1. Implementación de filtros IIR: Formas Directas I y II

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1 1 ELO 385 Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales Laboratorio 4: Filtros digitales Parte II 1. Implementación de filtros IIR: Formas Directas I y II Existen varios tipos de estructuras para la implementación de filtros IIR. Considere el siguiente filtro IIR: [ ] [ ] [ ] (1) Una forma alternativa de escribir una ecuación de diferencia de un filtro IIR es por medio de 2 funciones de transferencia individuales en cascada, esto quiere decir: H( z) H ( z) H ( z) (2) 1 2 Donde H 1 (z) posee sólo ceros de H(z) y H 2 (z) sólo polos 1. H ( z) b z 1 M (3) 0 1 H2 ( z) N 1 az 1 (4) Según sea el orden en que se ubican las funciones de transferencia (3) y (4) se llegará a uno de 2 tipos de realizaciones en formas directas. La ubicación de H 1 (z) antes que H 2 (z) llevará a la llamada Forma Directa I, la cual requiere de M+N+1 multiplicaciones y posiciones de memoria, y M+N sumas. Esta implementación es la más intuitiva, ya que el filtro se implementa como su ecuación de diferencia original, sin ningún tipo de reordenamiento. Por otro lado, si se ubica H 2 (z) antes que H 1 (z), la realización obtenida es conocida como Forma Directa II. En este caso, se requiere de una variable intermedia w para implementación del filtro, lo que agrega una nueva ecuación de diferencia. Como es de esperar, esta variable adicional sólo es una herramienta de implementación y no genera cambios en el filtro. La principal ventaja de esta implementación es que necesita menos posiciones de memoria (usa max{m,n} en vez de M+N+1), aunque el número de multiplicaciones y sumas sigue siendo el mismo. A partir de (3) y (4) se obtienen las ecuaciones de diferencias correspondientes: 1 Sin contar con los polos/ceros en el origen en cada caso

2 2 w( n) x( n) a w( n ) N (5) 1 M y( n) b w( n ) (6) 0 H( z) H ( z) H ( z) (7) 2 1 y W ( z) Y ( z) H( z) X ( z) W ( z) (8) Es posible visualizar claramente estas diferencias mediante un filtro IIR de segundo orden. Las Fig. 1 y Fig. 2 lo muestran uno en su estructura de la Forma Directa I y II, respectivamente. Fig. 1. Forma Directa I de un filtro de segundo orden IIR. Fig. 2. Forma Directa II de un filtro de segundo orden IIR.

3 3 2. Implementación de filtros IIR: Cascadas de segundo orden Desafortunadamente, las implementaciones de filtros IIR usando Forma Directas tienen la desventaja de ser altamente sensibles a la cuantificación de sus coeficientes cuando N es muy grande. Una solución más robusta es implementar los filtros mediante una cascada de filtros de segundo orden. Considere un filtro IIR de orden superior a 2 con la función de transferencia (1). El filtro puede ser factorizado en la cascada de subsistemas de segundo orden tal que H(z) puede ser expresado como K H ( z) H ( z) (9) 1 donde K es la parte entera de (N+1)/2. H tiene la forma general a1 z a2 z b b z b z H ( z) (10) Como existen muchas formas de manejar los polos y ceros de (9) en secciones de segundo orden, habrá muchas realizaciones en cascada y varias maneras de ordenar los subsistemas resultantes. Aunque todas las realizaciones en cascada son equivalentes en aritmética infinita, las diferentes realizaciones difieren significativamente cuando se implementan con aritmética de precisión infinita. La forma general de la estructura en cascada se muestra en la Fig. 3. x = x 1 x 2 x K H 1 (z) H 2 (z) H K (z) y y 1 2 y Fig. 3. Estructura en cascada de sistemas de segundo orden.

4 4 3. Diseño de filtros IIR mediante herramientas de MATLAB Para todos los casos en este punto asuma una frecuencia de muestreo de 8 Hz. Utilice el comando freqz para obtener la respuesta en frecuencia de sus diseños de filtros Utilizando la función ellip de MATLAB diseñe un filtro de segundo orden para cada uno de los siguientes casos: a) Pasa Bajos (fc=1 Hz). b) Pasa Altos (fc=2 Hz). c) Pasa Banda (f1=1 Hz, f2=2 Hz). d) Elimina Banda (f1=1 Hz, f2=2 Hz) Diseñe con el comando Cheby1 y Cheby2 dos filtros Pasa Banda (f1=1 Hz, f2=2 Hz) de segundo orden y: a) 2dB para la banda de paso (Cheby1). b) 20dB de atenuación (Cheby2) 3.3. Escriba una función de MATLAB que permita simular los filtros IIR Chebyshev diseñados en el punto anterior, pero ahora utilizando el esquema de la Fig. 3, i.e., usando una cascada de segundo orden. Compare sus resultados con un filtrado con respecto a la implementación anterior, filtrando un ruido blanco como señal de entrada. Grafique y comente sus resultados. Utilice los comandos filter y tf2sos Diseñe un filtro Butterworth pasabanda con frecuencias entre 400[Hz] y 800[Hz], y de orden 4, 10 y 20. Qué sucede con los polos y ceros del sistema a medida que aumenta el orden del filtro? Qué implicancias tiene esto en relación con la implementación en la tarjeta DSK? Informe de laboratorio: Imprima su código de MATLAB y los gráficos requeridos. Comente sus observaciones y etiquete sus gráficos adecuadamente.

5 5 4. Comparación de diseños óptimos de filtros FIR e IIR Diseñe filtros IIR del tipo Butterworth, Chebyshev, y Elliptic, junto con un filtro FIR del tipo equiripple en MATLAB para las siguientes especificaciones de un filtro pasa-bajos: Passband frequency, Fp = 1.2 Hz Stopband frequency, Fsp = 2 Hz Sampling frequency, Fs = 8 Hz Pass band ripple, Rp = 0.5 db Stop band, Rs = 40 db o mayor 4.1. Use los comandos de MATLAB buttord, cheb1ord, ellipord, and pmord para determiner el orden óptimo más bajo par alas especificaciones dadas. Qué filtro IIR tiene el orden más bajo? Cómo se compara el orden de los filtros FIR con los IIR? 4.2. Comente las ventajas de cada filtro y presente ejemplos en los cuales sería conveniente usar los distintos diseños Informe de laboratorio: Imprima su código de MATLAB y los gráficos requeridos. Comente sus observaciones y etiquete sus gráficos adecuadamente.

6 6 5. Implementación de filtros FIR e IIR en tiempo real Para todos los casos en este punto asuma una frecuencia de muestreo de 8 Hz. Aplique una señal de amplio espectro a través de la tarjeta de sonido del PC. Esta señal se encuentra en el archivo de sonido rbu_8hz.wav en la página web del laboratorio. Observe y analice salida del códec en función de la señal de entrada. Pruebe los efectos auditivos del filtrado utilizando una señal de entrada del micrófono. Es posible que deba manipular la amplitud de la señal para una mejor visualización y percepción auditiva de la señal Implemente los filtros del punto 4.2 de la Parte I del Laboratorio considerando una ventana rectangular y buffer circular. Compare el desempeño obtenido con lo simulado. Cómo cambia la frecuencia de corte al variar la frecuencia de muestreo? 5.2. Implemente el filtro de orden 150 del punto 4.4 de la Parte I del Laboratorio y busque el máximo orden del filtro que pueda implementar con un buffer circular. Compare el desempeño obtenido con lo simulado. Compare además estos resultados con los obtenidos utilizando un buffer lineal Implemente los filtros del punto 3.1 de la Parte II del Laboratorio. Compare los resultados con lo simulado y comente Implemente los filtros Chebyshev obtenidos en el punto 3.2 de la Parte II del Laboratorio en su en su Forma Directa I. Compare los resultados con lo simulado y comente Implemente los filtros anteriores en su Forma Directa II. Compare los resultados con lo obtenido anteriormente y comente Implemente los filtros Chebyshev obtenidos en el punto 3.3 de la Parte II del Laboratorio. Compare los resultados con lo simulado y comente. Informe de laboratorio: Imprima su código C/C++ y los gráficos requeridos para cada punto. Comente detalladamente sus observaciones y etiquete sus gráficos adecuadamente.