Procesado Lineal Bidimensional

Transcripción

1 Procesado Lineal Bidimensional Santiago Aja-Fernández Universidad de Valladolid S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 1 / 36 Contenidos 1 Señales bidimensionales Representacion de imágenes Señales de interés 2 Sistemas Lineales e Invariantes (LSI) Propiedades de la convolución 3 Transformada de Fourier 2D Transformada de Fourier de señales continuas Propiedades Transformada de Fourier de señales discretas 4 La transformada Discreta de Fourier (DFT) Transformada Discreta de Fourier 1D Transformada Discreta de Fourier 2D 5 Transformadas Unitarias Definición Transformada del coseno (DCT) Otras Transformadas S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 2 / 36

2 Representacion de imágenes Señales 2D Imágenes como señales 2D Continua f (x, y): aplicación f : R 2 R N Discreta f [m, n]: aplicación f : Z 2 R N f [m, n]: Señal discreta cuantificada Notación Símbolos: x, y, z, u, v Coordinadas espaciales continuas Símbolos: n, m, r, s, i, j, k Coordinadas espaciales discretas S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 4 / 36 Señales de interés Impulsos unitarios Discreto δ[m, n] = Continuo δ(x, y) { 1 n = m = 0 0 resto δ(x, y)dxdy = 1 Propiedad: f (x, y)δ(x x 0, y y 0 )dxdy = f (x 0, y 0 ) Señal separable si f (x, y) = f x (x)f y (y) δ[m, n] = δ[m]δ[n] δ(x, y) = δ(x)δ(y)? S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 5 / 36

3 Señales de interés Exponencial f (x, y) = Ke s 1x+s 2 y f [m, n] = Kz m 1 zn Continua f (x, y) = K e jω 1x+jω 2 y. Señal periódica. Discreta f [m, n] = K e jω 1m+jΩ 2 n. Señal peródica si 100 2π 2π Ω 1 Q Ω 2 Q S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 6 / 36 Sistemas Lineales e Invariantes (LSI) Respuesta al sistema f(x,y) LTI g(x,y) Respuesta de un sistema g[m, n] = H (f [m, n]) Propiedades de Linealidad e invarianza espacial. Respuesta al impulso h[m, n; m, n ] = H (δ[m, n]) h(x, y; x, y ) = H (δ(x, y)) S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 8 / 36

4 Sistemas Lineales e Invariantes (LSI) Sistemas LSI g[m, n] = f [m, n ]h[m m, n n ] m n = f [m, n] h[m, n] g(x, y) = f (x, y )h(x x, y y )dx dy x y = f (x, y) h(x, y) Convolución S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 9 / 36 Propiedades de la convolución Propiedades Conmutatividad: f (x, y) h(x, y) = h(x, y) f (x, y) Asociatividad Distributividad Estabilidad h[m, n] < m n Separabilidad Causalidad x y h(x, y) dxdy < S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 10 / 36

5 Ejemplos de convolución S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 11 / 36 Transformada de Fourier 2D Señales continuas Representación de las señales en el dominio de las frecuencias espaciales. F (ξ 1, ξ 2 ) = f (x, y) = f (x, y)e j2π(ξ 1x+ξ 2 y) dxdy F (ξ 1, ξ 2 )e j2π(ξ 1x+ξ 2 y) dξ 1 dξ 2 Eterno problema con ω i = 2πξ i f (x, y) = ( ) 1 2 F (ω 1, ω 2 )e j(ω 1x+ω 2 y) dω 1 dω 2 2π S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 13 / 36

6 Propiedades de la TF 2D Propiedades Frecuencias espaciales: ciclos por unidad espacial Unicidad Separabilidad (kernel separable). [ ] F (ξ 1, ξ 2 ) = f (x, y)e j2πξ2y dy e j2πξ1x dx Exponenciales complejas son autofunciones de los sitemas LSI. g(x, y) = e j2π(ξ 1x+ξ 2 y) H(ξ 1, ξ 2 ) S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 14 / 36 Propiedades de la TF 2D Propiedades Convolución g(x, y) = f (x, y) h(x, y) Correlación cruzada F G(ξ 1, ξ 2 ) = F(ξ 1, ξ 2 )H(ξ 1, ξ 2 ) c(x, y) = F G(ξ 1, ξ 2 ) = F(ξ 1, ξ 2 )H (ξ 1, ξ 2 ) Autocorrelación y densidad de energía R f (x, y) = f (x, y )f (x + x, y + y )dx dy S f (ξ 1, ξ 2 ) = F [R f (x, y)] = F (ξ 1, ξ 2 ) 2 S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 15 / 36

7 Propiedades de la TF 2D TF Rotaciones TF en polares F p (ξ, φ) = = f (x, y)e j2π(ξ cos φx+ξ sin φy) dxdy f p (ρ, θ)e j2π(ξ cos φρ cos θ+ξ sin φρ sin θ) ρdρdθ Se puede demostrar que F [f p (ρ, θ + α)] = F p (ξ, φ + α) S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 16 / 36 Transformada de Fourier 2D Señales discretas Transformada de Fourier (continua) de señales discretas F (Ω 1, Ω 2 ) = f [m, n]e j(ω 1m+Ω 2 n) m n ( ) 1 2 π π x[m, n] = F (Ω 1, Ω 2 )e j(ω 1m+Ω 2 n) dω 1 dω 2 2π π Solución computacional: DFT π S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 17 / 36

8 Ejemplos de transformada de Fourier S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 18 / 36 Ejemplos de transformada de Fourier S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 19 / 36

9 Transformada Discreta de Fourier DFT de una secuencia (1D) v[k] = n=0 u[n] = 1 N u[n]e j 2π N kn, k = 0,, N 1 k=0 v[k]e j 2π N kn, n = 0,, N 1. Referencia: Lim: Two-dimensional signal and image processing. S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 21 / 36 Propiedades de la Transformada Discreta de Fourier 1 Extensión periódica: u[n + N] = u[n] v[k + N] = v[k] 2 DFT: Muestreo de la TF de una señal discreta. } u[n] T F ( ) U(Ω) 2π u[n] DFT v[k] = U v[k] N k 3 Relación DFT con Series de Fourier. 4 Implementación con algoritmos rápidos: FFT, O(N log 2 N). 5 Simetría conjugada en torno a N/2: X[N k] = X [k]. S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 22 / 36

10 Propiedades de la Transformada Discreta de Fourier 6 Convolución (circular): 7 Multiplicación: x 1 [n] x 2 [n] DFT X 1 [k]x 2 [k] x 1 [n]x 2 [n] DFT 1 N 2 X 1[k] X 2 [k] S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 23 / 36 Transformada Discreta de Fourier DFT de una imagen (2D) X[k 1, k 2 ] = m=0 n=0 x[m, n] = 1 N 2 k 1 =0 k 2 =0 x[m, n]e j 2π N (k 1m+k 2 n) X[k 1, k 2 ]e j 2π N (k 1m+k 2 n) S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 24 / 36

11 Propiedades de la DFT 2D 1 Extensión periódica: X[k 1 + N, k 2 + N] = X[k 1, k 2 ] 2 DFT: Muestreo de la TF de una señal discreta. 3 Implementación con algoritmos rápidos: FFT, O(N 2 log 2 N). 4 Simetría conjugada: X[k 1, k 2 ] = X [N k 1, N k 2 ] S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 25 / 36 Comentarios Sistemas LSI Queremos transformaciones N N N N Sistemas LSI: no lo cumplen (N N) (M M) (N + M 1) (N + M 1) Sistemas LCI: lineales y circularmente invariantes. (Convolución circular). Salida de un sistema LCI: g[m, n] = f [m, n] h[m, n] Respuesta a exponencial compleja: g[m, n] = H[k 1, k 2 ]e j 2π N (k 1m+k 2 n) S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 26 / 36

12 Comentarios (2) DFT y operaciones Convolución: O(N 4 ) Convolución vía DFT: O(N 3 ) Convolución vía FFT: O(N 2 log 2 N) Equivalencia filtrado en dominio espacial y transformado. Sin embargo hay otras transformadas mejores que la DFT para hacer procesado lineal: Transformadas Unitarias. S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 27 / 36 Problema de la DFT S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 28 / 36

13 Transformadas Unitarias Usamos familia de señales ortogonales que no sean las exponenciales complejas F[k 1, k 2 ] = f [m, n] = m=0 n=0 k 1 =0 k 2 =0 f [m, n]a k1,k 2 [m, n] F [k 1, k 2 ]a k 1,k 2 [m, n] a k1,k 2 [m, n] familia de funciones ortonormales. m=0 n=0 a k1,k 2 [m, n]a k 1,k 2[m, n] = { 0 ki k i 1 k i = k i S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 30 / 36 Transformadas Unitarias Ortonormalidad m=0 n=0 Completitud. k 1 a k1,k 2 [m, n]a k 1,k 2[m, n] = δ[k 1 k 1, k 2 k 2 ] k 2 a k1,k 2 [m, n]a k 1,k 2 [m, n ] = δ[m m, n n ] S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 31 / 36

14 Transformadas Unitarias Principales Transformadas Unitarias DFT Transformada del coseno y del seno Transformadas de Hadamard / Walsh Transformada de Haar T. de Slant T. de Karhunen-Loeve Todas menos la última tienen transformada rápida S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 32 / 36 Transformada Discreta del Coseno Equivalente a DFT de imagen 2N 2N. S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 33 / 36

15 Transformada Discreta del Coseno DCT de una imagen Equivalente a DCT{f [m, n]} = DFT{f e [m, n]} F[k 1, k 2 ] = 1 2N = 2 N cos 2 m=0 m=0 n=0 2 n=0 2π j f e [m, n]e 2N (k 1m+k 2 n) f [m, n] cos ( k2 π (2n + 1) 2N ) ( ) k1 π (2m + 1) 2N e j(...) S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 34 / 36 Transformada Discreta del Coseno DCT de una imagen F [k 1, k 2 ] = 2C(k 1)C(k 2 ) N cos m=0 n=0 ( k2 π N (2n ) f [m, m] = 2C(k 1)C(k 2 ) N cos ) k 1 =0 k 2 =0 ( k2 π N (2n ) a k1,k 2 [m, n] = 2 N cos ( k1 π N (m ) ) f [m, n] cos F [k 1, k 2 ] cos ) cos ( k1 π N (m + 1 ) 2 ) ( k1 π N (m + 1 ) 2 ) ( k2 π N (2n + 1 ) 2 ) S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 35 / 36

16 Otras Transformadas Transformada de Karhunen-Loeve Conocida como Trasformación de autovectores. No tiene FFT. Transformada rápida: Singular Value Decomposition (SVD) X = USV T U y V matrices unitarias, S diagonal. S. Aja-Fernández (ETSI Telecomunicación) Introducción al Procesado de Imagen 36 / 36