Econometría de series de tiempo aplicada a macroeconomía y finanzas

Transcripción

1 Econometría de series de tiempo aplicada a macroeconomía y finanzas Series de Tiempo Estacionarias (Univariadas) Carlos Capistrán Carmona ITAM

2 Serie de tiempo Una serie de tiempo es una sequencia de valores usualmente registrados en intervalos de tiempo equidistantes. x t t = 1, 2,..., T. Ejemplos: Número de nacimientos por año en México. Producción semanal de autos en VW México. Precios diarios del cierre de alguna acción (e.g., TELMEX). Producción industrial mensual en México. Inflación mensual en México.

3 Serie de tiempo Ejemplo: Inflación anual en México Inflación Histórica Cambio % en Deflactor del PIB Años

4 Procesos estocásticos base Proceso iid (iid) ε t es un proceso independiente e idénticamente distribuido (iid) si: ε t, ε s son independientes pero tienen la misma distribución. Ejemplo: x t = ε t, ε t N(0, 1), t = 1,..., 100.

5 Proceso iid Ejemplo: x t = ε t, ε t N(0, 1), t = 1,..., x

6 Procesos estocásticos base Martingala en diferencias (md) La secuencia M es llamada una martingala si: E [ M t M t j, j = 1, 2,..., t ] = M t 1. Una Martingala en diferencias se define como: x t = M t M t 1. Propiedades: E [ x t M t j, j 1 ] = 0, cov (x t, x t k ) = E [ x t x t k M t j, j 1 ] = 0. Nótese que no es independiente, ya que para eso se necesita: E [ (g(ξ t E [g (ξ t )]) h(ξ t j ) ] = 0.

7 Procesos estocásticos base Ruido Blanco ε t es un proceso de ruido blanco si: corr (ε t, ε s ) = 0 t = s E [ε t ] es constante para todo t (usualmente 0). Un proceso de ruido blanco básicamente no tiene estructura temporal (lineal). Las principales propiedades de una serie de ruido blanco con media cero son: No hay correlación entre términos Valores pasados no ayudan a pronosticar valores futuros Si se utiliza un criterio de mínimos cuadrados, se puede mostrar que el mejor pronóstico de todos los valores futuros de un proceso de ruido blanco es simplemente la media de la serie. Nótese que: ruido blanco Martingala en diferencias iid.

8 Estacionariedad y ergodicidad Primeros dos momentos de una serie de tiempo: E (x t ) = µ t, cov(x t, x s ) = λ t,s. Cómo se estiman si en cada momento del tiempo sólo tenemos una realización de cada variable aleatoria? Inflación Histórica Cambio % en Deflactor del PIB

9 Estacionariedad y ergodicidad Estacionariedad Se dice que un proceso estocástico x t es estacionario de segundo orden (o estacionario en covarianzas ) si sus primeros dos momentos no dependen del tiempo: E [x t ] = µ, Var [x t ] = σ 2, Cov [x t, x t τ ] = λ τ. Nótese que la covarianzas sólo dependen de la distancia y no del tiempo. Se dice que un proceso estocástico x t es estacionario en sentido estricto si la distribución conjunta de (x t,..., x t k ) es independiente de t para todo k (extremadamente difícil de probar).

10 Estacionariedad y ergodicidad Ergodicidad La ergodicidad requiere que valores del proceso suficientemente separados en el tiempo casi no estén correlacionados. Una definición, aunque no muy estricta, es: una serie de tiempo estacionaria es ergódica si cov [x t, x t τ ] 0 cuando τ. La ergodicidad permite que al promediar una serie en el tiempo, uno este continuamente añadiendo información nueva y relevante al promedio. Desafortunadamente no es posible probar ergodicidad, simplemente se asume.

11 Estacionariedad y ergodicidad Si una serie de tiempo cumple con los supuestos de estacionariedad y ergodicidad, entonces es posible formar buenos estimadores de las cantidades de interés promediando a través del tiempo. Un estimador consistente de la media es la media muestral: µ = 1 T T x t. t=1 Un estimador consistente de la autocovarianza es la autocovarianza muestral: λ τ = 1 T T (x t µ) (x t τ µ). t=1 Un estimador consistente de la autocorrelación es la autocorrelación muestral: ρ τ = λ τ λ 0.

12 Operadores y filtros Operador rezago: Operador diferencia: j x t = L j x t = x t j. ( 1 L j) x t = x t x t j. Un filtro cambia las propiedades dinámicas de una serie de tiempo.

13 Operadores y filtros Ejemplos Ejemplos de filtros: x t = y t + 3y t 1 + 2y t 2, = (1 + 3L + 2L 2 )y t. x t = y t y t 1, x t = (1 L)y t. Un ejemplo de la aplicación del operador rezago: x t = ax t 1 + ε t, (1 al)x t = ε t, x t = ε t (1 al), si a < 1 entonces : x t = j=0 a j L j ε t = j=0 a j ε t j.

14 Modelos Autorregresivos (AR) AR(p) Autorregresivo de orden p, AR(p): x t = p φ j x t j + ε t, j=1 ε t : ruido blanco, E [ε t ] = µ, var (ε t ) = σ 2 también puede escribirse como: φ p (L) x t = ε t, donde φ p (L) = 1 p j=1 φ j L j.

15 Modelos Autorregresivos (AR) Condición de estacionariedad La condición para que un AR(p) sea estacionario es que las raíces de la ecuación característica 1 φ 1 z φ 2 z 2... ı φ p z p = 0, estén fuera del círculo unitario (i.e. que el inverso de las raíces estén dentro del círculo unitario, que es lo que usa Eviews). Lo que esta condición garantiza es que el proceso pueda escribirse como φ p (L) x t = ε t, x t = φ p (L) 1 ε t, con φ p (L) 1 convergiendo a cero, lo que implica que las autocorrelaciones decaerán conforme aumenta la longitud del rezago.

16 Modelos Autorregresivos (AR) AR(1) Algunos aspectos importantes de un AR(1): x t = φx t 1 + ε t empieza en t = 0, x t = t φ j ε t j + x 0 φ t. j=0 asumiendo que x 0 = 0, entonces: { [ ] t 1 φ t+1 E(x t ) = µ φ j µ = 1 φ si φ = 1 µ (t + 1) si φ = 1 j=0 [ var (x t ) = E (x t E (x t )) 2] = E { = σ 2 t φ 2j = j=0 σ 2 [ 1 φ 2(t+1) ( t φ j ( ε t j µ )) 2 j=0 1 φ 2 ] si φ = 1 σ 2 (t + 1) si φ = 1

17 Modelos Autorregresivos (AR) AR(1) Un modelo AR(1): x t = φx t 1 + ε t es estacionario si φ < 1. Porqué? En este caso, la media y la varianza están dadas por: E(x t ) = var(x t ) = µ 1 φ σ 2 1 φ 2

18 Modelos Autorregresivos (AR) AR(1) La autocovarianza entre x t y x t 1 está dada por: cov(x t, x t 1 ) = E [(x t E [x t ]) (x t 1 E [x t 1 ])] = E [x t x t 1 ] = E [(φx t 1 + ε t ) x t 1 ] = φe [ x 2 t 1] + E [εt x t 1 ] = φe [ x 2 ] t 1 = φvar(x t 1 ). El segundo término desaparece porque x t = t j=0 φj ε t 1 j y por lo [ ] [ ] tanto E ε t t 1 j=0 φj ε t 1 j = E t 1 j=0 φj ε t ε t 1 j = 0. Por lo tanto la autocorrelación está dada por: ρ 1 = corr(x t, x t 1 ) = cov(x t, x t 1 ) var(x t ) = φvar(x t 1) var(x t ) si var(x t ) = var(x t 1 ) que ocurre cuando φ < 1. En general, la función de autocorrelación está dada por: ρ k = corr(x t, x t k ) = φ k. = φ,

19 Modelos Autorregresivos (AR) Ejemplo: x t = 0.9x t 1 + ε t, con x 0 = 0, ε t N(0, 1), t = 1,..., x; AR(1), phi =

20 Modelos Autorregresivos (AR) Correlograma y correlograma parcial ACF for x; AR(1), phi = /T^ lag PACF for x; AR(1), phi = /T^ lag

21 Promedios Móviles (MA) MA(q) Promedio móvil de orden q, MA(q): x t = también puede escribirse como: q θ j ε t j θ 0 = 1. j=0 x t = θ q (L)ε t, donde θ q (L) = 1 + q j=1 θ j L j.

22 Promedios Móviles (MA) MA(1) Algunos aspectos de un MA(1) : de donde se obtiene: x t = ε t + θ 1 ε t 1, E [x t ] = 0, var(x t ) = E [(x t E [x t ]) 2] = E [(x t ) 2] = E [(ε t + θ 1 ε t 1 ) 2] = E [ ε 2 t + θ 1 ε t ε t 1 + θ1 2 ] ε2 t 1 = ( 1 + θ 2 1) σ 2.

23 Promedios Móviles (MA) MA(1) La autocovarianza de primer orden está dada por: cov(x t, x t 1 ) = E [(x t E [x t ]) (x t 1 E [x t 1 ])] = E [x t x t 1 ] = E [(ε t + θ 1 ε t 1 ) (ε t 1 + θ 1 ε t 2 )] = E [ ε t ε t 1 + θ 1 ε t ε t 2 + θ 1 ε 2 t 1 + θ2 1 ε ] t 1ε t 2 = E [ θ 1 ε 2 ] t 1 = θ 1 σ 2. Por lo que la autocorrelación de primer orden es: corr(x t, x t 1 ) = cov(x t, x t 1 ) θ = 1 σ ( 2 ) var(x t ) 1 + θ 2 = θ ( 1 ). 1 σ θ 2 1 nótese que es posible estimar ρ 1 = corr(x t, x t 1 ), pero entonces obtendríamos dos estimadores de θ 1, uno siempre dentro de la region [ 1, 1], el otro siempre fuera de esa region.

24 Promedios Móviles (MA) MA(1) La autocovarianza de segundo orden es: cov(x t, x t 2 ) = E [x t x t 2 ] = E [(ε t + θ 1 ε t 1 ) (ε t 2 + θ 1 ε t 3 )] = E [ ε t ε t 2 + θ 1 ε t ε t 3 + θ 1 ε t 1 ε t 2 + θ 2 1 ε t 1ε t 3 ] = 0. de donde se observa que todas las autocovarianzas (y por lo tanto autocorrelaciones) mayores a q (el orden del MA) son cero. Los procesos MA siempre son estacionarios.

25 Promedios Móviles (MA) Ejemplo: x t = ε t + 0.9ε t 1, con ε t N(0, 1), t = 1,..., x; MA(1), theta =

26 Promedios Móviles (MA) Correlograma y correlagrama parcial ACF for x; MA(1), theta = /T^ lag PACF for x; MA(1), theta = /T^ lag

27 Modelos Autorregresivos y de Promedios Móviles (ARMA) Proceso autorregresivo y de promedios móviles de orden p,q, ARMA(p, q): φ p (L)x t = θ q (L)ε t. Un ejemplo es el proceso ARMA(1, 1): x t = φx t 1 + ε t + θ 1 ε t 1.

28 Modelos Autorregresivos y de Promedios Móviles (ARMA) Los procesos mixtos pueden generarse agregando otros modelos. Por ejemplo: x t AR(m), y t AR(n), x t y t φ 1 (L)x t = ε t φ 2 (L)y t = η t ε t η t, con media cero z t = x t + y t = ε t φ 1 (L) + η t φ 2 (L) = 1 φ 1 (L)φ 2 (L) [φ 2(L)ε t + φ 1 (L)η t ] φ 1 (L)φ 2 (L)z t = [φ 2 (L)ε t + φ 1 (L)η t ] z t ARMA(m + n, r), r = máx(m, n).

29 Metodología de Selección de Modelos Box-Jenkins Los procesos ARMA tienen firmas (ACF y PACF) que permiten identificarlos, sin embargo dichas firmas son demasiado parecidas o complejas, lo cual dificulta la selección de la especificación. Box y Jenkins propusieron una técnica estadística para la selección de un modelo ARMA que se ajuste a los datos, la cual consiste de las siguientes etapas 1 Identificación 2 Estimación 3 Diagnóstico 4 Pronóstico

30 Metodología Box-Jenkins (Identificación) Selección del orden de un ARMA(p,q) Para seleccionar el orden del proceso, es decir, p y q, se utilizan los llamados criterios de información. Los dos más populares son el Akaike (1974) y el Bayesiano de Schwarz (1978): ( ) AIC = ln ˆσ p,q 2 ( BIC = ln ˆσ p,q 2 2(p + q) +, T ) + (p + q) ln(t), T donde T es el tamaño de la muestra. Se escogen los valores de p y q que minimizan el criterio de información seleccionado. En caso de que no sea posible discriminar entre modelos, es posible quedarnos con los modelos relevantes y tratar de combinarlos de alguna forma (modelado denso: Thick modeling ).

31 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un ARMA(p,q) Bajo el supuesto de que se conoce el orden p y q del proceso ARMA, es posible hacer uso distintos de métodos de estimación de parámetros los cuales son puestos en práctica con la ayuda de programas computacionales. Si el orden del proceso ARMA no es conocido, éste puede ser estimado con la ayuda de los criterios de información. Para dicho propósito se estiman procesos ARMA de manera recursiva con un orden creciente tanto en p como en q ( p = 1,..., p max y q = 1,..., q max ). Finalmente se elige la combinación (p, q ) que minimiza el criterio seleccionado.

32 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un AR(p) Se mostrará la estimación para el caso de un proceso AR(p), para el cual sus parámetros pueden ser estimados mediante tres métodos: 1 Máxima Verosimilitud 2 Método de Momentos (Ecuaciones Yule-Walker) 3 Mínimos Cuadrados

33 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un AR(p) Máxima Verosimilitud Si conocemos la distribución del ruido blanco que genera el proceso AR(p), los parámetros pueden ser estimados usando el método de máxima verosimilitud Tomando x 1 como dada, la verosimilitud condicional para las n 1 observaciones restantes es L = p (x 2, x 3,..., x n x 1 ) = p (x 2 x 1 ) p (x 3 x 1, x 2 ) (x n x 1, x 2,..., x n 1 ) Para obtener la verosimilitud no condicional habrá que calcular L = p (x 1 ) L

34 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un AR(1)- Máxima Verosimilitud Bajo el supuesto de un proceso AR(1) con ruido blanco gaussiano, i.e. x t = φx t 1 + ε t E[ε t ] = µ var[ε t ] = σ 2 las distribuciones son: t = 1 t = 2 ( µ x 1 N 1 φ, σ 2 ) 1 φ 2 x 2 x 1 N ( µ + φx 1, σ 2) t > 1 x t x t 1,..., x 1 N ( µ + φx t 1, σ 2)

35 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un AR(1)- Máxima Verosimilitud La función de Verosimilitud es ( ) 1 σ L = 2π 1 φ 2 exp { 1 φ2 2σ 2 { } 1 exp (x t φx t 1 ) 2 2πσ 2 T t=2 La log-verosimilitud es l = T 2 ln(2π) 1 2 ln ( σ 2 n 1 2 ln ( σ 2) T t=2 2σ 2 1 φ 2 ) 1 φ2 (x t φx t 1 ) 2 2σ 2 2σ 2 ( y 1 µ ) } 2 1 φ ( y 1 µ ) 2 1 φ la estimación de los parámetros se obtiene de maximizar ya sea analíticamente o mediante una optimización numérica.

36 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un AR(p) Método de Momentos - Ecuaciones Yule-Walker Las ecuaciones Yule-Walker son extraídas de la función de autocorrelación de un proceso AR(p), la cual tiene la siguiente forma: ρ j = { 1, para j=0; φ 1 ρ j 1 + φ 2 ρ j φ p ρ j p, para j=1,2,.... por lo tanto existen p parámetros distintos y hay p ecuaciones Yule-Walker. Se puede resolver este sistema reemplazando ρ j (correlación teórica) por ρ j (correlación muestral) y obtener estimadores de los parámetros φ i para i = 1, 2,..., p.

37 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un AR(p) Mínimos Cuadrados Se ajusta por MCO la siguiente especificación: x t = φ 1 x t 1 + φ 2 x t φ p x t p + u t si la ecuación satisface las condiciones de estacionariedad MCO arroja estimadores consistentes. Además T ( φ i φ i ) i = 1, 2,..., p se distribuye asintóticamente normal. El estimador de MCO es equivalente al estimador de MV cuando el vector de errores sigue una distribución normal multivariada.

38 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un MA(q) Se presenta la estimación de un proceso MA(q) por el método de Máxima Verosimilitud, dicho método no es el único disponible para estimarlo, pero cualquier método que pretenda hacerlo debe ser capaz de estimar una función no lineal en los parámetros (por ejemplo, mínimos cuadrados no lineales).

39 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un MA(1) Máxima Verosimilitud Se calcula la función de verosimilitud, para el caso x t = µ + ε t + θε t 1 ɛ t i.i.d. N(0, σ 2 ) las probabilidades condicionales son: t = 1 Bajo el supuesto ε 0 = 0 t = 2 x 1 (ε 0 = 0) N(µ, σ 2 ) ε 1 = x 1 µ x 2 (x 1, ε 0 = 0) N(µ θε 1, σ 2 ) ε 2 = x 2 µ θε 1

40 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un MA(1) Las probabilidades condicionales son en general de la forma p(y t ε t 1 ) t > 1 x t (x t 1,..., x 1, ε 0 = 0) N(µ θε t 1, σ 2 ) La función de verosimilitud es ε t = x t µ θε t 1 L = = T t=1 T t=1 p(y t ε t 1 ) } 1 { exp ε2 t 2πσ 2 2σ 2

41 Metodología Box-Jenkins (Estimación) Estimación de un MA(1) La log-verosimilitud es l = T 2 ln(2π) T 2 ln(σ2 ) 1 T 2σ 2 ε 2 t t=1 el último término de la expresión es una función no lineal de los parámetros por lo cual es necesario el uso de métodos iterativos para obtener los estimadores. La estimación de un proceso ARMA(p, q) comparte el reto de estimación presente en un proceso MA.

42 Metodología Box-Jenkins (Diagnóstico) Pruebas de Diagnóstico La inferencia estadística que se hace a partir de MCO o MV puede ser aplicada en el contexto de la estimación de un proceso ARMA siempre y cuando se cumplan las condiciones de estacionariedad. Los residuales del modelo proveen información importante, si éstos no aproximan un ruido blanco el modelo seleccionado no es satisfactorio y es necesario una nueva especificación.

43 Metodología Box-Jenkins (Pronóstico) Pronósticos por pasos Denotemos por p t+h,t al pronóstico realizado en t para el horizonte h. Se define el error de pronóstico como e t+h,t = x t+h p t+h,t. Notese que p t+h,t es conocido en el tiempo t, mientras que e t+h,t y x t+h lo son hasta el periodo t + h. El error cuadrático medio (ECM) de un pronóstico es ECM = H e 2 H t+h,t = (x t+h p t+h,t ) 2 h=1 h=1 el cual promedia el error de pronóstico de manera simétrica. Se puede demostrar que el mínimo en el ECM se alcanza cuando el pronóstico de la variable p t+h,t es la esperanza condicional de la variable x t+h, dada toda la información disponible en el tiempo t.

44 Metodología Box-Jenkins (Pronóstico) Pronósticos por pasos para un AR(1) Consideramos un proceso AR(1) de la forma x t = φx t 1 + ε t E[ε t ] = µ var[ε t ] = σ 2 Para calcular el pronóstico un paso hacia adelante del proceso partimos de saber que su verdadero valor es x t+1 = φx t + ε t+1 El pronóstico, es la esperanza condicional de x t+1 dada la información disponible en el tiempo t, cuando se minimiza el ECM esto es el error asociado es p t+1,t = E[x t+1 x t ] = φx t + µ e t+1,t = x t+1 E[x t+1 x t ] = x t+1 φx t µ = ε t+1 µ

45 Metodología Box-Jenkins (Pronóstico) Pronósticos por pasos para un AR(1) El pronóstico dos pasos hacia adelante es p t+2,t = E[x t+2 x t ] = φe[x t+1 x t ] + µ = φ 2 x t + (1 + φ)µ e t+2,t = x t+2 E[x t+2 x t ] = φx t+1 + ε t+2 φe[x t+1 x t ] µ = φe t+1,t + ε t+2 µ = ε t+2 + φε t+1 (1 + φ)µ El pronóstico h pasos hacia adelante es p t+h,t = E[x t+h x t ] = φ h x t + µ (1 + φ + φ φ h 1) e t+h,t = ε t+h + φε t+h 1 + φ 2 ε t+h φ h 1 ε t+1 ( 1 + φ + φ φ h 1) µ

46 Metodología Box-Jenkins (Pronóstico) Pronósticos por pasos para un AR(1) Las propiedades del error de pronóstico de horizonte h son E[e t+h,t ] = 0 Var[e t+h,t ] = ( 1 + φ 2 + φ φ 2(h 1)) σ 2 Conforme el horizonte de pronóstico crece p t+h,t µ 1 φ cuando h Var[e t+h,t ] σ2 1 φ 2 cuando h i.e. el valor pronósticado tiende a la media no condicional del proceso, y la varianza del error de pronóstico se incrementa hacia la varianza no condiconal del proceso.

47 Metodología Box-Jenkins (Pronóstico) Pronósticos por pasos para un AR(1) Al tener una distribución para el error de pronóstico es posible construir intervalos de confianza (IC) para los pronósticos h pasos hacia adelante. Para el caso de un pronóstico un paso hacia adelante e t+1,t N ( 0, (1 + φ)σ 2) por lo cual un IC al 95 % está dado por IC : µ + φx t ± 1,96 [ (1 + φ)σ 2] 1 2

48 Metodología Box-Jenkins (Pronóstico) Pronósticos por pasos para un MA(1) Consideremos un proceso MA(1) de la forma x t = µ + ε t + θε t 1 E[ε t ] = 0 var[ε t ] = σ 2 Para calcular el pronóstico un paso hacia adelante del proceso partimos de saber que su verdadero valor es x t+1 = µ + ε t+1 + θε t El pronóstico, cuando se minimiza el ECM, es p t+1,t = E[x t+1 x t ] = µ + θε t El valor de ε t depende de los valores previos de ε, para la implementación es común fijar ε 0 = 0, está aproximación pierde importancia conforme el tamaño de muestra crece. Calculamos el error asociado e t+1,t = x t+1 E[x t+1 x t ] = x t+1 µ θε t = ε t+1

49 Metodología Box-Jenkins (Pronóstico) Pronósticos por pasos para un MA(1) El pronóstico dos pasos hacia adelante es p t+2,t = E[x t+2 x t ] = µ e t+2,t = x t+2 E[x t+2 x t ] = x t+2 µ = ε t+2 + θε t+1 En un proceso MA(1) el pronóstico por pasos tiene el siguiente esquema p t+h,t = µ h 2 var(e t+h,t ) = (1 + θ 2 )σ 2 h 2 para dos periodos adelante, el pronóstico de un MA(1) es simplemente la media no condicional de la serie, y la varianza del error de pronóstico es la varianza de la serie.

50 Teorema de Wold x t univariada, estacionaria y con media cero. I t consiste del pasado y del presente de la serie: x t j, j 0. (Representación de Wold) Cualquier proceso estacionario {x t } puede representarse como: x t = c(l)ε t + v t = j=0 c j ε t j + v t, donde c 0 = 1 y j=0 c2 j <. El término ε t es ruido blanco y representa el error hecho al pronosticar x t basándose en una función lineal de rezagos de x t : ε t = x t P(x t I t 1 ). v t un proceso linealmente determinístico y no está correlacionado con ε t j j, mientras que j=0 c jε t j es llamado el componente lineálmente no determinístico (i.e. estocástico).

51 Procesos Determinísticos Son aquéllos que pueden ser pronosticados perfectamente, dado que conocemos la función que los genera. Por ejemplo, si la función generadora es: y t = a + bt, entonces, el valor de y t+1 puede ser pronosticado perfectamente, al igual que el de y t+k : y t+1 = a + b(t + 1), y t+k = a + b(t + k).

52 Descomposición Tradicional de una Serie de Tiempo Una serie de tiempo puede pensarse como compuesta de distintos elementos, algunos de ellos determinísticos y otros estocásticos: y t = tendencia + estacionalidad + resto, y t = t + s + ε, los dos primeros han sido considerados tradicionalmente como determinísticos, asi que la parte estocástica es a lo que llamamos resto. La tendecia puede ser lineal, o puede ser ajustada por un polinomio de más alto grado. También puede presentar cambios estructurales o ser estocástica. En caso de presentar tendencia, las series son no estacionarias.

53 Estacionalidad Existen varios métodos para tratar datos estacionales: En el caso en que sea verdaderamente repetitiva, podemos utilizar un filtro de promedios moviles: yt = 12 a j y t j a j = a j. j= 12 Incluir una variable dicotómica (dummy) para cada estación (y no incluir una constante). Esto asume que la estacionalidad no cambia en la muestra. Usar datos ajustados estacionalmente. El factor estacional se estima típicamente usando un filtro de dos lados para los datos de cada estación en años contiguos. De esta forma se pueden extraer una amplia gama de factores estacionales. Algunos filtros son el X-12 ARIMA o el TRAMO-SEATS. Sin embargo, el ajuste estacional también altera las auto-correlaciones de las series. Aplicar una diferencia estacional. Si s es el número de estaciones (4 para trimestres, 12 para meses), entonces: s y t = y t y t s. La serie s y t está libre de estacionalidad, sin embargo, esto también elimina la tendencia de largo plazo.

54 Bibliografía Box, George E.P., Gwilym M. Jenkins y Gregory C. Reinsel Time Series Analysis Forecasting and Control. 4a ed. New Jersey:Wiley. Brooks, Chris Introductory Econometrics for Finance. 2a ed. Cambridge:Cambridge University Press. Enders, Walter Applied Econometric Time Series. 3a ed. New Jersey:Wiley. Guerrero, Víctor Análisis Estadístico de Series de Tiempo Económicas. 2a ed. México:Thomson. Granger, Clive W.J. y Paul Newbold Forecasting Economic Time Series. 2a ed. San Diego:Academic Press. Hamilton, James D Times Series Analysis. Princeton University Press.