Respuesta en frecuencia

Transcripción

1 Respuesta en frecuencia La respuesta en frecuencia de un circuito es el analisis de una respuesta determinada de un circuito electrico ante la variacion de la frecuencia de la señal, siendo la frecuencia ω una variable del sistema. Las respuestas en frecuencia de circuitos en estado estable senoidal son de importancia en aplicaciones como sistemas de comunicacion y de control. Una aplicacion especifica se encuentra en los filtros electricos que bloquean o eliminan señales con frecuencias no deseadas y dejan pasar señales con las frecuencias deseadas. Una forma de analizar la respuesta en frecuencia de un circuito es por medio de sus funciones de transferencia y diagramas de bode Funciones de transferencia La funcion de transferencia 1 H(ω)(tambien llamada funcion de red) de un circuito es la relacion fasorial entre una salida Y(ω) y una entrada fasorial X(ω). H(ω) = Y(ω) X(ω) Y(ω) = H(ω) X(ω) La respuesta en frecuencia de un circuito es la grafica de la funcion de transferencia de este mismo H(ω), en funcion de ω, y que varia desde ω = 0 hasta ω = ínf. Puesto que la entrada y la salida pueden ser una tension o una corriente, existen cuatro posibles funciones de transferencia. 1 Ver capitulo 14 del Sadiku 1

2 2 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 1 Figura del ejercicio H(ω) = V o(ω) Ganancia de tension V i (ω) H(ω) = I o(ω) Ganancia de corriente I i (ω) H(ω) = V o(ω) I i (ω) Ganancia de impedancia H(ω) = I o(ω) Ganancia de admitancia V i (ω) La funcion H(ω) se pueden analizar en magnitud H(ω) y angulo ϕ(ω) de forma separada. La funcion de transferencia H(ω) luego de un proceso de factorizacion y simplificacion pueden expresarse en terminos de sus polinomios numerador N(ω) y el denominador D(ω) como: H(s) = N(s) D(s) Donde s = jω, las raices de N(ω) = 0 se llaman los ceros de H(ω) y las raices de D(ω) son los polos de H(ω). UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

3 0.1. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 3 Consulta: Criterio de Nyquist de estabilidad. Un valor a tener en cuenta es el valor de frecuencia de potencia media, que se obtiene cuando: H(ω) = 1 2 Example: Ejercicio 2 : Para el circuito RC de la figura, obtenga la funcion de transferencia V o /V s, la frecuencia de potencia media, los polos, ceros y su respuesta en frecuencia. Considere que v s = V m cos ωt Example-fin: Figura 2 Figura del ejercicio Desarrollo: Por divisor de tension. 2 Ejemplo 14.1 Sadiku Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

4 4 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS V o = H(ω) = (1/jωC)V i R + (1/jωC) jωrc H(ω) = (ωrc) 2 Si H(ω o ) = 1 2 = (ωrc) 2 2 = 1 + (ωrc) 2 ω o = 1 RC H(ω) = H(ω) = 1 ϕ = tan 1 ω 1 + (ω/ω o ) 2 ω o El analisis de respuesta en frecuencia seran las graficas de H(ω) y ϕ(ω). Figura 3 Figura del ejercicio Se obtienen las graficas: Example: Ejercicio 3 : Para el circuito de la figura, obtenga la funcion de transferencia I o /I i, sus polos y sus ceros. Example-fin: Por divisor de corriente: 3 Ejemplo 14.2 Sadiku UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

5 0.1. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 5 Figura 4 Respuesta en frecuencia Figura 5 Figura del ejercicio I o = H(ω) = 4 + j2ω 4 + j2ω + 1/j0,5ω I i j0,5ω(4 + j2ω) s(s + 2) = 1 + j2ω + (jω) 2 s 2 + 2s + 1, s = jω Los ceros estan en s(s + 2) = 0 z 1 = 0; z 2 = 2 Los polos estan en s 2 + 2s + 1 = (s + 1) 2 = 0; Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA polos repetidos en p = 1

6 6 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS 0.2. Resonancia El concepto de resonancia se aplica en varia areas de la ciencia y de la ingenieria. La resonancia se presenta en circuitos que tienen al menos una bobina y un capacitor y se da en una frecuencia que haga que la reactancia inductiva sea igual a la reactancia capacitiva, provocando que la energia oscile de una forma a otra. Los circuitos resonantes (serie o paralelo) son usados como filtros pasabanda o rechazabanda Resonancia serie Consideremos el siguiente circuito RLC serie: Figura 6 Circuito RLC serie Z = R + jx L jx C = R + j(ωl 1 ωc ) La frecuencia de resonancia hace que las reactancias inductiva y capacitiva sean iguales. En la resonancia ocurre lo siguiente: ωl 1 ωc = 0 ω o = 1 LC a) La combinacion LC actua como un corto y la fuente solo ve la R. b) La corriente y el voltaje estan en fase co fp = 1. c) La magnitud de H(ω) = R es minima y la corriente es maxima. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

7 0.3. FILTROS PASIVOS Resonancia paralelo Consideremos el siguiente circuito RLC paralelo: Figura 7 Circuito RLC paraleo Y = G + jb C jb L = G + j(ωc 1 ωl ) La frecuencia de resonancia hace que las susceptancias inductiva y capacitiva sean iguales. ωc 1 ωl = 0 ω o = 1 LC 0.3. Filtros Pasivos Un filtro es un circuito que se diseña para dejar pasar señales con frecuencias deseadas y rechazar o atenuar otras. Un filtro se puede clasificar por su tecnologia o por su numero de elementos. Tenemos filtros pasivos de primer orden, segundo orden u orden superior. Tenemos filtros activos que usan amplificadores operaciones como filtro chebyshev, butterworth. Un filtro es pasivo se consiste en solo elementos pasivos R,L y C. Tenemos 4 tipos de filtros: Filtro pasa-bajo: Atenua la magnitud de las señales de frecuencias por encima de la frecuencia de corte. Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

8 8 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Filtro pasa-alto: Atenua la magnitud de las señales de frecuencias por debajo de la frecuencia de corte. Filtro pasa-banda: Atenua la magnitud de las señales de frecuencias por encima de la frecuencia de corte alta y por debajo de la frecuencia de baja. Filtro rechaza-banda: Atenua la magnitud de las señales entre las frecuencias corte alta y baja. Figura 8 Tabla Resumen Ejemplos de filtros Filtro pasa-bajo Filtro pasa-alto Filtro pasa-banda UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

9 0.3. FILTROS PASIVOS 9 Figura 9 Tabla Resumen Filtro rechaza-banda Circuito RLC serie resonante como filtro Circuito RLC paralelo resonante como filtro Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

10 10 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 10 Pasa bajo Figura 11 Pasa bajo Figura 12 Pasa bajo UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

11 0.3. FILTROS PASIVOS 11 Figura 13 Pasa bajo Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA