Sistemas continuos. Francisco Carlos Calderón PUJ 2010

Transcripción

1 Sistemas continuos Francisco Carlos Calderón PUJ 2010

2 Objetivos Definir las propiedades básicas de los sistemas continuos Analizar la respuesta en el tiempo de un SLIT continuo

3 Definición y clasificación Puede verse un sistema como un proceso que transforma señales de entrada en otras a la salida, mediante la interconexión de componentes, dispositivos o subsistemas.

4 Sistemas en tiempo continuo Sistemas en tiempo discreto x ( t ) ( t ) H y x [n] H y[n ] x(t) H y(t)

5 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Sistemas lineales y no lineales: Un sistema lineal es aquel que cumple la propiedad de superposición. 1. La respuesta a x 2 (t)+ x 1 (t) es y 1 (t)+ y 2 (t) 2. La respuesta a ax1 ( t) es ay1( t) Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u Homogeneidad

6 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Si el sistema es lineal, una entrada que sea cero todo el tiempo resulta en una salida que sea cero todo el tiempo. 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( ) ( = = t y t x t y t x

7 Sistemas lineales deben cumplir x 1 ( t ) H a x 2 ( t ) H b + ay 1 t by 2 t Que sean iguales x 1 ( t ) a + x 3 ( t ) H y 3 ( t ) x 2 ( t ) b

8 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Sistemas con y sin memoria Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento. Ej y( t ) = x( t 2) + x( 2 t ) Si entrada es x ( t 0 ) la salida es: x( t0 2) + x( 2 t0 ). De donde se aprecia que la salida depende de entradas a tiempos diferentes de t 0. Por lo tanto el sistema es Con Memoria.

9 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Invertibilidad y sistemas inversos Sistema Invertible: Si un sistema es invertible debe existir un sistema inverso, tal que al interconectarlo en cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del primer sistema. x( t ) y( t ) x( t )

10 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Causalidad Sistema Causal: Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo). CAUSAL: ( t ) x( t ) y = NO-CAUSAL: y ( t ) = x( t )

11 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Estabilidad Sistema Estable: Es aquel que a entradas acotadas produce salidas que no divergen. ESTABLE: sen(t). NO-ESTABLE: 1/t,

12 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo Invariante en el tiempo Sistema Invariante en el tiempo: Si el comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.

13 Sistemas Invariantes deben cumplir x ( t ) y 1 1 ( t ) t y ( t ) H 0 1 t o Que sean iguales x 1 ( t ) t 0 x 2 ( t ) H y 2 ( t )

14 Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos y discretos Este tipo de sistemas son conocidos como SLIT o LTI(ingles). Muchos fenómenos físicos pueden modelarse mediante estos sistemas. El análisis matemático del comportamiento de estos sistemas puede desarrollarse a través de procedimientos directos.

15 SLIT discretos. Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad: x [ n] δ [ n a] = x[ a] δ [ n a] Dada una señal discreta x[n] x x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados [ n] =... + x[ 1] δ [ n + 1] + x[ 0] δ [ n] + x[ 1] δ [ n 1]... x [ n] = x[ k ] δ [ n k ] k =

16 Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos H δ [ n k] h k [n] x[k] + y[n] H x[ n] = x[ k ] δ [ n k ] y[ n] = x[ k ] h k [ n] k = k =

17 Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos El sistema además de ser lineal también es invariante en el tiempo entonces: δ [ n k] H h k [n] h k x 1[ n ] t x [ n 2 ] 0 H y [ n] 2 [ n] = h0[ n k] = x 1[ n ] y [ n 1 ] t y1[ n k] H 0

18 Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos y [ n] = x[ k ] h k [ n] k = [ n] = x[ k ] h [ n k ] y 0 k = Este resultado se conoce como la suma de convolución suma de superposición También representada como: y [ n] = x[ n] h[ n] Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso unitario.

19 Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario. x x ( t ) = x( k ) δ ( t k ) + k = ( t ) = lím x( k ) δ ( t k ) x + 0 k = + ( t ) x( τ ) δ ( t τ ) = dτ La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso δ ( t τ ) H h( t, τ ) Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que: h( t, τ ) = h( t τ ) h k [ n] = h0[ n k]

20 Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos y t = y t = x h t, d x h t d Este resultado se conoce como la integral de convolución También representada como: y( t) = x( t) h( t) Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso.

21 Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Propiedad distributiva [ n] = x[ n] * h1 [ n] + x[ n] * h [ n] [ n] = x[ n] * ( h [ n] + h [ n] ) y 2 y 1 2

22 Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Propiedad asociativa [ n] = ( x[ n] * h [ n] ) h [ n] y 1 * 2 [ n] = x[ n] * ( h [ n] h [ n] ) y 1 * 2

23 Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Propiedad conmutativa [ n] = ( x[ n] h[ n] ) y [ n] = ( h[ n] * x[ n] ) y * [ n] = ( x[ n] * h1 [ n] ) * h [ n] [ n] = ( x[ n] * h [ n] ) h [ n] y 2 y 2 * 1

24 Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo SLIT con y sin memoria. Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento. En el caso discreto esto se cumple si: h[ n] = 0 para n 0 Por lo que la suma de convolución se reduce a: y [ n] = Kx[ n] Donde K= h[0]

25 Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Causalidad para los SLIT Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo). La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basándose en la definición debe ser de la forma: h [ 0 ] = 0 para n < 0 que a su vez implica: y [ n] = x[ k ] h [ n k ] k = 0 0

26 Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Invertibilidad de los SLIT Si el sistema es invertible, posee un sistema inverso, de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple que: Figura 38. SLIT invertible y su sistema inverso Es decir, para el caso continuo: h 1 ( t ) h ( t ) = δ ( t ) 2 De forma análoga se puede concluir una expresión para el caso discreto.

27 Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo Estabilidad para los SLIT Aquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas en amplitud Puede encontrarse ver Oppenheim pag 113 que el sistema es estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente sumable + k = h [ k ] <

28 Referencias Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 2 Señales y sistemas,oppenheim, alan cap 1 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ