ 1) (15.7) De la OLTF se observa que contiene tres polos que son -1/3, -1 y -2 y no contiene zeros y la ecuación característica es polinómica de tercer grado cuya solución requiere más esfuerzo que una de menor grado. Para analizar el comportamiento del lazo de control, para diferentes valores de la ganancia del controlador, resulta más fácil construir el lugar de las raíces correspondiente que resolver la ecuación característica. La Figura 15.5 muestra el lugar de las raíces correspondiente al sistema con función de transferencia en lazo abierto correspondiente a la ecuación (15.7). Figura Lugar de las raíces del sistema de tercer orden sin zeros. Algunos rasgos característicos de un sistema de tercer orden sin zeros, deducidos a partir de su lugar de las raíces, son: 1. El sistema de control puede ser inestable. El lugar de las raíces intercepta al eje imaginario en el punto correspondiente a la ganancia, Kc = 14. Para valores mayores que 14, algunas raíces de la ecuación característica se localizarán en la parte derecha del plano imaginario. Cuando el lugar de las raíces intercepta al eje imaginario se entiende que el sistema es estable

7 305 dependiendo del valor de Kc que se le asigne. El valor de Kc para el cual el lugar de las raíces intercepta al eje imaginario es el denominado Ganancia última. Acerque el puntero del Mouse a la intercepción del lugar de las raíces con el eje imaginario y haga clic para que se despliegue la información correspondiente a dicho punto, entre otros, la ganancia última y la frecuencia última 2. Cualquier lazo de control con ecuación característica de tercer orden o mayor puede ser inestable. Cualquier sistema con tiempo muerto puede ser inestable 3. El número de ramas en el lugar de las raíces es igual a tres, es decir, al número de polos en la OLTF 4. El lugar de las raíces se origina en los polos de la OLTF cuando el Kc = 0 5. El lugar de las raíces se aproxima al infinito con el aumento en el valor de Kc Sistema con Función de Transferencia de cuarto sin zeros Considere ahora que el controlador de la Figura 15.4 realiza una acción integral con una constante de tiempo de 2 unidades. El diagrama de bloques es el que se muestra en la Figura 15.6 Figura Sistema de cuarto orden sin zeros La función de transferencia en lazo abierto para este sistema es: K OLTF = c s(3s+ 1)(s+ 1)(0.5s+ 1) (15.8) De la OLTF se observa que contiene cuatro polos que son 0, -1/3, -1 y -2 y no contiene zeros y la ecuación característica es polinómica de cuarto grado cuya

8 306 solución requiere más esfuerzo que una de menor grado. Para analizar el comportamiento del lazo de control, para diferentes valores de la ganancia del controlador, resulta más fácil construir el lugar de las raíces correspondiente que resolver la ecuación característica. La Figura 15.7 muestra el lugar de las raíces correspondiente al sistema con OLTF la ecuación (15.8). Figura Lugar de las raíces del sistema de cuarto orden sin zeros. Algunos rasgos característicos de un sistema de cuarto orden sin zeros, deducidos a partir de su lugar de las raíces, son: 1. El sistema de control puede ser inestable. El lugar de las raíces intercepta al eje imaginario en el punto correspondiente a la ganancia, Kc = 0.8. Para valores mayores que 0.8, algunas raíces de la ecuación característica se localizarán en la parte derecha del plano imaginario.. Acerque el puntero del Mouse a la intercepción del lugar de las raíces con el eje imaginario y haga clic para que se despliegue la información correspondiente a dicho punto, entre otros, la ganancia última y la frecuencia última 2. Con la adición de un polo a la función de transferencia de tercer orden, la ganancia última disminuye (En este caso de 14 a 0.8) 3. El número de ramas en el lugar de las raíces es igual a cuatro, es decir, al número de polos en la OLTF 4. El lugar de las raíces se origina en los polos de la OLTF cuando el Kc = 0 5. El lugar de las raíces se aproxima al infinito con el aumento en el valor de Kc

9 307 Sistema con Función de Transferencia de segundo orden con un zero Considere ahora que el controlador de la Figura 15.2 realiza una acción proporcional derivativa con una constante de tiempo de 0.2 unidades. El diagrama de bloques es el que se muestra en la Figura 15.8 Figura Sistema de segundo orden con un zero La función de transferencia del lazo abierto para este sistema es: Kc(0.2s + 1) OLTF= (3s+ 1)(s+ 1) (15.9) De la OLTF se observa que contiene dos polos que son -1/3 y -1 y un zero que es -5 y de la ecuación característica de segundo grado se deduce que las raíces de su solución dependen del valor de Kc. La Figura 15.9 muestra el lugar de las raíces correspondiente al sistema cuya OLTF es de segundo orden con un zero como la ecuación (15.9). Algunos rasgos característicos de este sistema de segundo orden con un zero son: 1. El lazo de control nunca será inestable, cualquiera que sea el valor que se le asigne a Kc. Cuando el valor de Kc se aumente, el lazo responderá mas oscilatoriamente o subamortiguado pero nunca inestablemente. 2. Cuando Kc = 0, el lugar de las raíces se origina desde los polos de la función de transferencia de lazo abierto, es decir, desde -1/3 y -1. Acerque el puntero del Mouse a los puntos marcados con una x correspondientes a los polos, haga clic sobre ellos y observe el valor de la ganancia en el menú desplegado.

10 308 Las ecuaciones características de sistemas de primer o segundo orden sin tiempo muerto permiten deducir que nunca serán inestables Figura Lugar de las raíces del sistema de segundo orden con un zero. 3. Cuando Kc aumenta, una rama del lugar de las raíces se aproxima al zero con valor de -5 y la otra se aproxima al infinito. Acerque el puntero del Mouse al punto marcado con una o correspondientes al zero, haga clic sobre él y observe el valor de la ganancia en el menú desplegado. Sistema con Función de Transferencia de tercer orden con un zero Considere ahora que el controlador de la Figura 15.4 realiza una acción proporcional derivativa con una constante de tiempo de 0.25 unidades. El diagrama de bloques es el que se muestra en la Figura La función de transferencia en lazo abierto para este sistema es: Kc(0.25s + 1) OLTF= (3s+ 1)(s+ 1)(0.5s+ 1) (15.10)

11 309 Figura Sistema de tercer orden con un zero De la OLTF se observa que contiene tres polos que son -1/3, -1 y -2 y un zero con el valor de -4 y la ecuación característica es polinómica de tercer grado. La Figura muestra el lugar de las raíces correspondiente al sistema con OLTF, la ecuación (15.10). Figura Lugar de las raíces del sistema de tercer orden con un zero. Algunos rasgos característicos de un sistema de tercer orden con un zero son: 1. El sistema de control puede ser inestable. El lugar de las raíces intercepta al eje imaginario en el punto correspondiente a la ganancia, Kc = 88. Para valores mayores que 88, algunas raíces de la ecuación característica se localizarán en la parte derecha del plano imaginario.. Acerque el puntero del Mouse a la intercepción del lugar de las raíces con el eje imaginario y haga

12 310 clic para que se despliegue la información correspondiente a dicho punto, entre otros, la ganancia última y la frecuencia última 2. Con la adición de un zero la ganancia última aumenta. (En este caso de 14 a 88). 3. El número de ramas en el lugar de las raíces es igual a cuatro, es decir, al número de polos en la OLTF 4. El lugar de las raíces se origina en los polos de la OLTF cuando el Kc = 0 5. La rama del lugar de las raíces que se origina en -1 termina en el zero de la OLTF. Las otras ramas se aproximan al infinito con el aumento en el valor de Kc Sistema con Función de Transferencia de cuarto orden con un zero Considere ahora que el controlador de la Figura 15.4 realiza una acción proporcional integral con una constante de tiempo de 2 unidades. El diagrama de bloques es el que se muestra en la Figura Figura Sistema de cuarto orden con un zero La función de transferencia en lazo abierto para este sistema es: Kc( s + 0.5) OLTF= s(3s+ 1)(s+ 1)(0.5s+ 1) (15.11) De la OLTF se observa que contiene cuatro polos que son 0, -1/3, -1 y -2 y un zero que es -0.5 y la ecuación característica es polinómica de cuarto grado cuya solución requiere más esfuerzo que una de menor grado.

13 311 La Figura muestra el lugar de las raíces correspondiente al sistema de cuarto orden con un zero como el de la función de transferencia en lazo abierto. Figura Lugar de las raíces del sistema de cuarto orden con un zero. Algunos rasgos que se deducen de esta gráfica son: 1. El sistema de control puede ser inestable. El lugar de las raíces intercepta al eje imaginario en el punto correspondiente a la ganancia, Kc = 6.8. Para valores mayores que 6.8, algunas raíces de la ecuación característica se localizarán en la parte derecha del plano imaginario.. Acerque el puntero del Mouse a la intercepción del lugar de las raíces con el eje imaginario y haga clic para que se despliegue la información correspondiente a dicho punto, entre otros, la ganancia última y la frecuencia última 2. Se ha adicionado un zero y la ganancia última ha aumentado de 0.8 a El número de ramas en el lugar de las raíces es igual a cuatro, es decir, al número de polos en la OLTF 4. El lugar de las raíces se origina en los polos de la OLTF cuando el Kc = 0 5. La rama del lugar de las raíces que se origina en -1 termina en el zero de la OLTF. Las otras ramas se aproximan al infinito con el aumento en el valor de Kc Construcción del lugar de las raíces de un lazo de control con Matlab

14 312 Un comando de Matlab que se usa con frecuencia para graficar los lugares geométricos de las raíces es el rlocus con los argumentos num y den de la siguiente manera rlocus(num, den) siendo num y den los vectores de los coeficientes del numerador y denominador, respectivamente, en la función de transferencia de lazo abierto del sistema de control. Con este comando se dibuja en la pantalla la gráfica del lugar geométrico de las raíces. El vector de ganancias se determina automáticamente. Si el usuario proporciona un vector de ganancias, K, para que el lugar de las raíces se observe para dicho vector se utiliza el comando rlocus(num, den, K) Si se invoca el comando con los argumentos del lado izquierdo [r, K] = rlocus(num, den, K) La pantalla de Matlab mostrará la matriz r y el vector de ganancias K, (r tiene una longitud de K renglones y una longitud den de -1 columnas que contienen las ubicaciones de las raíces complejas. Cada renglón de la matriz corresponde a una ganancia a partir del vector K). El comando plot grafica los lugares geométricos de las raíces de la siguiente manera: plot(r, ). Si se quiere graficar los lugares geométricos de las raíces con marcas como o o bien x, es necesario usar el comando siguiente r = rlocus(num, den) plot(r o ) ó plot(r x )