Sistemas Realimentados Simples Estabilidad de Sistemas Contínuos Diagramas de Bode

Transcripción

1 Sistemas Realimentados Simples Estabilidad de Sistemas Contínuos Diagramas de Bode p.1/40

2 Sistema Contínuo U(s) E(s) K G(s) Y + (s) H(s) Figura 1: Sistema contínuo retroalimentado simple F (s) = Y (s) U(s) = KG(s) 1 + KG(s)H(s) F (s) es estable?, es decir, sus polos están en el semiplano izquierdo? p.2/40

3 Root-Locus 4 3 Imag. axis Evans root locus 0 + j3, j j3, closed-loop poles loci asymptotic directions open loop poles Root Locus Root Locus Complementario Real axis p.3/40

4 Root-Locus El root-locus muestra la ubicación de los polos cuando cambia el valor de k. Para estudiar la estabilidad del sistema, se analizan los puntos en los cuales las ramas del root-locus cruzan el eje imaginario que son los puntos en donde puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado. El root-locus es simétrico respecto al eje horizontal; basta con estudiar la mitad positiva. Los puntos del plano complejo que forman parte del root-locus son tales que el ángulo de G(s)H(s) es ±180 o o 0 o. p.4/40

5 Otra alternativa En lugar de estudiar en dónde están ubicadas las ramas del root-locus en todo el plano complejo, centrar nuestra atención únicamente en el eje imaginario positivo, y detectar cuándo es atravesado por alguna rama del root-locus Los puntos en donde puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado coincide con aquellos puntos jω del eje imaginario en donde arg {G(jω)H(jω)} = { ±180 o 0 o (1) p.5/40

6 Criterio de Bode Para encontrar cuáles son los valores de ω que satisfacen esas condiciones pueden trazarse los diagramas de bode de G(s)H(s) y buscar gráficamente en el diagrama de fase cuáles son los puntos en donde el ángulo de G(jω)H(jω) vale ±180 o o 0 o p.6/40

7 Root-Locus y Bode Diagrama de Bode j de ˆω Magnitud ω Root-Locus k > 0 k < 0 j ˆω 1 k c j ω 0 o 180 o j ω j ˆω ω Diagrama de Bode de Fase Figura 2: Relación entre el root-locus y los diagramas de Bode p.7/40

8 Criterio de Bode Para determinar los valores de k en los cuales la rama del root-locus atraviesa el eje imaginario, puede emplearse nuevamente G(jω)H(jω) = 1 k El valor de G(jω)H(jω) puede leerse (en decibeles) en el diagrama de bode de magnitud. A partir de ese valor, y empleando la ecuación anterior puede determinarse los valores de k para los cuales una rama del root-locus atraviesa el eje imaginario (k c en la figura). p.8/40

9 Márgenes de Estabilidad Exsten dos condiciones que deben cumplir los puntos jω del plano complejo para formar parte del Root-Locus o del Root-Locus Complementario; una de las condiciones hace referencia a la Gananacia de G(s)H(s) y la otra a su Fase. La idea de los Márgenes de Estabilidad consiste en suponer que k = 1, y explorar qué margen se tiene cuando se cumple una de esas condiciones: p.9/40

10 Márgenes de Estabilidad Margen de Ganancia: El Margen de Ganancia consiste en el menor valor por el que se debe amplificar la ganancia de G(s)H(s) cuando se satisface la condición arg {G(jω)H(jω)} = { ±180 o 0 o para que simultáneamente se cumpla la condición G(jω)H(jω) = 1 k p./40

11 Márgenes de Estabilidad Margen de Fase: El Margen de Fase consiste en el menor valor que se le debe sumar al ángulo de G(s)H(s) cuando se satisface la condición G(jω)H(jω) = 1 k para que simultáneamente se cumpla la condición arg {G(jω)H(jω)} = { ±180 o 0 o p.11/40

12 Márgenes de Estabilidad, k > 0 El margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en los diagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la fase es de ±180 o. (Cruce de fase) El margen de fase puede leerse en los diagramas de bode como 180 o φ, en donde φ es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de 0db. (Cruce de ganancia) p.12/40

13 Márgenes de Estabilidad, k < 0 El margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en los diagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la fase es de 0 o. (Cruce de fase) El margen de fase puede leerse en los diagramas de bode como φ, en donde φ es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de 0db. (Cruce de ganancia) p.13/40

14 Ejemplo U(s) E(s) K G(s) Y + (s) H(s) Figura 3: Sistema contínuo retroalimentado simple G(s) = 1 (s + 1)(s + 2) H(s) = 1 (s + 3) p.14/40

15 Ejemplo db Hz Magnitude degrees Hz Phase db Hz Magnitude degrees Hz Phase 180 o 35,56db 0,528Hz 15,56db p.15/40

16 Ejemplo Los puntos en los cuales puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado son aquellos en los que el ángulo de G(jω)H(jω) es 0 o o es ±180 o. G(jω)H(jω) es 180 o para F 0,528Hz, es decir para ω = 2π0,528 = 3,316. En esa frecuencia el valor de la magnitud de G(jω)H(jω) es de 35,56db, lo que significa que la magnitud de k, en decibeles, para la cual una rama del Root-Locus atraviesa el eje 1 imaginario es tal que k en db = 35,56: 1 k = k en db 20 k = k en db 20 k = 35,56 20 = 60 k = 60 p.16/40

17 Ejemplo El diagrama de fase es asintótico a 0 o, es decir, que para w = 0 el ángulo de G(jω)H(jω) es 0 o. El diagrama de magnitud de G(jω)H(jω) es asintótico a 15,56db, lo que significa que la magnitud de k, en decibeles, para la cual una rama del Root-Locus complementario atraviesa el eje imaginario es tal que 1 k en db = 15,56: 1 k = k en db 20 k = k en db 20 k = 15,56 20 = 6 k = 6 p.17/40

18 Diagramas de Bode El valor de una función de transferencia F (s), para un s específico, es un número complejo cuya amplitud es F (s) y cuyo ángulo es arg {F (s)}. Los diagramas de Bode muestran cómo varía la amplitud y el ángulo de ese número complejo, cuando s toma todos los posibles valores del eje imaginario positivo (s = jω; w (0, )). Específicamente se definen los siguientes diagramas: Diagrama de Magnitud Diagrama de Fase p.18/40

19 Diagramas de Magnitud La abscisa (eje horizontal) muestra el valor de ω en escala logarítmica. La ordenada (eje vertical) muestra la magnitud de F (jω) medida en decibeles: F (jω) en db = 20 log F (jω) p.19/40

20 Diagrama de Fase La abscisa (eje horizontal) muestra el valor de ω en escala logarítmica. La ordenada (eje vertical) muestra el ángulo de F (jω) medida en grados o radianes p.20/40

21 Primer Orden F (s) F (jw) arg F (jw) k > 0 k < 0 s 20db/dc 1 π 2 π 2 π π π 2 π 2 1 s 1 20db/dc π 2 π 2 p.21/40

22 Primer Orden F (s) F (jw) arg F (jw) s+a a a > 0 20db/dc a π 2 π 2 a a a a s+a a > 0 a 20db/dc π 2 π 2 a a a s a a a > 0 20db/dc a π 2 π 2 a a a a s a a > 0 a 20db/dc π 2 π 2 a a a p.22/40

23 Segundo Orden F (s) F (jw) arg F (jw) ω 2 n s 2 +2ξω n +ω 2 n ξω n > 0 ω n 40db/dc π π 2 π 2 π ω n ω n ω n ω 2 n s 2 +2ξω n +ω 2 n ξω n < 0 ω n 40db/dc π π 2 π 2 π ω n ω n ω n p.23/40

24 Segundo Orden F (s) F (jw) arg F (jw) s 2 +2ξω n +ω 2 n ω 2 n ξω n > 0 40db/dc ω n π π 2 π 2 π ω n ω n ω n s 2 +2ξω n +ω 2 n ω 2 n ξω n < 0 40db/dc ω n π π 2 π 2 π ω n ω n ω n p.24/40

25 Diagrama de Magnitud. 2 o Orden 20 F(jw) Diagrama de fase de magnitud : ξ = 0,01 : ξ = 0,1 : ξ = 0,3 : ξ = 0,5 : ξ = 1,0 w/wn p.25/40

26 Diagrama de Fase. 2 o Orden 0 ang(f(jw)) Diagrama de fase de fase : ξ = 0,01 : ξ = 0,1 : ξ = 0,3 : ξ = 0,5 : ξ = 1,0 w/wn p.26/40

27 Carta de Nichols U(s) E(s) K G(s) Y + (s) H(s) Figura 5: Sistema contínuo retroalimentado simple F (s) = Y (s) U(s) = KG(s) 1 + KG(s)H(s) Existe un método gráfico caido en desuso para calcular F (jω) a partir de G(jω) cuando K = H(s) = 1. Ese método se basa en las cartas de Nichols p.27/40

28 Carta de Nichols Supóngase F (s), que corresponde a un sistema realimentado simple con realimentación unitaria, F (s) = G(s) 1 + G(s) Al evaluar F (s) en s = jω la ecuación se convierte en F (jω) = G(jω) 1 + G(jω) p.28/40

29 Carta de Nichols F (jω) = G(jω) 1 + G(jω) Podemos calcular la magnitud y el ángulo de F (jω), a partir de la parte real y la parte imaginaria de G(jω): G(jω) = X + jy F (jω) = X + jy 1 + X + jy p.29/40

30 Carta de Nichols F (jω) = La magnitud de F (jω) será X + jy 1 + X + jy M = F (jω) = X2 + Y 2 (1 + X)2 + Y 2 Esta ecuación corresponde a una circunferencia, para M constante, conocida como la M-circunferencia p.30/40

31 Carta de Nichols F (jω) = El ángulo de F (jω) será α = arg F (jω) = tan 1 ( Y X X + jy 1 + X + jy ) tan 1 ( ) Y (1 + X) La tangente del ángulo de F (jω) será ( ( ) ( )) Y Y N = tan tan 1 tan 1 X (1 + X) Esta ecuación corresponde a una circunferencia,para N constante, conocida como la N-circunferencia p.31/40

32 M-circunferencias M = F (jω) = X2 + Y 2 (1 + X)2 + Y 2 M 2 = X 2 + Y 2 (1 + X) 2 + Y 2 = X 2 + Y X + X 2 + Y 2 M 2 + 2XM 2 + X 2 M 2 + Y 2 M 2 = X 2 + Y 2 X 2 (1 M 2 ) 2M 2 X M 2 + (1 M 2 )Y 2 = 0 X 2 + 2M 2 (M 2 1) X + M 2 (M 2 1) + Y 2 = 0 p.32/40

33 M-circunferencias ( X + X 2 + 2M 2 (M 2 1) X + M 2 (M 2 1) + Y 2 = 0 X 2 + 2M 2 (M 2 1) X + M 4 (M 2 1) 2 + Y 2 = M 4 (M 2 1) M 2 2 (M 2 1) = M 4 M 2 (M 2 1) ((M 2 1) 2 ) ( M 2 (M 2 1) ) +Y 2 = M 2 (M 2 1) 2 = M (M 2 1) ) 2 p.33/40

34 M-circunferencias ( X + M 2 ) +Y 2 = (M 2 1) M 2 (M 2 1) 2 = ( M (M 2 1) ) 2 Esta ecuación ( corresponde ) a la de una circunferencia con centro en M 2 (M 2 1), 0 M y radio (M 2 1). Estas circunferencias se conocen como las M-Circunferencias. p.34/40

35 N-circunferencias N = tan ( tan 1 ( Y X ) tan 1 ( )) Y (1 + X) Empleando la identidad trigonométrica obtenemos tan (A B) = N = tan A tan B 1 + tan A tan B Y X 1 + Y X Y 1+X Y 1+X p.35/40

36 N-circunferencias N = N = Y +XY XY X(1+X) X+X 2 +Y 2 X(1+X) Y X 1 + Y X = Y 1+X Y 1+X Y + XY XY X + X 2 + Y 2 X 2 + X + Y 2 Y N = 0 X 2 +X Y 2 Y N + ( Y 2N ) 2 = 1 ( Y 4 + 2N ) 2 = N N 2 p.36/40

37 N-circunferencias X 2 + X Y 2 Y N + ( Y 2N ( X + 1 2) 2 + ( Y Y 2N ) 2 = N ) 2 = N N 2 4N 2 Esta ecuación corresponde a la de una circunferencia con centro en ( 1 2, ) 1 2N y radio 1 2N N Estas circunferencias se conocen como las N-Circunferencias. p.37/40

38 Carta de Nichols U(s) E(s) K G(s) Y + (s) H(s) Figura 6: Sistema contínuo retroalimentado simple Si H(s) = 1 y K = 1, entonces en un plano que tenga por ejes X y Y, es decir la parte real y la parte imaginaria de G(jω), el lugar geométrico de las magnitudes y ángulos de F (jω) constantes son las M-circunferencias y N-circunferencias respectivamente. p.38/40

39 Carta de Nichols rectangular Im{G(jω)} 30 o db 60 o 90 o 3db 5db 5db 3db 2db o 60 o o Re{G(jω)} : F (jω) en db :arg{f (jω)} p.39/40

40 Carta de Nichols polar G(jω) en db 2db 3db 5db 2db 3db 5db o 60 o 90 o 90 o 60 o 30 o arg{g(jω)} : F (jω) en db :arg{f (jω)} p.40/40