ECONOMETRÍA II: ECONOMETRÍA DE SERIES TEMPORALES. Modelos ARMA

Transcripción

1 ECONOMETRÍA II: ECONOMETRÍA DE SERIES TEMPORALES Modelos ARMA

2 Definición: Ruido blanco. Se dice que el proceso {ɛ t } es ruido blanco ( white noise ) si: E(ɛ t ) = 0 Var(ɛ t ) = E(ɛ 2 t ) = σ 2 Para todo i j : Cov(ɛ i ɛ j ) = E(ɛ i ɛ j ) = 0 Notación: ɛ t WN Ruido blanco Gaussiano: Para todo t, ɛ t N(0, σ 2 ). Notación: ɛ t WN(0, σ 2 )

3 Definición: Modelo ARMA. Un modelo autoregresivo-media móvil ( autoregressive moving average ARMA) tiene la forma: y t = φ 0 + p φ i y t i + i=1 donde el proceso {ɛ t } es ruido blanco. q θ j ɛ t j, Este modelo se denota como ARMA(p, q), y normalmente se normaliza θ 0 a 1. Nota: Suponemos que todas las raíces características están dentro del círculo de unidad. Si una o varias raíces características estan encima o fuera del circulo de unidad, el modelo se llama autoregresivo-integrado-media móvil ( autoregressive integrated moving average ARIMA(p, d, q), donde d es el orden de integración) j=0

4 Ejemplos de modelos ARMA: ARMA(0,0): ARMA(0,1): ARMA(1,0): y t = φ 0 + ɛ t y t = φ 0 + ɛ t + θ 1 ɛ t 1 y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + ɛ t ARMA(1,0) (paseo aleatorio) : y t = y t 1 + ɛ t ARMA(1,1): y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + ɛ t + θ 1 ɛ t 1

5 Ejemplos de modelos ARMA (cont.): Modelos ARMA(p,0) con θ 0 = 1: p y t = φ 0 + φ i y t i + ɛ t i=1 también se denotan modelos AR(p). Modelos ARMA(0,q): q y t = φ 0 + θ j ɛ t j j=0 también se denotan modelos MA(q)

6 Modelos MA(q): MA(1): y t = φ 0 + ɛ t + θ 1 ɛ t 1, donde {ɛ t } es ruido blanco µ = E(y t ) = φ 0 γ 0 = Var(y t ) = (1 + θ 2 1 )σ2 γ k = Cov(y t, y t k ) = Es el modelo MA(1) estacionario? Si Qué es Corr(y t, y t k )? ρ k = Corr(y t, y t k ) = γ k γ 0 { θ1 σ 2 para k = 1 0 para k > 1

7 Modelos MA(q) (cont.): MA(q): y t = φ 0 + q j=0 θ qɛ t q, donde {ɛ t } es ruido blanco y donde θ 0 = 1 µ = φ 0 γ 0 = (1 + θ θ2 q)σ 2 { (θk + θ γ k = k+1 θ θ q θ q 1 )σ 2 para k = 1,..., q 0 para k > q Es el modelo MA(q) estacionario? Si Qué es Corr(y t, y t k )? ρ k = γ k γ 0

8 Modelos MA(q) (cont.): MA( ): y t = φ 0 + j=0 ψ jɛ t j, donde {ɛ t } es ruido blanco y donde ψ 0 = 1 Notación: MA( ) Como podemos saber si MA( ) es un proceso estacionario y bien definido? Una de las condiciones siguientes es suficiente: a) j=0 ψ2 j < b) j=0 ψ j <

9 Modelos MA(q) (cont.): Entonces, por el MA( ) tenemos que: µ = φ 0 γ 0 = lim T (ψ ψ ψ2 T )σ2 γ k = σ 2 (ψ k ψ 0 + ψ k+1 ψ 1 + ψ k+2 ψ 2 + )

10 Modelos AR(p): AR(1): y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + ɛ t, donde {ɛ t } es ruido blanco Es el modelo AR(1) estacionario ( estable )? Si φ 1 < 1 si Si φ 1 1 no Por qué φ 1 < 1 AR(1) estacionario?

11 Modelos AR(p) (cont.): Porque eso implica que el modelo AR(1) se puede escribir como un modelo MA( ): y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + ɛ t = φ 0 + φ 1 (φ 0 + φ 1 y t 2 + ɛ t 1 ) + ɛ t = φ 0 + φ 1 [φ 0 + φ 1 (φ 0 + φ 1 y t 3 + ɛ t 2 ) +ɛ t 1 ] + ɛ t. = (φ 0 + ɛ t ) + φ 1 (φ 0 + ɛ t 1 ) + φ 2 1 (φ 0 + ɛ t 2 ) + = φ 0 i=0 φi 1 + ɛ t + φ 1 ɛ t 1 + φ 2 1 ɛ t 2 + φ 3 1 ɛ t 3 + = φ 0 1 φ 1 + ɛ t + φ 1 ɛ t 1 + φ 2 1 ɛ t 2 + φ 3 1 ɛ t 3 + = MA( )

12 Modelos AR(p) (cont.): Recuerda: j=0 ψ j < MA(q) estacionario, y en nuestro caso (dado que φ 1 < 1) tenemos j=0 ψ j = j=0 φj 1 < De todo esto se deduce (cuando φ 1 < 1): µ = φ 0 1 φ 1 γ 0 = σ2 (1 φ 2 1 ) γ k = φk 1 σ 2 1 φ 2 1 ρ k = γ k γ 0 = φ k 1

13 Modelos AR(p) (cont.): El modelo AR(2) se define como: y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + φ 2 y t 2 + ɛ t (1) Aplicando el operador de retardo el AR(2) se puede escribir como (1 φ 1 L φ 2 L 2 )y t = φ 0 + ɛ t y (1) es estacionario si las p raíces características λ 1 y λ 2 están dentro del círculo de unidad (es decir, λ 1, λ 2 < 1) Cómo calculamos las 2 raíces características λ 1, λ 2 de un AR(2)? (1 φ 1 z φ 2 z 2 ) = 0 (λ 2 φ 1 λ φ 2 ) = 0 donde λ = 1 z

14 Modelos AR(p) (cont.): Nota: A veces se utiliza una terminología diferente que puede confundir: raíces del polinomo 1 φ 1 z φ 2 z 2 está fuera del círculo de unidad Las raíces características están dentro del circulo de unidad Si todas las raíces características están dentro del círculo de unidad, entonces podemos escribir y finalmente ψ(l) = (1 φ 1 L φ 2 L 2 ) 1 = ψ 0 + ψ 1 L + ψ 2 L 2 + (2) y t = ψ(l)φ 0 + ψ(l)ɛ t = MA( ) (3)

15 Modelos AR(p) (cont.): Suponiendo que las 2 raíces características están dentro del círculo de unidad, entonces tenemos que: µ = φ 0 1 φ 1 φ 2 γ 0 = φ 1 γ 1 + φ 2 γ 2 + σ 2 γ k = φ 1 γ k 1 + φ 2 γ k 2 ρ k = γ k γ 0

16 Modelos AR(p) (cont.): El modelo AR(p) se define como: y t = φ 0 + p φ 1 y t i + ɛ t i=1 Suponiendo que todas las raíces características están dentro del círculo de unidad, entonces tenemos que: µ = φ 0 1 φ 1 φ p γ 0 = φ 1 γ φ p γ p + σ 2 γ k = φ k γ k φ p γ k p ρ k = γ k γ 0 Nota: Las p + 1 ecuaciones definidas por ρ 0,..., ρ p se llaman las ecuaciones de Yule-Walker

17 ARMA(p, q), representación de media móvil MA( ): Un modelo ARMA(p, q) estacionario/estable siempre tiene una representación de media móvil MA( ): se puede escribir y t = φ 0 + p i=1 φ iy t i + q j=0 θ jɛ t j (1 φ 1 L φ p L p )y t = φ 0 + (1 + θ 1 L + + θ q L q )ɛ t, y si el ARMA(p, q) es estable entonces y t = donde ψ(l) = 1+θ 1L+ +θ ql q 1 φ 1 L φ pl p φ 0 1 φ 1 φ p + ψ(l)ɛ t = MA( )

18 Teorema de Wold (1938): Hemos visto que procesos ARMA(p, q) estacionarios se pueden escribir como un modelo MA( ), es decir, como y t = φ 0 + j=0 ψ jɛ t j donde ψ 0 = 1, si j=0 ψ j < El teorema de Wold establece que esto es cierto para todo proceso estacionario

19 Teorema de Wold (1938) (cont.): Teorema (Wold): Cualquier proceso estacionario {y t } con media cero se puede representar de la forma y t = ψ j ɛ t j + κ t (4) j=0 donde ψ 0 = 1 y j=0 ψ2 j <. El proceso {ɛ t } es ruido blanco y representa el error resultante de predecir y t con una función lineal de los retardos de y t : ɛ t = y t E(y t y t 1, y t 2,... ) El valor de κ t es incorrelado con ɛ t j para cualquier j, pero se puede predecir κ t arbitrariamente bien con una función lineal de los valores pasados de y t : κ t = E(κ t y t 1, y t 2,... )

20 Teorema de Wold (1938) (cont.): Nota 1: La parte j=0 ψ jɛ t j se llama el componente linealmente indeterminístico Nota 2: La parte κ t se llama el componente linealmente determinístico Problema: Estimar la representación de Wold de una serie requiere la estimación de un número infinito de parámetros Tenemos solamente un número finito de observaciones Solución: Hacer supuestos adicionales sobre la naturaleza de ψ 1, ψ 2,...

21 Teorema de Wold (1938) (cont.): Estrategia 1: Aproximar la suma infinita con una suma finita: 1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q 1 φ 1 L φ 2 L 2 φ p L p = ψ j L j j=0 r ψ j L j j=0 Entonces se obtiene (en general) una buena aproximación con pocos parámetros Estrategia 2: Hamilton (1994, capítulo 6)

22 Invertibilidad de MA(q): Recordamos: Si un modelo AR(p) es estable, entonces podemos escribirlo como un MA( ) Si un modelo MA(q) es invertible, entonces podemos escribirlo como un AR( ) Definición: Invertibilidad de MA(q). Un modelo MA(q) se puede escribir como y t φ 0 = (1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q )ɛ t. Si el MA(q) se puede escribir como un modelo AR( ) utilizando la inversa del (1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q ), entonces se dice que MA(q) es invertible. Condición suficiente para la invertibilidad: Que todas las raíces del polinomo (1 + θ 1 z + θ 2 z θ q z q ) = 0 están fuera del círculo de unidad

23 Invertibilidad de MA(q) (cont.): MA(q): y t = φ 0 + q j=0 ɛ t j y t φ 0 = (1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q )ɛ t Si todas las raíces están fuera del circulo de unidad tenemos que (1 + η 1 L + η 2 L 2 + ) = (1 + θ 1 L + θ 2 L θ q L q ) 1 y entonces (1 + η 1 L + η 2 L 2 + )(y t φ 0 ) = ɛ t es un AR( ) representación del modelo MA(q).

24 Causalidad: Definición: Causalidad. Un proceso {y t } es causal, o una función causal de {ɛ t }, si existen constantes ψ j así que i) ii) j=0 ψ j < y t = j=0 ψ jɛ t j para todo t Ejemplos: Modelos AR(1) con φ 1 < 1: y t = φ 1 y t 1 + ɛ t y t = φ 0 + φ 1 y t 1 + ɛ t

25 q-correlación: Definición: q-correlación. Un proceso {y t } estacionario es q-correlacionado si Cov(y t, y t k ) = 0 para todo k > q, y si Cov(y t, y t k ) 0 para todo k q. Recuerda: Cov(y t, y t k ) = 0 Corr(y t, y t k ) = 0 y Cov(y t, y t k ) 0 Corr(y t, y t k ) 0 Ejemplo: Modelos MA(q)

26 Referencias: Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Wold, H. (1938). A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Uppsala, Sweden: Almqvist and Wiksell.