Problemas de Estructuras de Filtros Digitales.

Transcripción

1 Problemas de Estructuras de Filtros Digitales.

2 Estructuras de Filtros Digitales 1.- En la figura siguiente se representa una realización en la forma acoplada de una función del sistema que presenta una pareja de polos conjugados. Se pide: a) Obtener su función del sistema. Dibujar una estructura equivalente según la forma directa IV. b) Dibujar la forma traspuesta a la dada en la figura, demostrando que tiene la misma H(z). c) Considerando la estructura de la figura, realizar un algoritmo en seudocódigo que permita el cálculo de la salida y[n] a partir de la entrada x[n]. d) Indicar el número de operaciones y de registros de almacenamiento que se necesitan en cada una de las estructuras obtenidas..- Para la función de sistema indicada en la ecuación siguiente dibuje, empleando diagramas de flujo, una realización en cascada y en paralelo con sistemas de segundo orden. H ( z) = ( 1 ) ( 10 1 z 1 z ) ( 1+ z ) ( 3 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ( 1 1 ) ) ( 1 ( 1 1 z z + j z j ) z ) Determine la función de sistema y la respuesta al impulso de los filtros siguientes:

3 Estructuras de Filtros Digitales 3 Obtenga la forma transpuesta del primer grafo, verificando que tiene la misma función de sistema. 4.- Determine d 1 y a en función de b 1 y b para que los dos sistemas siguientes sean equivalentes: 5.- Obtenga la función de sistema de las dos estructuras de la figura y demuestre que tienen los mismos polos: x[n] rcosϑ z -1 -rsenϑ rsenϑ rcosϑ z -1 y[n]

4 4 Estructuras de Filtros Digitales 6.- Para la siguiente función de sistema H ( z) 1+ z = 1 z 3 4 dibuje, empleando diagramas de flujo, todas las posibles realizaciones en cascada y en paralelo empleando sistemas de primer orden. + z z 7.- El diagrama de flujo de la figura muestra un sistema no computable; es decir, no es posible calcular la salida empleando las ecuaciones en diferencias representadas en el diagrama ya que presenta lazos cerrados que no contienen elementos de retardo. a) Escriba la ecuación en diferencias del filtro y obtenga la correspondiente función del sistema. b) De la función de sistema represente una nueva estructura que sí sea computable. 8.- Considere un sistema LTI causal cuya función de sistema es: H ( z) = ( 1 1 ) ( z z + z ) a) Dibuje un diagrama de flujo del sistema para cada una de las siguientes formas: i) Directa I. ii) Directa II. iii)cascada empleando secciones de primer y segundo orden con la forma directa II. iv) Paralelo empleando secciones de primer y segundo orden con la forma directa II. v) Forma directa II traspuesta. b) Obtenga la ecuación en diferencias para la estructura v) del apartado "a" y demuestre que tiene la misma función de sistema. z 3

5 Estructuras de Filtros Digitales Un sistema lineal e invariante se puede realizar empleando el siguiente diagrama de flujo: a) Escriba la ecuación en diferencias que lo caracteriza. b) Calcule la función de sistema. c) En la estructura anterior, cuantas multiplicaciones y sumas reales son necesarias para calcular cada muestra de la señal de salida?.(suponga que x[n] es real y no contabilice las multiplicaciones por uno). d) La estructura anterior requiere cuatro registros de almacenamiento (unidades de retardo). Es posible reducir este número empleando una estructura diferente?. Si responde afirmativamente, dibuje dicha estructura, y en caso contrario explique porqué no se puede reducir Un sistema LTI cuya función de sistema es 01. ( + z ) 6 ( ) = ( 1 z z ) ( 1+ z + 1 z ) ( z + z 8 ) Hz se puede realizar empleando el diagrama de flujo de la figura. a) Encuentre todos los coeficientes del diagrama de la figura. Es única la solución? b) Defina todas las variables de nudo que crea convenientes y escriba las ecuaciones en diferencias que caracterizan a cada una de las secciones La estructura de la figura es una sección LDI de dos polos y puede ser empleada en la realización de bancos de osciladores digitales. Para obtener la secuencia de salida se pueden elegir dos opciones: x 1i [n] ó x i [n], dependiendo de la función del sistema que se desee.

6 6 Estructuras de Filtros Digitales Se pide: a) Obtener la función del sistema H1 ( z) = X1i ( z) X ( z). b) Obtener la función del sistema H ( z) X ( z) X ( z) = i. c) Representar ambos filtros empleando diagramas de flujo mediante la forma directa IV. d) Contabilizar en todas las estructuras el número de registros de almacenamiento necesarios para coeficientes y datos, así como el de multiplicaciones y sumas necesarios por muestra de salida (no considerar multiplicaciones por la unidad). 1.- La estructura de la figura representa una realización obtenida a partir de la representación en variables de estado de un sistema con dos polos. Se pide: a) Obtener la función del sistema Hz ( ) = Yz ( ) Xz ( ). b) Representar el filtro mediante la forma directa II empleando diagramas de flujo. c) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento necesarios para coeficientes y datos, así como el de sumas (de dos en dos términos) y multiplicaciones (no considere las multiplicaciones por la unidad) que se realizan por cada muestra de salida. El filtro anterior se puede caracterizar por las siguientes ecuaciones matriciales: s s 1 [ n + 1] [ n + 1] 1 = 1 0 s1[ n] s[] n [ n] [] n s1 y [] n = [ 3 1 ] + s 1 + x 0 en las que s 1 [n] y s [n] representan el valor en el instante n de los nodos (registros) s 1 y s respectivamente, y s 1 [n+1] y s [n+1] el valor de dichos registros en el instante n+1. Sabiendo que s 1 [-1]=s [-1]=0, se pide: d) Calcular las cuatro primeras muestras de la respuesta al impulso (h[0], h[1], h[] y h[3]). e) Considerando la estructura de la figura, realizar un algoritmo en seudocódigo que permita el cálculo de la salida y[n] a partir de la entrada x[n]. x[] n [] n

7 Estructuras de Filtros Digitales La estructura de la figura representa una realización obtenida a partir de la representación en variables de estado de un sistema estable con dos polos. Se pide: a) Obtener la función del sistema ( z) Y( z) X ( z) H =. b) Contabilizar en dicha estructura el número de multiplicaciones y sumas realizadas de dos en dos elementos- por cada muestra de entrada. No considere las multiplicaciones por la unidad. c) Sabiendo que el filtro digital se ha obtenido empleando la transformación bilineal con T d = -, se pide encontrar la función del sistema analógico H c ( s) que ha sido la base del diseño anterior. Comente la causalidad de ambos sistemas, analógico y digital Dada la estructura de la figura, donde a R y 0 < a < 1, se pide: a) Obtener la función del sistema ( z) Y ( z) X ( z) H d =. b) Representar el filtro mediante la forma directa IV empleando diagramas de flujo. c) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento necesarios para coeficientes y datos, así como el de sumas (de dos en dos términos) y multiplicaciones (no considere las multiplicaciones por la unidad) que se realizan por cada muestra de salida. d) Dibujar el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro dado. e) Si el filtro ha sido diseñado mediante el método de la transformación bilineal, con T d =, se pide encontrar la función del sistema H c ( s) de un filtro de tiempo continuo que pueda haber sido la base del diseño anterior. Dibujar el diagrama de polos y ceros de s. H c ()

8 8 Estructuras de Filtros Digitales 15.- En la estructura de la figura: a) Determine la función de sistema ( z) Y( z) X ( z) que relaciona la salida ( y [ n] ) y la entrada ( x [ n] ). H = y la ecuación en diferencias b) Dibuje el diagrama de polos y ceros del filtro anterior si b 1 = b = 0, 5. A la vista de dicho diagrama indique de que tipo de filtro se trata, razona la respuesta. c) Realice el sistema anterior mediante la forma directa II transpuesta La estructura en celosía es ampliamente utilizada en procesado de voz y en el diseño de filtros adaptativos. Un sistema en celosía presenta una serie de etapas conectadas tal como se muestra en la figura a. La estructura de cada una de las etapas se representa en la figura b siendo k m el parámetro de la celosía correspondiente a la etapa m_ésima conocido como coeficiente de reflexión. a) Obtener la función del sistema, ( z) Y( z) X ( z) H = para un sistema en celosía de una única etapa en función de su coeficiente de reflexión H z = 1 + z + z, obtener los parámetros y dibujar la estructura 5 en celosía para dicho sistema. b) Dada ( ) Figura a Figura b

9 Estructuras de Filtros Digitales En el sistema cuyo diagrama de flujo se representa en la siguiente figura: a) Suponiendo que parte de reposo inicial, determine la función de sistema y la y n y la entrada x n. ecuación en diferencias que relaciona la salida ( [ ]) ( []) b) Determine la función de transferencia del sistema a conectar en cascada con el anterior para que el conjunto sea un filtro paso todo con ganancia en continua unidad Los diagramas de flujo de las siguientes figuras representan la estructura de diseño de dos filtros digitales. Determinar: a) Función del sistema H ( z) Y1 ( z) X1( z) diferencias que relacionan la salida ( [ n] ) 1 = de la figura 1 y ecuación en y 1 y la entrada ( x 1 [] n ). b) Valor de la transmitacia α de la estructura de la figura para que ambos filtros presenten la misma función del sistema.

10 10 Estructuras de Filtros Digitales 19.- Obtenga la respuesta al impulso de cada uno de los sistemas de la figura: 0.- La respuesta al impulso de un sistema LTI es: a h[ n] = 0 n 0 n 7 resto a) Dibuje el diagrama de flujo empleando la forma directa. b) Demuestre que la correspondiente función de sistema se puede expresar como 8 8 ( ) ( 1 a z ) z = ( 1 az ) H z > c) Dibuje el diagrama de flujo de otro sistema que tenga la misma H(z) y que sea un sistema FIR en cascada con un sistema IIR (suponga a < 1). d) Indique qué realización requiere: a

11 Estructuras de Filtros Digitales 11 i) más registros de almacenamiento (datos y coeficientes). ii) más operaciones (multiplicaciones y sumas por muestra de salida).