Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas. Capítulo 3 Filtros en RF

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3 FILTROS EN RF Filtrado en RF: circuito que modifica la magnitud y la fase de las componentes de las frecuencias de la señal de RF que pasa a través de ellos. Un filtro de convolución se caracteriza por su repuesta al impulso h(t) y su función de transferencia (con transformada de Laplace) se puede calcular como: ( ) * ( )+ La respuesta en frecuencia (con transformada de Fourier) es: ( ) * ( )+ ( ) ( ) (3.1) La amplitud y la fase de la señal de salida dependen de la respuesta en frecuencia del sistema. Los filtros se diseñan para atenuar o amplificar un conjunto de frecuencia de una señal de entrada. La magnitud de la respuesta en frecuencia es una función par, mientras su fase es una función impar Tipos General de Filtros ideales Los filtros se clasifican normalmente en función de cómo se modifica el espectro de frecuencias. Se consideran cuatro tipos de filtros: Filtro pasa bajos: Fig. 3.1 Fig. 3.1 Filtro pasabajos ideal Filtro pasa alto: Fig

4 Filtro pasa banda: Fig. 3.3 Fig. 3.2 Filtro pasa alto ideal Filtro rechaza banda: Fig. 3.4 Fig. 3.3 Filtro pasa banda ideal Fig. 3.4 Filtro rechaza banda ideal. 3.2 Respuesta en Filtros reales Los filtros en el mundo real no tienen las características ideales mostradas anteriormente. Las transiciones verticales en los bordes de las bandas de paso del filtro, prácticamente no se pueden construir. En consecuencia los cambios abruptos en los cambios de frecuencia se realizan ahora en forma suave generando zonas de transición que ocupan un determinado ancho en frecuencia. Las diferentes configuraciones del circuito causa una banda de paso donde se presentan variaciones en la atenuación. En la práctica un filtro pasa bajos real puede ser obtenido por la respuesta al impulso dada por la ecuación (3.2). ( ) ( ) (3.2) 40

5 Por tanto el filtro ideal corresponde a un sistema inestable y no causal (físicamente no realizable). En la práctica se flexibilizan las exigencias sobre el filtro: Se inserta una banda de transición No se exige respuesta de magnitud 1 en la banda de paso No se exige atenuación absoluta en la banda de rechazo. Las condiciones anteriores se expresan en la Fig. 3.5 donde se representa un filtro pasa bajos real. Fig. 3.5 Filtro Pasa bajos real ( ) Banda de paso ( ) Banda de rechazo 41

6 Banda de transición: Todos los filtros requieren una zona de transición cuando se presenta l cambio de banda, como se muestra en la Fig La existencia de una banda de transición da lugar a la definición de un factor de forma del filtro. El factor de forma del filtro se define como la relación entre el ancho de banda de banda de rechazo definido por la atenuación del filtro requerida dividida por el ancho de banda de la banda de paso. La banda de paso se extiende desde una frecuencia corte inferior hasta la frecuencia de corte superior. El factor de forma del filtro LPF y BPF, es mayor que 1 ya que el ancho de banda de banda de rechazo es siempre mayor que el ancho de banda de paso de banda. En general, los factores de forma superior a 3,3 son simples filtros RC; en filtros activos RLC se puede emplear factores de forma de 1,5 a 3 y en filtros más exóticos como filtros de cristal o filtros SAW se puede utilizar un factor forma menor de 1,5. El circuito de la Fig. 3.6 puede ser estudiado analizado los efectos del factor Q con carga en la respuesta en frecuencia para el filtro de 2 polos (Fig. 3.7). Fig.3.6 Filtro pasa bajo típico de 2 polos Fig. 3.7 Curvas de respuesta típica de un filtro de 2 polos 42

7 La frecuencia de resonancia de este circuito puede ser determinada por la ecuación (3.3) El factor de calidad de la rama serie es: El factor de calidad de la rama paralelo es: (3.3) (3.4) (3.5) El Q total es: (3.6) El número de picos de la banda pasante está relacionado con el número de elementos (N), como lo indica la ecuación (3.7) (3.7) Para un filtro pasabajos de 3 elementos como se indica en la Fig. 3.8, tiene una curva de respuesta con 2 picos, como se indica en la Fig Fig. 3.8 Filtro pasa bajo de 3 elementos Fig. 3.9 Respuesta de un filtro pasa bajo de 3 elementos Las curvas de respuestas típicas para algunos valores de Q con carga son mostrados en la Fig

8 Fig Respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo de 3 elementos 3.3 Diseño de Filtros modernos. Se utiliza un filtro prototipo pasa bajo normalizado, el cual puede ser transformado al tipo de respuesta deseada (pasa banda, pasa alto, elimina banda). El primer paso consiste en la normalización a un filtro pasa bajo prototipo mostrado en la Fig Fig Respuesta del filtro pasa bajo normalizado Los cambios de impedancia, frecuencia de corte del filtro normalizado a los valores deseados se conoce como el proceso de escalamiento. 44

9 3.3.1 Filtro Butterworth La respuesta de un Butterworth se caracteriza por una respuesta plana en la banda pasante y no contiene rizados o ripple como se muestra en la Fig Fig Respuesta de un filtro Butterworth La atenuación de un filtro Butterworth está dada por la ecuación (3.8) [ ( ) ] (3.8) Donde: frecuencia en la cual la atenuación es la deseada. c = frecuencia de corte del filtro ( 3dB ) n = número de elementos del filtro. La Fig muestra la relación entre la atenuación generada por el filtro de orden n y cualquier frecuencia. 45

10 Fig Características de Atenuación para filtros Butterworth La Tabla 3.1 determina los valores de un filtro Butterworth de un prototipo Ladder con resistencias de fuente y de carga de 1 ohmio. Ejemplo 3.1 Cuantos elementos son requeridos para diseñar un filtro Butterworth con una frecuencia de corte de 50 MHz, si el filtro debe generar una atenuación de al menos 48 db en 200 MHz? Solución: El primer paso es encontrar la relación de Luego a 4 veces la frecuencia de corte, la respuesta debe decaer en 48 db. Según la Fig se requieren 4 elementos. El circuito correspondiente se muestra en la Fig Fig Ejemplo 3.1 La Tabla 3.1 muestra los valores de los elementos del prototipo pasa bajo Butterworth cuando Rs =RL. 46

11 Tabla 3.1 Valores de los elementos del prototipo pasa bajo Butterworth Ocasionalmente, se requiere diseñar un filtro que opere con terminaciones desiguales como se indica en la Fig En este caso el circuito se normaliza para una resistencia de carga de 1 ohmio y por tanto la resistencia de la fuente y de la carga se dividen por 10, como se indica en la Fig Fig Filtro con terminaciones desiguales. 47

12 Fig Filtro con terminaciones desiguales normalizadas Tabla 3.2 Valores de los elementos del Butterworth pasa bajo para una relación Rs/RL 48

13 Filtro Chebyshev El filtro Chebyshev es un filtro con un Q más alto que el Butterworth con una banda de transición más abrupta, no obstante presenta un rizado en la banda pasante. La Fig muestra una comparación de los filtros anotados para n = 3 elementos. Fig Comparación de las curvas de respuesta del Chebyshev y el Butterworth Los polinomios de Chebyshev según el orden n son mostrados en la tabla 3.3 Tabla 3.3 Polinomios de Chebyshev según el orden n 3.4 Proceso de diseño de filtros Un filtro puede ser diseñado o seleccionado de un grupo de "definición clásica de" filtros o arbitrariamente sobre la base de la curva de respuesta de energía espectral deseada. Filtros de la definición clásica Para el diseño clásico los filtros de paso bajo, paso alto, paso banda o banda de detención se utilizan procedimientos explícitos de diseño clásico que han sido desarrollados para una serie 49

14 de filtros como por ejemplo: Butterworth, Chebyshev, etc. Adicionalmente, las herramientas CAE están disponibles en línea o utilizando MATLAB, donde se proporciona la estimación del orden del filtro y el trazado espectral. Filtros arbitrarios: La respuesta espectral arbitraria requiere los siguientes pasos: (1) Definir una curva suave y continua para todo el espectro de potencia deseado de un filtro. Tratar de usar segmentos de línea recta a partir de una frecuencia a otra, por tanto es necesario asegurar la determinación de las bandas de transición. (2) Estimar el número y ubicación de los polos y ceros sobre los puntos de ruptura y la pendiente de las bandas de las transiciones. (3) Utilizar el polo y el cero estimados en la ecuación para ver si las curvas resultantes son lo suficientemente cerca. (4) Iterar sobre las estimaciones hasta que ajuste la curva. 3.5 Ejercicios Propuestos Dados una bobina con una inductancia de 10 mh, una resistencia de 2, un capacitor de 0,005 F y una fuente de voltaje de 1º volts conectados como un circuito resonante serie, calcular: a) La frecuencia de resonancia: fo. b) La corriente Io del circuito. c) El factor de calidad Q. d) El voltaje sobre la resistencia V R Una inductancia de 100 H que incluye una resistencia de 8, está conectada en paralelo con un capacitor de 680 pf. La fuente de voltaje es de 10 volts. Calcular: a) La frecuencia de resonancia: fo. b) La impedancia de salida Zo. c) La corriente que alimenta el tanque IT. d) La corriente en la rama capacitiva I C. e) La corriente en la rama inductiva I L Una red en configuración L, se usa para acoplar impedancias. La frecuencia de operación es 1.2 MHz y la carga es de 100 ohmios. La inductancia de la bobina es de 150 H con un Q de 200. Calcular: a) El Q T que opera en el circuito. b) La Resistencia de entrada c) La Capacitancia. 50