Controlabilidad y observabilidad

Transcripción

1 Controlabilidad p. 1/16 Controlabilidad y observabilidad En las próximas clases discutiremos dos conceptos fundamentales de la teoría de sistemas: controlabilidad y observabilidad. Esos dos conceptos describen la interacción de un sistema entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas (estados). Informalmente, la controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema se puede controlar actuando sobre sus entradas. La observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno de un sistema puede detectarse desde sus salidas. Empezaremos considerando la controlabilidad de varios sistemas.

2 Controlabilidad p. 2/16 Controlabilidad Considere el sistema LTI representado por la ecuación de estados de n estados, q entradas ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t); (1) donde A R n n y B R n q. La controlabilidad solo relaciona entradas y estados, así la ecuación de salida y(t) = Cx(t) + Du(t) es irrelevante. Controlabilidad: La ecuación de estado (1) o el par (A; B) se dice controlable si para todo estado inicial x() = x y todo estado final x 1, hay una entrada que transfiere x a x 1 en tiempo finito. En otro caso, (1) o (A; B) se dice no controlable Esta definición solo requiere que la entrada sea capaz de llevar el estado a cualquier lugar en el espacio de estados en tiempo finito sin importar qué trayectoria siga el estado.

3 Controlabilidad p. 3/16 Controlabilidad Ejemplo (Sistema no controlable). Considere el sistema eléctrico de la izquierda en la figura de abajo. Es un sistema de primer orden con variable de estado x, el voltaje en el capacitor. Si el capacitor no tiene carga inicial, x() =, entonces x(t) = t >, sin imporat la entrada aplicada. La entrada no tiene efecto sobre el voltaje en el capacitor. Este sistema, o más precisamente, la ecuación de estado que lo describe no es controlable. El sistema a la derecha tiene dos variables de estado. La entrada puede transferir x 1 o x 2 a cualquier valor deseado, pero no importa qué entrada se aplique, x 1 (t) siempre será igual a x 2 (t). Este sistema tampoco es controlable. u + 1Ω + x 1F 1Ω + y u + 1F + + 1F x 1 x 2 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω

4 Controlabilidad p. 4/16 Prueba de controlabilidad Teorema (Prueba de controlabilidad). Las siguientes declaraciones son equivalentes. 1. El par n dimensional (A; B) es controlable. 2. La matriz de controlabilidad C = [ B AB A 2 B... A n 1 B ], tiene rango n (rango fila completo). 3. La matriz n n, W c (t) = no es singular t >. t e Aτ BB T e AT τ dτ

5 Controlabilidad p. 5/16 Prueba de controlabilidad Ejemplo. La ecuación de espacio de estados linealizada del sistema de péndulo invertido a la derecha está dada por, ẏ ÿ θ = θ u u y M θ l m mg La matriz de controlabilidad es C = [ B AB A 2 B A 3 B ] = la cual tiene rango fila completo, luego el sistema es controlable. Si θ se desvía un poco de, sabemos que existe un control que lo devolverá al equilibrio en tiempo finito.

6 Controlabilidad p. 6/16 Controlabilidad & equivalencia algebraica La controlabilidad es una propiedad de un sistema que es invariante respecto a transformaciones de equivalencia algebraicas (cambio de coordenadas). Considere el par (A; B) con C = [ B AB... A n 1 B ] y un par algebraicamente equivalente (Ā; B), donde Ā = PAP 1, B = P B, y P es una matriz no singular. Entonces la matriz de controlabilidad del par (Ā; B) es C = [ B BĀ... Ā n 1 B] = [ PB PAP 1 PB... PA n 1 P 1 PB ] = P [ B AB... A n 1 B ] = PC Ya que P es no singular, rango(c) = rango( C)

7 Gramiano de controlabilidad La matriz W c (t) utilizada para chequear la controlabilidad de (A; B) se puede usar para construir una señal de control de lazo abierto u(t) que lleve al estado x desde cualquier x a cualquier x 1 en tiempo finito. W c (t) = Tal ley de control está dada por: t e Aτ BB T e AT τ dτ u(t) = B T e AT (t 1 t) W 1 c (t 1 )(e At 1 x x 1 ) Esta ley de control usa la menor cantidad de energía para transferir x desde x a x 1 en tiempo t 1. Esto significa que cualquier otro control ū(t) que realice la misma transferencia, t1 ū 2 dτ t1 u 2 dτ Por ejemplo, si x =, la mínima energía de control es, t1 u 2 dτ = W 1 2 c (t 1 )x 1 2 Controlabilidad p. 7/16

8 Controlabilidad p. 8/16 Gramiano de controlabilidad Si la matriz A is Hurwitz (todos sus autovalores tiene parte real negativa), entonces W c (t) converge para t, y se denota simplemente como W c, W c = e Aτ BB T e AT τ dτ; y se denomina Gramiano de controlabilidad de (A; B). Si deseamos llevar el estado x desde a x 1 en tiempo infinito, (t 1 ), se encuentra que la mínima energía de control requerida debería ser, u 2 dτ = W 1 2 c x 1 2 Entre más cercano a cero sea cualquier autovalor de W c, más cercano estará W c de la singularidad, y más grande será la energía mínima requerida para llevar el estado hasta x 1.

9 Controlabilidad p. 9/16 Gramiano de controlabilidad Para el caso de tiempo infinito, no se requiere resolver la integral de tiempo infinito para calcular W c. Si (A; B) es controlable, (C tiene rango fila completo), W c es la única solución de la matriz lineal de Lyapunov, AW c + W c A T = BB T la cual puede resolverse con MATLAB usando Wc = lyap(a,b*b ), o usando la función Wc = gram(sys, c ).

10 Controlabilidad p. 1/16 Controlabilidad y muestreo Como se dijo, la mayoría de los sistemas de control se implementan en forma digital, para lo cual es necesario un modelo de tiempo discreto del sistema. u[k] {A d, B d, C, D} y[k] ZOH {A, B, C, D} T T Antes hemos visto como obtener un modelo de tiempo discreto a partir de uno en tiempo continuo que es exacto en los instantes de muestreo. ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du x[k + 1] = A dx[k] + B d u[k] y[k] = Cx[k] + Du[k] Donde A d = e AT y B d = T eaτ Bdτ. La pregunta es: Si el sistema de tiempo continuo es controlable, el sistema de tiempo discreto siempre es controlable?.

11 Controlabilidad p. 11/16 Controlabilidad y muestreo La controlabilidad del sistema discretizado depende del período de muestreo T y los autovalores de la planta de tiempo continuo. La controlabilidad se puede perder después del muestreo. Teorema (Muestreo no patológico). Si el par (A; B) es controlable, entonces el par discretizado (A d ; B d ) es controlable con periodo de muestreo T si para cualquier dos autovalores λ i ; λ j de A tales que Re[λ i λ j ] =, la condición de muestreo no patológico Im[λ i λ j ] 2πm T para m = 1, 2,... se satisfaga. El teorema da una condición necesaria que preserva la controlabilidad después del muestreo. Esta condición también es suficiente para sistemas de una sola entrada.

12 Controlabilidad p. 12/16 Controlabilidad y muestreo Ejemplo (Muestreo patológico). Considere el sistema de tiempo continuo ẋ(t) = [ ] 1 x(t) + 1 [ ] u(t) 1 Su discretización exacta con período de muestreo T es x[k + 1] = [ ] cos T sin T x[k] + sin T cos T [ 1 cos T sin T ] u[k] Note que si T = mπ, con m = 1; 2;..., este sistema se hace no controlable, i.e., x[k + 1] = [ ] ( 1) m ( 1) m x[k] + [ ] 1 ( 1) m u[k]

13 Controlabilidad p. 13/16 Controlabilidad y muestreo Un par de observaciones finales acerca del muestreo y la controlabilidad: La condición de muestreo no patológico solo aplica a sistemas con autovalores complejos; un sistema discretizado con solo autovalores reales es controlable para todo T > si su contraparte de tiempo continuo lo es. La condición de muestreo no patológico solo es suficiente para un sistema MIMO; si el muestreo es patológico, la controlabilidad se puede perder después del muestreo.

14 Controlabilidad p. 14/16 Ejemplos de controlabilidad x 1 u y x 2 En el sistema hidráulico de la izquierda es obvio que la entrada no puede afectar el nivel x 2, así que intuitivamente es evidente que este sistema de 2 tanques no es controlable. Un modelo linealizado de este sistema con parámetros unitarios da, ẋ(t) = [ ] 1 x(t) + y(t) = [ 1 ] x(t) La matriz de controlabilidad es C = [B AB] = completo, luego el sistema no es controlable. [ ] 1 u(t) [ ] 1 1 la cual no es de rango

15 Controlabilidad p. 15/16 Ejemplos de controlabilidad Example. u x x x La controlabilidad del sistema hidráulico de la izquierda no es tan obvia, aunque podemos ver que x 1 (t) y x 3 (t) no se pueden afectar independientemente con u(t). y El modelo linealizado en este caso es, x(t) = x(t) y(t) = [ 1 ] x(t) 1 u(t) 1 4 La matriz de controlabilidad es C = [B AB A 2 B] = la cual tiene 1 4 rango 2, mostrando que el sistema no es controlable.

16 Controlabilidad p. 16/16 Ejemplos de controlabilidad x 1 u x 2 x 3 Ahora en el sistema previo suponga que la entrada se aplica en el primer tanque, como se muestra en la figura. y En este caso el modelo linealizado es el mismo de antes, excepto que la matriz B ahora es diferente. x(t) = y(t) = [ 1 ] x(t) x(t) + 1 u(t) Ahora la matriz de controlabilidad es C = [B AB A 2 B] = tiene rango 3, mostrando que el sistema es controlable la cual 1