Tema IV. Transformada de Fourier. Contenido. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo. Propiedades de las transformadas de Fourier

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Juan José Valdéz Vázquez
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1 Tema IV Transformada de Fourier Contenido Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo Transformadas coseno y seno de Fourier Propiedades de las transformadas de Fourier Transformada de Fourier de funciones especiales Transformada de Fourier de una función periódica Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1

2 1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo La transformada de Fourier permite hallar la representación en el dominio de la frecuencia de una función no periódica para poder conocer su composición armónica. Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada en R. Se define su transformada de Fourier como: La Transformada Inversa de Fourier Transformada de Fourier Es el proceso a través del cual, dada F(w) es posible hallar f(t) a partir de ella: Transformada Inversa de Fourier Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 2

3 1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo Condiciones suficientes y necesarias para que la Transformada de Fourier de f(t) exista. Suficiente Necesaria En general funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando t tiende a + y no tienen Transformadas de Fourier. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 3

4 1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo La Transformada de Fourier F(w) en general es compleja por lo tanto: F(w) = Re(w) +j Im (w) Re(w) : Parte real Im (w) : Parte imaginaria Para la representación fasorial tenemos: Ø(w) : Espectro de Fase La Transformada de Fourier cuando f(t) es real queda: Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 4

5 1. Desarrollo de la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo La función Re(w) es una función par de w, mientras que Im(w) es una función impar de w, esto es: Re(w) = Re(-w) Im(w) = - Im(-w) F(-w) = F * (w) F*(w) denota el conjugado complejo de F(w) Si f(t) es real, su espectro de magnitud F(w) es una función par de w y su espectro de fase ø(w), es una función impar de w. Si la transformada de Fourier de una función real f(t) es real, entonces f(t) es una función par de t y si la transformada de Fourier de una función real f(t) es imaginaria pura, entonces f(t) es una función impar de t Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 5

6 2. Transformadas coseno y seno de Fourier Si f(t) está definida solo para 0 < t <, la función f(t) puede ser representada por: Transformada coseno de Fourier Transformada seno de Fourier Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 6

7 3. Propiedades de la Transformada de Fourier. Linealidad Sea y con a 1 y a 2 constantes tenemos: Escalamiento Sea a una constante real y entonces: Si a es positiva y mayor que uno, f(at) se comprime y su densidad espectral se expande. Si a es positiva y menor que uno, f(at) se expande y su densidad espectral se comprime. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 7

8 3. Propiedades de la Transformada de Fourier. Desplazamiento en el Tiempo Si entonces: Desplazamiento en la frecuencia Si w 0 es una constante real y entonces: Simetría (Dualidad) Si entonces: Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 8

9 3. Propiedades de la Transformada de Fourier. Derivación en el tiempo Si y f(t) 0 cuando t entonces: En general n = 1,2,3. Integración en el tiempo Si con w 0 entonces: Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 9

10 3. Propiedades de la Transformada de Fourier. Convolución en el Tiempo Si y entonces: La convolución en el tiempo equivale al producto en la frecuencia. Esta propiedad, es muy importante en el análisis y síntesis de sistemas LTI. Como x(t) h(t) puede interpretarse como la salida del sistema h(t) al ser excitado por la señal x(t), la propiedad nos dice que si x(t) la representamos como combinación lineal de exponenciales complejas de distinta frecuencia, entonces un sistema LTI, amplifica o atenua la contribución de cada componente frecuencial. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 10

11 3. Propiedades de la Transformada de Fourier. Convolución en la Frecuencia Si y entonces: El producto en el tiempo equivale a la convolución en la frecuencia. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 11

12 3. Propiedades de la Transformada de Fourier. Resumen de las propiedades Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 12

13 4. Transformada de Fourier de Funciones Especiales Función Impulso. La función Impulso puede escribirse como la siguiente identidad: Función Impulso Unitario δ (t) Transformada de Fourier Función Impulso Unitario F (w) 1 t w Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 13

14 4. Transformada de Fourier de Funciones Especiales Función Constante Sea f(t) = A, entonces: Función Constante Transformada de Fourier Función Constante f (t) A F (w) 2Aπδ(w) t w Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 14

15 4. Transformada de Fourier de Funciones Especiales Función Escalón Unitario Función Escalón Unitario u (t) Transformada de Fourier Función Escalón Unitario F (w) πδ(w) Espectro de la Función Escalón Unitario t F (w) 1 w πδ(w) w - 1 w w Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 15

16 5. Tabla de Transformada de Algunas Funciones Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 16

17 6. Ejemplo Calcular la Transformada de Fourier de f(t) (pulso rectangular): f (t) 1 -P 2 P 2 t Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 17

18 6. Ejemplo Sabiendo que según la ecuación de Euler Función sinc (seno cardinal) Sinc (θ) θ F (w) Seno Cardinal 1 2π w Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 18

19 7. Transformada de Fourier de una Función Periódica Sea f(t) una función periódica de periodo T, entonces: Aplicando Transformada de Fourier La Transformada de Fourier de una función periódica, consta de una sucesión de impulsos equidistantes localizados en las frecuencias armónicas de la función. Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 19

20 7. Transformada de Fourier de una Función Periódica Se establece que la transformada de Fourier de un tren de impulsos es también un tren de impulsos equidistantes en w 0. f (t) f (w) T t w 0 w Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 20

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