UNIDAD 1: SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS - TEORÍA

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1 CURSO: SEÑALES Y SISTEMAS UNIDAD 1: SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS - TEORÍA PROFESOR: JORGE ANTONIO POLANÍA P. 1. DEFINICIONES SEÑAL: Matemáticamente es una variable que contiene información y representa una cantidad física, por ejemplo encontramos señales de audio, imagen, ruido, termoeléctricas, bioeléctricas, etc. CLASIFICACION DE LAS SEÑALES a. Continuas o discretas Continúa Discreta b. Periódica o no periódica La señal periódica se repite después de un intervalo de tiempo llamado periodo. X(t) = X(t + T)

2 T = Periodo; f = Frecuencia f = 1 T ω = Frecuencia angular ; ω = 2πf Periódica T = 0.2 seg f = = 5 Hz ω = 10π rad seg No periódica c. Determinística o estocástica Determinística porque tiene un valor en (t) y en otro tiempo (t + t), predecible. Deterministica Estocástica

3 d. Par e impar Par: x(t) = x( t) Impar: x( t) = x( t) X(t) = Xp(t) + Xi(t) Xp(t): Señal Par Xp(t) = 1 2 [X(t) + X( t)] Xi(t): Señal Impar Xi(t) = 1 2 [X(t) X( t)] ENERGIA Y POTENCIA DE UNA SEÑAL Energía total de una señal: E = [X(t)] 2 dt Potencia promedio: t2 1 P = t2 t1 [X(t)]2 t1 dt Si es periódica: T 2 P = 1 T [X(t)]2 dt T 2

4 SEÑALES FUNDAMENTALES a. Impulso unitario: (t) 1, t = 0 (t) = { 0, t 0 } b. Escalón unitario: u(t) 1, t 0 u(t) = { 0, t < 0 } c. Rampa unitaria: r(t) t, t 0 r(t) = { 0, t < 0 } d. Senoidal: sen(ωt + φ) sen(2πf + φ) φ = fase o corrimiento

5 e. Exponencial: Ae t 2. TRANSFORMACIONES DE UNA SEÑAL DESPLAZAMIENTO DE LA SEÑAL EN EL TIEMPO X(t) X(t to) Ej: u(t 2) REFLEXIÓN X(t) X( t) OPERACIONES a. Escalamiento y(t) = ℷX(t) y(t) = X(at)

6 b. Suma y(t) = X1(t) + X2(t) c. Multiplicación y(t) = X1(t) X2(t) d. Diferenciación y(t) = d dt X(t) e. Integración y(t) = x(t)dt 3. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS a. CONTINUOS O DISCRETOS

7 b. LINEAL O NO LINEAL Es lineal si cumple el principio de superposición. c. INVARIANTE O NO INVARIANTE Es invariante si cumple y(t) = ax1(t) + by1(t) Existe corrimiento si variar la forma de onda. d. CAUSAL O NO CAUSAL Es causal si la salida depende solamente de los valores previos de la entrada. e. INVERTIBLE O NO INVERTIBLE Es invertible si la entrada puede ser reconstruida usando un sistema inverso.

8 f. ESTABLE O INESTABLE Es estable si en una entrada acotada se produce una salida acotada. 4. SISTEMAS LT I ( Lineales invariantes en el tiempo) h(t): Respuesta al impulso unitario PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS LTI Convolución y(t) = x(τ)h(t τ) dτ y(t) = x(t) h(t) = convolución Conmutativa y(t) = h(t) x(t) y(t) = h(τ)x(t τ) dτ

9 ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS a). Conexión serie b). Conexión paralela h(t) = h1(t) h2(t) c). Sistema invertible h(t) = h1(t) + h2(t) (t) h 1 (t) = (t) RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA x(t) = e jωt Señal exponencial compleja

10 y(t) = x(t) h(t) = h(τ)x(t τ) dτ = h(t)e jω(t τ) dτ y(t) = e jωt h(τ)e jωτ dτ h(τ)e jωτ dτ Respuesta en frecuencia SISTEMA ELÉCTRICO h(t) = 1 t RC e RC u(t) H(jω) = 1 e τ/rc e jωτ dτ RC H(jω) = 1 RC 1 e (jω+ RC )τ 0 dτ H(jω) = 1 RC [ 1 jω + 1/RC e (jω+ H(jω) = 1/RC jω + 1/RC = jωrc 1 RC )τ ] Magnitud 1 H(jω) = 1 + (ωrc) 2 Fase φ = 0 tan 1 (ωrc) = tan 1 (ωrc)

11 Respuesta al escalón h(t): Respuesta al impulso unitario y(t) = u(t) h(t) = h(τ)u(t τ) dτ y(t) = t h(τ) dτ Sea: h(t) = 1 t e RC u(t) RC t τ RC e y(t) = 1 t RC u(τ) dτ y(t) = 1 RC τ e RC u(τ) dτ 0

12 y(t) = 1 RC y(t) = 1 e t RC τ [ RC e RC] = e τ RC 5. REPRESENTACION DE SISTEMAS Los sistemas se pueden representar mediante a) Ecuaciones diferenciales o, b) Ecuaciones de estado ECUACIÓN DIFERENCIAL: SISTEMA ELÉCTRICO e(t) = Ri(t) + L di dt + 1 i dt, derivando C de di = R dt dt + L d2 i dt 2 + i(t), Ecuacion diferencial de orden 2 C

13 ECUACIÓN DIFERENCIAL: SISTEMA MECÁNICO K= Constante del resorte m= Masa F= Fricción X= Desplazamiento F(t)= Fuerza aplicada F(t) = m d2 x dx + F + Kx; Ecuacion de segundo orden dt2 dt ECUACIONES DE ESTADO: SISTEMA ELÉCTRICO Ecuaciones: 1. i(t) = C de c dt de c dt = 1 C i(t) 2. L di dt = e(t) Ri(t) e c (t) di dt = 1 L e(t) 1 L Ri(t) 1 L e c (t)

14 En forma matricial (Ecuaciones de estado) Variables de estado: e c, i X = Ax + Bu(t) Donde: u(t): Entrada al sistema x : Vector de estado X = [ e c ], el punto significa derivada i

15 CURSO: SEÑALES Y SISTEMAS UNIDAD 1: SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS - EJEMPLOS EJEMPLO 1 Hallar la potencia promedio de la señal Solución X(t) = 20t P = [X(t)]2 0 dt = [20t 1] dt = (400t2 40t + 1) dt 0 P = 10 [ 400t3 3 40t2 2 + t] = 1 3 EJEMPLO 2 Escalonamiento: Dada la señal x(t), hallar x(2t) y x(1\2 t) Para x(t): x( 1) = 0, x(0) = 1, x(1) = 0 Para: x(2t): x(1) = 0, t = 1 2, x( 1) = 0, t = 1 2

16 Para: x ( 1 t) : x(1) = 0, t = 2, x( 1) = 0, t = 2 2 EJEMPLO 3 Corrimiento: Hallar y(t) = x(2t + 3) dada la señal x(t) Solución Primero se corre X(t + 3) Luego se escala

17 EJEMPLO 4 Dibujar las formas de onda a. X(t) = u(t) u(t 2) Solución Restando las dos señales tenemos: b. X(t) = u(t 1) 2u(t) + u(t 1) Solución

18 EJEMPLO 5 Expresar la señal x(t) en términos de g(t) Solución. x(t) = g ( 1 4 t) + g (1 t) + g(t) 3 EJEMPLO 6: PAR E IMPAR x(t) = xp(t) + xi(t) xp(t) = 1 [x(t) + x( t)]; Señal par 2 xi(t) = 1 [x(t) x( t)]; Señal impar 2 Al sumar x(t) + x( t) da:

19 Al restar x(t) x( t) nos queda: Ahora xp(t) + xi(t) = x(t) que es: EJEMPLO 7: CORRIMIENTO Si tengo Si hay corrimiento

20 EJEMPLO 8: CONVOLUCIÓN h(t) = e t X(t) = u(t) u(t 1) y(t) = x(t) h(t) y(t) = h(τ)x(t τ) dτ a). t 0 y(t) = 0 t b). 0 t < 1 y(t) e τ 0 c). t 1 dτ = [ e τ ] = 1 e t

21 y(t) = t e τ t 1 dτ = [ e τ ] = e t + ee t = (e 1)e t EJEMPLO 9 x(t) = { e 3t, 0 < t < 2 0, en otro caso } h(t) = e t u(t) Solución y(t) = x(t) h(t) y(t) = x(τ)h(t τ) dτ

22 a). t < 0; y(t) = 0 b). 0 t < 2 e 3τ e (t τ) = e t 2τ t y(t) = e t 2τ 0 dτ = e t [ 1 2 e 2τ ] = 1 2 (e t e 3t ) c). t 2

23 2 y(t) = e t 2τ dτ = e t [ 1 2 e 2τ ] = 1 2 (1 e 4 )e t 0 y(t) = 0, t < (e t e 3t ), 0 t < 2 { 1 2 (1 e 4 )e t, t 2 } EJEMPLO 10: SEÑALES PERIÓDICAS O NO PERIÓDICAS Determinar si la señal es periódica, si lo es hallar su periodo. a). x(t) = 4cos (5πt π/4) x(t) = Acos(ωt + φ); ω = 2πf = 2π T T = Periodo ω = 5π = 2π T ; es periodica T = 2π 5π = 2 ; 0.4 seg 5 b). x(t) = 3cos4t + sen(πt) ω1 = 4 = 2π T1 T1 = 2π 4 = π 2 ω2 = π = 2π T2 T2 = 2π π = 2 T1 T2 = π/2 2 = π ; No es periodica 4 Nota: la relación debe dar numerador y denominador enteros.

24 c). x(t) = cos(3πt) + 2cos (4πt) ω1 = 3π = 2π 2π T1 = T1 3π = 2 3 ω2 = 4π = 2π 2π T1 = T1 4π = 1 2 T1 T2 = 2/3 1/2 = 4 ; Si es periodica 3 3T1 = 4T2 = T T = 3 ( 2 3 ) = 2 seg EJEMPLO 11: CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS Determinar si los siguientes sistemas son: lineales, invariantes, causales o con memoria. a). dy + 6y(t) = 4x(t) dy Las ecuaciones diferenciales de orden 1 representan un sistema continuo Los coeficientes que acompañan la y al ser constantes representan un sistema invariante Si no depende de entradas futuras el sistema es causal Si posee diferenciales la ecuación el sistema tiene memoria De acuerdo con esto este sistema es: Lineal, invariante, causal y con memoria. b). dy + 4ty(t) = 2x(t) dt El sistema es: Lineal, no invariante, causal y con memoria.

25 c). y(t) = sen[x(t)] El sistema es: No lineal, invariante, causal y sin memoria. d). dy dt + y2 (t) = x(t) El sistema es: No lineal, invariante, causal y con memoria. e). dy + sen(t)y(t) = x(t + 2) dt El sistema es: Lineal, no invariante, no causal y con memoria. x(t) = a1x1(t) + a2x2(t) y(t) = a1y1(t) + a2y2(t) EJEMPLO 12: ECUACIÓN DE ESTADO Representar la siguiente ecuación diferencial mediante ecuaciones de estado: d 3 y dt d2 y dt 2 + dy + 2y(t) = u(t); Ecuacion de orden 3 dt Solución Tres variables de estado: x1, x2, x3 Despejando: d 3 y dt 3 = 5 d2 y dt 2 dy 2y(t) + u(t) dt

26 Se define: x1(t) = y(t) x2(t) = dy dt x3(t) = d2 y dt 3 x1 x = [ x2] ; vector de estado x3 Tenemos: Ecuación de salida y(t): x1 y(t) = [1 0 0] [ x2] x3 y(t) = Cx + Du(t) EJEMPLO 13 Ecuaciones 1. ei = R 1 i 1 + L 1 di1 dt + e c 2. e c = L 2 di2 dt + R 2i 2

27 3. C de c dt = i 1 i 2 Variables de estado: i 1, i 2, i 3, despejando: 1. di1 dt = R 1 L 1 i 1 + ei L 1 e c L 1 2. di2 dt = e c L2 R 2 L2 i 2 3. de c = i 1 i 2 dt C C Ahora Ecuación de salida: e o (t) = R 2 i 2 e o = [0 R 2 0] [ i 1 i 2 e c ]

28 CURSO: SEÑALES Y SISTEMAS UNIDAD 1: SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS - LABORATORIO GENERACIÓN DE SEÑALES CON MATLAB IMPULSO UNITARIO %Intervalo de tiempo para el que se va a realizar la gráfica. t=-5:0.1:5; d=zeros(1,101); %Cantidad de puntos en el intervalo de tiempo. d(51)=1; %Punto en el que se producir el impulse. plot(t,d) %Comando para realizar la gráfica. axis([ ]); % intervalos de los ejes. grid % colocar grilla a la gráfica. %Discreto stem(t,d) %Comando para discretizar la gráfica.

29 ESCALON UNITARIO t=-5:0.1:5; %Intervalo de tiempo para la gráfica. %Cantidad de puntos del intervalo. u=[zeros(1,51),ones(1,50)]; plot(t,u) %Comando para realizar la gráfica. axis([ ]); %Comando los intervalos de los ejes. grid %Comando para colocar grilla a la gráfica. stem(t,u) %Comando para discretizar la gráfica. ESCALON CORRIDO EN (T-2) t=-5:0.1:5; %Intervalo de tiempo para la gráfica. i=find(t==2.0); % encontrar el punto en que el tiempo es 2. l=length(t); % tamaño del vector. %Cantidad de puntos del intervalo

30 um2=[zeros(1,i),ones(1,(l-i))];. plot(t,um2) %Comando para realizar la gráfica. axis([ ]); %Comando para acotar los intervalos de los ejes. grid %Comando para colocar grilla stem(t,um2) %Comando para discretizar la gráfica. GENERACIÓN DE PULSOS %Generar el pulso t=-5:0.1:5; %Vector de tiempo i=find(t==-2.0); % encontrar el punto en que el tiempo es -2. e=find(t==2.0); % encontrar el punto en que el tiempo es 2. l=length(t); % tamaño del vector tiempo %Cantidad de puntos del intervalo. u1=[zeros(1,e),ones(1,(l-e))]; u2=[zeros(1,i),ones(1,(l-i))]; u=u2-u1; %Resta de las dos señales expresadas anteriormente.

31 plot(t,u) %Comando para realizar la gráfica. axis([ ]); % los intervalos de los ejes. grid % colocar grilla a la gráfica. stem(t,u) %Comando para discretizar la gráfica. SEÑALES SENOIDALES A=4; %amplitud de la señal fi=30; %Fase en grados de la señal fi=fi*pi/180; %Fase en radianes de la señal T=0.1; %Periodo f=1/t; %Frecuencia t=-0.5:0.001:0.5; % Vector de tiempo x=a*sin(2*pi*f*t+fi); %Señal seno plot(t,x) % realizar la gráfica. grid % colocar grilla a la gráfica.

32 SEÑAL CUADRADA PERIODICA A=2; %amplitud de la señal f=5; %Frecuencia t=0:0.001:1; % Vector de tiempo w=2*pi*f; %Frecuencia angular x=a*square(w*t); %Función señal cuadrada plot(t,x) %Comando para realizar la gráfica. axis([ ]); % intervalos de los ejes. grid %Comando para colocar grilla SEÑAL DIENTE DE SIERRA PERIODICA A=2; f=5; t=0:0.001:1; %amplitud de la señal %Frecuencia % Vector de tiempo

33 w=2*pi*f; %Frecuencia angular x=a*sawtooth(w*t); %Función señal diente de sierra plot(t,x) %Comando para realizar la gráfica. axis([ ]); %Comando para acotar los intervalos grid %Comando para colocar grilla