GUÍA 7: CORRIENTE ALTERNA Electricidad y Magnetismo

Transcripción

1 GUÍA 7: CORRIENTE ALTERNA Primer Cuatrimestre 2013 Docentes: Dr. Alejandro Gronoskis Lic. María Inés Auliel Andrés Sabater Universidad Nacional de Tres de febrero Depto de Ingeniería Universidad de Tres de Febrero Sede Caseros II Buenos Aires, Argentina

2 GUÍA 7: CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA Primer Cuatrimestre 2013

3 Problema 1 Considere el circuito que consta de una batería (fem), un inductor L, la resistencia R y el interruptor S. Para tiempos t < 0 el interruptor está abierto y no hay corriente en el circuito. En t = 0 el interruptor está cerrado. a) Usando las reglas de Kirchhoff escriba una ecuación que relaciona la fem en la batería, la corriente en el circuito y la derivada de la corriente en el circuito. b) Relacione esta expresión I = A(X exp( t/τ)) en la ecuación diferencial que haya obtenido en a) con el fin de confirmar que, efectivamente, es una solución y determinar que la constante de tiempo τ y las constantes A y X. Cuál sería la mejor elección para A? c) Determinar la caída de voltaje a través del resistor R y la fem generada por el inductor. Resp: a) ɛ IR L di dt = 0, b) τ = L R, c) V L = ɛ exp( t τ ), V R = ɛ(1 exp( t τ )). Problema 2 Después de un largo tiempo T la corriente alcanzará un valor de equilibrio y el inductor estará completamente cargado. En este momento se apaga la batería (fem = 0), lo que permite al inductor estar en Alta, como muestra la imagen. Repita cada uno de los pasos a), b) y c) del problema 1, y señale la solución. Resp: a) IR + L di dt, b) τ = L R, c) V R = V L = ɛ exp( t τ ).

4 Problema 3 El circuito LR se muestra en la figura contiene una resistencia R 1 y una inductancia L en serie con una batería de fem ɛ 0. El interruptor S está cerrado inicialmente. En t = 0, el conmutador S se abre, de manera que una resistencia muy grande R 2 (con R 2 R 1 ) se encuentra en serie con la otros elementos. a) Si el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo antes de t = 0, cuál es la corriente constante I 0 en el circuito? b) Mientras que esta corriente I 0 está fluyendo, en el tiempo t = 0,la llave S se abre. Escriba la ecuación diferencial para I(t) que describe el comportamiento del circuito en los instantes t 0. Resolver esta ecuación (por integración) de I (t) en la aproximación de que ɛ 0 = 0. (Supongamos que la fem de la batería es insignificante en comparación con la fem total de todo el circuito). Exprese su respuesta en términos de la corriente inicial I 0, y R 1, R 2, y L. c) Utilizando los resultados de b), hallar el valor de la fem total de todo el circuito (ley de Faraday) justo después de que se abra el interruptor. Se supone que ɛ 0 puede ser ignorada para los tiempos justo después de que se abre el interruptor. d) Cuál es la magnitud de la caída de potencial a través de la resistencia R 2 en los tiempos t > 0, sólo después de haber abierto el interruptor? Exprese sus respuestas en términos de ɛ 0, R 1 y R 2. Evalué la misma para el caso R 2 = 100R 1. Resp: a) ɛ 0 R 1, b) ɛ 0 T (R 1 + R 2 ) L di dt = 0. c) (1 + R 2 R 1 )ɛ 0, d) 100ɛ 0. Problema 4 Un circuito consta de una batería con fem(v ), un inductor con inductancia L, un condensador con capacitancia C, y tres resistencias, cada una con la resistencia R, como se muestra en la figura. El condensador está inicialmente sin cargar y no hay corriente que fluye en cualquier lugar en el circuito. La llave S ha sido abierta por un largo tiempo, y luego se cierra, como se muestra en el diagrama. Si esperamos mucho tiempo después de que el interruptor está cerrado, calcule las corrientes en el circuito. Resp: V 2R.

5 Problema 5 Considere el circuito de la figura, que consiste en una función de CA del generador V (t) = V 0 sin(wt), con V 0 = 5V, un inductor L = 8, 5 mh, la resistencia R = 5Ω, el condensador C = 100 mf. El circuito ha estado funcionando en equilibrio durante un largo tiempo. si sacamos el generador (instantáneamente lo sustituimos por un cable). a) Suponiendo que nuestro w es la frecuencia de excitación no necesariamente la de resonancia, calcule la frecuencia de oscilación del sistema. b) Cuál es la frecuencia f para que podamos conducir a máxima energía magnética en el inductor? c) En este caso, si se apaga cuando la energía magnética tiene un picos en el inductor, después de cuánto tiempo durará la energía eléctrica en el pico del condensador? d) Aproximadamente cuánta energía se ha disipado en la resistencia durante este tiempo? Resp: a) 1100 rad seg, b) 175 Hz. c) 1,4 mseg, d) 3,6 mj. Problema 6 Un circuito RLC en serie con R = 10Ω, L = 400 mh y C = 2µF está conectado a un voltaje de la fuente de CA V (t) = V 0 sin(wt)con V 0 = 100 V. Calcular la frecuencia de resonancia, la corriente eficaz en la resonancia y la frecuencia de excitación sabiendo que w = 4000 rad s. Supongamos que la respuesta de corriente está dada por I(t) = I 0 sin(wt Φ). Calcular la amplitud de la corriente y el desplazamiento de fase entre la corriente y la tensión de excitación. Resp: 6, A, 89,6.

6 Problema 7 El circuito que se muestra a continuación contiene un generador de CA que proporciona una fuente de que varía con ɛ = ɛ 0 sin(wt), una resistencia R = 6Ω, y un elemento indeterminado, que contiene ya sea un inductor o un condensador, o ambos. La amplitud de la fem ɛ 0 = 6V. Medimos la corriente en el circuito a una frecuencia angular de w = 2 rad s y encontramos que esta en fase con la fem. Medimos la corriente en el circuito a una frecuencia angular w = 1 rad s y encontramos que está fuera de fase con la fem en exactamente π/4. a) Cual es el elemento indeterminado? Explicar su razonamiento. b) Cuál es el valor numérico de la capacidad o de la inductancia, o de ambos? Indique unidades. c) Cuál es la relación de las amplitudes de la corriente I 0 con w = 2 rad s e I 0 con w = 1 rad s? Resp: L = 2H, C = 1 8 F. Problema 8 Considere la posibilidad de un circuito que consta de una resistencia y un condensador con una entrada sinusoidal de corriente alterna, V in (t) = V 0 sin(wt) y dos terminales de salida. a) Cuál es la impedancia total de este circuito? b) Cuál es la amplitud y fase de la corriente I(t) = I 0 sin(wt Φ) en el circuito? c) Cuál es la amplitud y fase de la tensión de salida V out (t) en la resistencia? d) Cuál es la relación de las amplitudes de la señal de salida y la entrada de la señal V out, V in? e) Explique por qué este tipo de circuito se conoce como un filtro paso alto. Resp: a) Z T = (R 2 + ( 1 wc )2 ) 1/2 b) V in /Z T, arctan( 1 wcr ), c) V out = RI 0, d) R/Z T.

7 Problema 9 Calcular la potencia promedio en un resistor, inductor y capacitor, alimentado con un generador de corriente alterna. Problema 10 Trace el diagrama de impedancias para el circuito de la figura y encuentre la impedancia total. Resp: 4Ω + j8ω. Problema 11 Indique el factor potencia de las siguientes cargas: Resp:0,5, 1. Problema 12 Calcule la impedancia total, la corriente, la caída de tensión en la resistencia y en el inductor en la figura a). En la figura b) calcule la admitancia e impedancia, la corriente en la resistencia y el

8 capacitor. Calcule la potencia total y la potencia disipada por el resistor, y el factor de potencia en las dos figuras. Resp: a) 4Ω + j8ω, I R = I L = 20A, 53,13, V R = 60V, 53,13, V L = 80V, 36,8, 0,6 en adelanto b)z T = 1Ω, 53,13, I R = 6A, 53,13, I C = 8A, 36,8. Problema 13 a) Calcule I, V r, V l, V c en forma fasorial. b) Calcule el factor de potencia total. c) Calcule la potencia media entregada al circuito. d) Trace el diagrama fasorial. e) Obtenga la suma fasorial de V r, V l, V c y muestre que es igual al voltaje de la fuente. Resp: a) I = 1,33A, 48,16, V r = 13,30V, 48,16, V l = 50,14V, 41,84, V c = 35,28V, 138,16, b) 0,66 en atraso, c) P T = 17,74 W.

9 Problema 14 Para la red de la figura encuentre la admitancia y la impedancia total. Trace el diagrama fasorial. Calcule la corriente en cada elemento. El factor de potencia y la potencia total disipada. Resp: Z T = 2Ω, 53,13, I r = 30A, 53,136, I c = 30A, 143,13, I l = 70A, 36,8, F P = 0,6. Problema 15 Para el circuito resonante de la figura encuentre las caídas de potencial en la resistencia, en la inductancia y en el capacitor, la corriente cuando la frecuencia es la de resonancia. Calcule el factor de calidad. Si la frecuencia de resonancia es de 5000 Hz encuentre el ancho de banda. Resp:V L = 50V, 90, V C = 50V, 90, V R = 10V, 0, I = 5A, Q = 5, BW = 1000 Hz. Problema 16 En el circuito de la figura determine la frecuencia de resonancia, la impedancia de resonancia, el factor de calidad, el ancho de banda y las dos frecuencias de corte del sistema. Encuentre el voltaje en el capacitor y las corrientes en el capacitor y la inductancia en resonancia.

10 Resp: 5,03 Hz, 10kΩ, 316,4, 15 Hz, f 1 = 5,02 Hz. f 2 = 5,04 Hz. Problema 17 Para la red de la figura calcular la Z T, la corriente I s, V R y V c. Resp: Z T = 6,08Ω, 805, I s = 19,74A, 80,5, V R = 19,74V, 80,5, V C = 118,44V, 9,46. Problema 18 Calcular la impedancia total y la corriente total si el sistema se alimenta con una fuente de 12V. Resp: Z T = 33,15Ω, 61,14, I T = 362mA, 61,14.

11 Problema 19 Un motor de 5HP con un factor de potencia atrasado de 0.6 y eficacia del 92 % esta conectado a una fuente de 208 V a 60 Hz. a) Dibuje el triangulo de potencia para la carga. b) Determine el capacitor de factor de potencia que deberá colocarse en paralelo con la carga para elevar el factor de potencia a la unidad. c) Determine la red equivalente. Resp: b) 331,6µF. Problema 20 Una planta industrial posee una carga térmica de 10 kw y una carga aparente de 20 kva, debido a un bloque de motores de inducción. Los elementos térmicos se consideran puramente resistivos (F p = 1) y los motores tienen un factor de potencia atrasado de 0.7. Si la alimentación es de 1000 V a 60 Hz, determine el elemento capacitivo requerido para que el factor de potencia sea de 0,95. Resp: 16,9µF.