Formulario Procesamiento Digital de Señales

Transcripción

1 Formulario Procesamiento Digital de Señales M n=0 n=0 α n = αm+ α ( α n =, a < ( α sen(a ± B = sen(a cos(b ± cos(a sen(b (3 cos(a ± B = cos(a cos(b sen(a sen(b (4 cos (A = ( + cos(a (5 sen (A = ( cos(a (6 sen(a sen(b = (cos(a B cos(a + B (7 cos(a cos(b = (cos(a B + cos(a + B (8 sen(a cos(b = (sen(a B + sen(a + B (9 ( A sen = ( cos(a (0 ( A cos = ( + cos(a ( e jω = cos(ω + j sen(ω ( cos(ω = ejω + e jω sen(ω = ejω e jω j (3 (4

2 Cuadro : Transformada z de algunas funciones comunes Señal x(n Transformada z, X(z ROC δ(n Plano z u(n a n u(n na n u(n (a n u( n n(a n u( n cos(ω 0 nu(n sen(ω 0 nu(n a n cos(ω 0 nu(n a n sen(ω 0 nu(n z z > az z > a az ( az z > a az z < a az ( az z < a z cos ω 0 z cos ω 0 + z z > z sen ω 0 z cos ω 0 + z z > az cos ω 0 az cos ω 0 + a z z > a az sen ω 0 az cos ω 0 + a z z > a

3 Cuadro : Propiedades de la transformada z Propiedad Dominio n Dominio z ROC Notación x(n X(z ROC: r < z < r x(n X(z ROC x(n X(z Linealidad ax(n + ax(n ax(z + ax(z Desplazamiento en n x(n k z k X(z ROC por lo menos ROC ROC como la de X(z excepto z = 0 si k > 0 y z = si k < 0 Escalado en z a n x(n X(a z a r < z < a r < z < r Reflexión en n x( n X(z r Conjugación x(n X(z ROC [ ] Parte real Re{x(n} X(z + X(z Incluye ROC [ ] Parte imaginaria Im{x(n} X(z X(z Incluye ROC Derivación en z nx(n z dx(z r < z < r dz Convolución x(n x(n X(zX(z Por lo menos ROC ROC Correlación rxx(n = x(n x( n Rxx = X(zX(z Por lo menos la intersección de ROC y la de X(z Teorema del valor inicial Si x(n es causal x(0 = lím z Multiplicación x(nx(n Relación de Parseval n= x(nx(n = πj πj C C X(vX X(vX ( z v ( v v dv v dv Por lo menos rlrl < z < ruru 3

4 Cuadro 3: Propiedades de la DFT Propiedad Dominio temporal Dominio frecuencial Notación x(n, y(n X(k, Y (k Periodicidad x(n = x(n + N X(k = X(k + N Linealidad a x (n + a x (n a X (k + a X (k Reflexión temporal x(n n X(N k Desplazamiento temporal circular x((n l N X(k e jπkl/n Desplazamiento frecuencial circular x(ne jπln/n X((k l N Conjugación compleja x(n X(N k Convolución circular x (n N x (n X (kx (k Correlación circular x(n N y( n X(kY (k Multiplicación de dos secuencias x (nx (n N (k N X (k Teorema de Parseval N N x(ny(n X(kY (k N n=0 Cuadro 4: Simetrías en filtros FIR de fase lineal Simetría Simétrica h(n = h(m n Antisimétrica h(n = h(m n M M par H r (0 = h(k H r (0 = 0 M impar ( M H r (0 = h + M 3 no apto como filtro paso bajos h(k H r (0 = H r (π = 0 no apto como filtro paso bajos o altos Cuadro 5: Funciones utilizadas como ventanas. Ventana h(n, 0 n M Ancho Pico lóbulo lobular lateral [db] Rectangular 4π/M 3 Bartlett (triangular n M 8π/M 7 M πn Hamming 0,54 0,46 cos 8π/M 3 πn Hanning cos 8π/M 43 M 4

5 Cuadro 6: Descomposición de filtros FIR en P (ω y Q(ω. Simétrico Antisimétrico h(n = h(m n h(n = h(m n M Impar Caso Caso 3 Q(ω = sen(ω Q(ω = P (ω = a(k = (M / { h a(k cos ωk h k = 0 k k =,,..., M P (ω = c c 3 5 M Par Caso ( ω Caso 4 Q(ω = cos Q(ω = sen (M 3/ c(k cos ωk = h(0 = 4h( c(k c(k + = 4h c(0 + 3 c( = h ( ω k, k M 5 P (ω = M b(k cos(ωk ( M b(0 = h P (ω = d M d(k cos(ωk = 4h(0 b(k = 4h k b(k, k M b = 4h(0 d(k d(k = 4h k d(0 d( = h, k M 5

6 Cuadro 7: Características de Filtros Paso Bajo Analógicos Filtro Función de Transferencia Características Butterworth (todo-polos Chebyshev, Tipo I (todopolos Chebyshev, Tipo II (polos y ceros Elíptico ó Cauer (polos y ceros (todo- Bessel polos H(Ω = + (Ω/Ω C N Ω C : frecuencia de corte H(Ω = + ɛ T N ( Ω Ω P T N : polinomio de Chebyshev T 0 (x = T (x = x T N+ (x = xt N (x T N (x H(Ω = + ɛ [ T N T N ΩS Ω P ΩSΩ T N : polinomio de Chebyshev H(Ω = ( + ɛ Ω U N Ω P U N : función elíptica Jacobiana de orden N H(s = B N (s B N (s: funciones de Bessel B 0 (s = B (s = s + B N (s = (N B N (s + s B N (s ] H(Ω monótona en las bandas de paso y rechazo. Rizado constante en la banda de paso y característica monótona en la banda de rechazo. Rizado constante en la banda de rechazo y característica monótona en la banda de paso. Rizado constante tanto en la banda de paso como en la de rechazo. Respuesta de fase lineal en la banda de paso (aunque se destruye en la conversión a digital. 6

7 Cuadro 8: Transformaciones de frecuencia para filtros analógicos. Tipo de filtro Transformación Nuevas deseado frecuencias de corte Paso bajo s Ω P s Ω P Ω P Paso alto s Ω P Ω P Ω P s s + Ω l Ω u Paso banda s Ω P Ω u, Ω l s(ω u Ω l s(ω u Ω l Supresor de banda s Ω P s + Ω l Ω u Ω u, Ω l Ω P : frecuencia de corte del prototipo Ω l : frecuencia de corte inferior Ω u : frecuencia de corte superior Cuadro 9: Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. Tipo de filtro Transformación Constantes Nuevas deseado frecuencias de corte Paso bajo z z a a = sen ωp ω «P az «ω P Paso alto z z + a + az a = cos Paso banda z z a z + a a z a z + Supresor z z a z + a a z a z + de banda ω P : ω l : ω u : ωp +ω sen P ωp +ω P «cos ωp ω P «ω P a = α K ω K+ u, ω l a = K K+ α = cos( ωu+ω l cos( ωu ω l K = cot ωu ω l tan ω P a = α ω K+ u, ω l a = K +K α = cos( ωu+ω l cos( ωu ω l K = tan ωu ω l tan ω P frecuencia de corte normalizada del prototipo frecuencia de corte normalizada inferior frecuencia de corte normalizada superior 7