1. Análisis de Sistemas Discretos

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1 . Análisis de Sistemas Discretos. Análisis de Sistemas Discretos.. Introducción.. Estabilidad... Estabilidad de Sistemas Lineales 3... Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO) Cómputo de la Estabilidad 6.3. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad Controlabilidad y Alcanzabilidad 5.4. Observabilidad.5. Descomposición de Kalman 3.6. Pérdida de Alcanzabilidad y Observabilidad debido al muestreo 4.7. Un Controlador Simple Estado Estacionario 5.8. Simulación 7.. Control de un Doble Integrador 7 Clase 3.doc

2 .. Introducción Los sistemas a estudiar son x + Φ x +Γu y Cx [.] A q y B q u [.] na na A q q + aq + + an nb nb B q bq + bq + + bn.. Estabilidad Dada unas secuencia x f x a +, [.4] sean dos secuencias x y Se dice que la secuencia x x δ b x soluciones de [.4] x es estable si dado < [.5] se cumple x x ε < [.6] Se dice que la secuencia cumple x x [.3] x es asintóticamente estable si se [.7] Clase 3.doc

3 x x x x... Estabilidad de Sistemas Lineales Sea el sistema x + Φ [.8] con a [.9] + se cambia el valor inicial a [.] resultando Φ x [.] La diferencia entre ambas soluciones es x x x Φ x [.] con [.3] x a a si x es estable, toda otra solución será también estable. la estabilidad es una característica del sistema y no de una solución determinada. x La solución de Φ x [.4] Si la matriz Φ se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal de los autovalores. Clase 3.doc 3

4 Si la matriz Φ no se puede diagonalizar, la solución es una combinación lineal del producto de polinomios por los autovalores. Pero en ambos casos, para que la solución tienda a cero los autovalores deberán ser menor que. Teorema. Un sistemas discreto, lineal, invariante en el tiempo es asintóticamente estable si todos los autovalores de Φ están dentro del círculo unidad.... Estabilidad de Sistemas con Entrada y Salida Acotadas(BIBO) Un sistema cuya entrada es acotada, es estable si su salida también lo es. La estabilidad asintótica es más restrictiva. Clase 3.doc 4

5 Oscilador Armónico [ ] x cos ωt sen ωt cos ωt x x u sen ωt cos ωt + sen ωt y x + Los autovalores son. [.5] Si la entrada es nula, el sistema es estable porque x Pero si la entrada es una onda cuadrada de frecuencia ω la salida es El sistema es estable pero no es estable en el sentido de entrada y salida acotada Clase 3.doc 5

6 ..3. Cómputo de la Estabilidad - Cómputo directo de los autovalores - lugar de las raíces - criterio de Nyquist - método de Lyapunov - Cálculo directo: cálculo de las raíces de na na A q q + aq + + a n [.6] a no es adecuado para calcularlo manualmente en sistemas de alto orden - Criterio de Jury (Routh-Hurwitz) Se forma la siguiente tabla a a a a n n n a n a n a n a a n a n n a n a a n a n a α n a n a n a n αn n n a Clase 3.doc 6

7 con a a α a α i i i a a Teorema. Sia >, el sistema es estable si todos losa son positivos. Si ningúna, la cantidad de a negativos es igual al número de raíces fuera del círculo unidad. Sistema [.7] Aq q + aq+ a [.8] a a a α a a a a aa ( a) a aa a( a) a a a α a a a α ( a ) ( a ) a a( a ) α a ( a ) ( α ) a a α a a a ( ( a ) ) + a Todas las raíces están dentro del círculo unidad si: ( a ) > [.9] a + a Clase 3.doc 7

8 a ( ) a a > + a esto implica [.] a < [.] a + a a > a < + a a > a + a + a [.] a a - Clase 3.doc 8

9 - Criterio de Nyquist Es el equivalente al de los sistemas continuos Sea el sistema r + + u G(z) y - H z Y z G z U z + G z [.3] La ecuación característica es + G z [.4] Plano Z Im Γ Re inf Clase 3.doc 9

10 Sistema de Segundo Orden G z,5 ( z )( z,5) [.5] ( ) ( ) ( cosω)(,5+ cosω),5,5 cosω sen ω jsenω cosω,5 j G e ω [.6] Im Plano Z Γ - Re inf el camino cruza el eje real negativo en ω,5 el sistema es estable en lazo cerrado para < Clase 3.doc

11 - Robustez Tolerancia a variaciones Teorema 3. Sea G ( z ) el valor real y G( z) el valor nominal H ( z) H z ( z) G + G z G z + G z - si H ( z ) es estable - si G ( z ) y [.7] [.8] G z tienen la misma cantidad de polos fuera del círculo unidad y - si se cumple que para entonces H z G ( z) G( z) < + G( z) z es estable Cuando la ganancia del sistema es alta, es fácil de cumplir la condición. H Se necesita mayor precisión en los lugares donde G( z) Otra forma de verlo: la función en lazo cerrado es ( z) + G ( z) los polos en lazo cerrado están en [.9] Clase 3.doc

12 f ( z) G z G z G z G z en esta forma vale el nuevo teorema: Teorema Sea G ( z ) el valor real y G( z) el valor nominal - si H ( z ) es estable - si G ( z ) y [.3] G z tienen la misma cantidad de ceros fuera del círculo unidad y - si se cumple que para z entonces H z es estable < + G z G z G z Reglas a tener en cuenta: - es importante saber la cantidad de polos y ceros inestables - no es necesario tener gran precisión en el modelo para frecuencias en la que el sistema tiene alta ganancia - para aquellas frecuencias en las que no se conoce el modelo con exactitud hay que reducir la ganancia - hay que tener un modelo preciso para frecuencias en donde G( z) Clase 3.doc

13 - Segundo Método de Lyapunov Función de Lyapunov: Sea el sistema x f ( x) f V( x ) es una función de Lyapunov si - V( x) es continua en x y V - V( x) es definida positiva y - V ( x) V f ( x) V x + [.3] es definida negativa X X + X X V(x ) Las curvas de nivel de V( x ) son cerradas alrededor del origen La tercera condición dice que la dinámica del sistema es tal que partiendo de un estado, el siguiente llevará a un valor de V( x ) menor o más cerca del origen. Clase 3.doc 3

14 Teorema 4. Estabilidad La solución x es asintóticamente estable si existe una función de Lyapunov para el sistema Si además existe < ϕ x < V x [.3] y se cumple ϕ ( x ) cuando x [.33] entonces, la solución es asintóticamente estable para cualquier condición inicial. - El principal problema es encontrar la función de Lyapunov - Para sistemas lineales, una función candidata es T V x x Px [.34] donde T T T V x V Φx V x x Φ PΦx x Px Φ Φ T T T x P P x x Qx Para que V( x ) se una función de Lyapunov, debe existir una matriz P, que cumpla [.35] Φ T PΦ P Q [.36] con Q definida positiva Esta es la ecuación de Lyapunov Clase 3.doc 4

15 .3. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Observabilidad.3.. Controlabilidad y Alcanzabilidad Sea el sistema n n xn Φ x +Φ Γ u + +Γun n Φ x + WU c W c con [.37] n Γ ΦΓ Φ Γ [.38] T T T n [.39] U u u si W c tiene rango n se pueden encontrar n valores de u para llevar al sistema a un valor deseado x n. Si hay más de una entrada la solución no es única. - Definición de Controlabilidad: Un sistema es controlable si se puede llevar desde cualquier punto al origen en tiempo finito. - Definición de Alcanzabilidad: Un sistema es alcanzable si se puede llevar desde cualquier punto a otro cualquiera en tiempo finito Controlabilidad no implica alcanzabilidad. Por ejemplo si ya está en el origen, es controlable pero no necesariamente alcanzable. Clase 3.doc 5

16 Teorema Un sistema es alcanzable si y solo si Wc se llama matriz de controlabilidad. Ejemplo x x + u + no es alcanzable porque Wc Wc es de rango n. [.4] [.4] si tuviera dos entrada con una matriz Γ no singular, el sistema sería alcanzable. Ejemplo dado x x u,5 +,5 x x + [.4] es posible encontrar una ley de control tal que,5? La ecuación dice Clase 3.doc 6

17 x Φ x +ΦΓ u +Γ u [.43] o sea,5 3,5 + +,5 [,5u u ] [.44],5u + u 4 [.45] tiene solución. Si se parte del origen y se quiere llegar a x 3 +,5 [,5u u ] no tiene solución El sistema no es alcanzable ya que,5 Wc,5,5 3 Partiendo del origen solo se pueden alcanzar los puntos que pertenecen al subespacio,5 [.46] [.47] La característica de alcanzabilidad es independiente de transformaciones. Clase 3.doc 7

18 n W c Γ ΦΓ Φ Γ Γ Φ Γ Φ Γ TW n T T T T T T T [.48] c De ahí el porque del nombre de la forma canónica controlable Ejemplo Sistema en forma canónica controlable a a a3 x+ x + u W W c c a a a Γ ΦΓ Φ Γ a la inversa es a a a generalizando [.49] [.5] [.5] Clase 3.doc 8

19 W c a a an an a an 3 a n a [.5] - Seguimiento de Trayectorias Si la matriz Γ es de rango n, es posible llegar a un estado en, a lo sumo, n pasos. r. Es necesario pero no suficiente tener n entradas. Si el sistema es SISO es fácil hacer seguir una trayectoria Se hace B q y u r [.53] Aq u la acción de control es A q r [.54] B q Si hay d muestras de retardo, la generación de la actuación es causal Recordar cociente de polinomios en q: Solo tiene solución si u parte de estado inicial cero. Tiene que tener inversa estable. Clase 3.doc 9

20 .4. Observabilidad Definición: El estado x es no observable si existe un número finito n en donde y resultando x y u. x El sistema es observable si, conociendo entradas y salidas es suficiente para conocer el estado inicial. En un sistema tal como el [.] es calculable el efecto de la entrada y no se pierde generalidad si se hace u. Se suponen conocidas las salidas y, y,, yn Con esto se puede plantear y Cx y Cx CΦx y Cx CΦ x n n n C CΦ vectorialmente y y x n CΦ y n [.55] [.56] el estado inicial se puede reconstruir si la matriz de observabilidad Clase 3.doc

21 W o C C Φ n CΦ tiene rango n. Teorema [.57] El sistema 5. es observable sii la matriz de observabilidad tiene rango n. x W + y o Ejemplo Sea el sistema,,3 x,5 x [ ] la matriz de observabilidad es C,5 CΦ,6,3 tiene rango. En la figura siguiente se muestra la respuesta del sistema para diferentes estados iniciales. Se observa que para todos los estados que están en una recta paralela a [,5 ] dan la misma salida. (b y d) [.58] [.59] Clase 3.doc

22 6 x Clase 3.doc

23 .5. Descomposición de Kalman Puede haber una parte observable y otra alcanzable. Son subespacios independientes de las coordenadas. Existe una transformación tal que el sistema resulta: Φ Φ Γ Φ x+ x + u Φ3 Φ3 Φ33 Φ34 Γ3 [.6] Φ Φ y C C x - oa [ ] en donde hay cuatro partes S observable y alcanzable, S oa observable pero no alcanzable, S oa no observable pero alcanzable, S oa ni observable ni alcanzable. La función de transferencia es única y se expresa como G q C qi Φ Γ [.6] C-noO u y C-O noc-o noc-noo Clase 3.doc 3

24 .6. Pérdida de Alcanzabilidad y Observabilidad debido al muestreo Las matrices del sistema muestreado dependen del período de muestreo. Para que el sistema muestreado sea alcanzable, el continuo lo debe ser. Pero esta se puede perder al muestrear. La no observabilidad de los sistemas muestreados se presenta en las llamadas oscilaciones oculta en donde un sistema continuo es observable y el discreto deja de serlo. Ejemplo: Oscilador armónico. cos [ ] x cos ωt sen ωt cos ωt x x u sen ωt ωt + sen ωt y + [.6] el determinante de las matrices de controlabilidad y observabilidad es ( ω ) ( ω ) ( ω ) detw sen T cos T c detw sen T o Ambas se pierden para ωt nπ a pesar de que el sistema continuo es observable y controlable. [.63] Clase 3.doc 4

25 .7. Un Controlador Simple Ventajas de la realimentación (tanto continua como discreta): - Mejoras en el transitorio - Disminuye la sensibilidad a cambios de parámetros del sistema - Corrige errores en régimen permanente e.7.. Estado Estacionario Sea un lazo simple de realimentación. El error será + R q G q r Si la entrada es un escalón, aplicando el teorema del valor final, se puede calcular el error en régimen estacionario haciendo q en [.64]. [.64] El número de integradores en lazo abierto determina el tipo de referencia para la cual el sistema no tiene error estacionario. Si en lazo abierto hay p integradores, el sistema no tendrá error estacionario para referencias polinómicas en de orden menor a p. Ejemplo Sea el sistema Clase 3.doc 5

26 q,5 y G q u u e ( q,8)( q ) realimentando resulta ( q,8)( q ) ( q )( q ) q r,8 +,5 [.65] [.66] Si la referencia es un escalón el error final es cero (haciendo q ) Otra forma de verlo es observando el integrador que posee el sistema en lazo abierto. Si la referencia es una rampa se debe calcular ( z,8)( z ) ( z ) z lime lim,4 z z,8 z + z,5 z En la literatura es frecuente representar la referencia o perturbación como generada por un impulso aplicado a cierto sistema: r H q δ [.67] r [.68] H r (q) r + e u + G(q) y - Si se quiere representar un escalón Clase 3.doc 6

27 H H r r ( q) q q o una rampa ( q) q ( q ) es más fácil aplicar el teorema del valor final..8. Simulación Es importante pero No olvidar que debe ir acompañada del análisis. Nunca se pueden simular los infinitos casos.. Control de un Doble Integrador G q ( q + ) ( q ),5 Objetivo: seguir una trayectoria Tipo de control: digital, proporcional [ ] p p [.69] [.7] [.7] u K r y K e [.7] la ecuación característica es ( q ) K ( q ) +,5 + [.73] p el sistema es inestable independiente de la ganancia Clase 3.doc 7

28 Plano Z Otro Control: [ ] u K e T y [.74] p d se muestrea también la velocidad r u dy/dt y CAD Computador H(z) u * CDA /s /s Para calcular la relación entrada salida se observa que en el sistema continuo dy u() t [.75] dt como u es constante durante el muestreo, y y + u [.76] o u q y [.77] reemplazando resulta Clase 3.doc 8

29 y ( q+ ),5K p ( q )( q + T K ) +,5K ( q+ ) d p p r [.78] Es un sistema de segundo orden con dos parámetros (las ganancias) para ajustar. El sistema es estable para K > ; T >,5; K T < Root locus para T d,5 p d p d Plano Z - Respuesta al escalón Para K p el sistema llega al valor final en dos muestras, es el llamado control de tiempo finito. Para ganancias superiores hay un polo real negativo que da el carácter oscilante de la respuesta El límite es K 4 p 3 Clase 3.doc 9

30 Cuidado!!! Si el sistema se representa como y y y +,5u +,5u [.79] Se intenta seguir un referencia. Una opción es hacer r y y +,5u +,5u [.8] y despejar u Clase 3.doc 3

31 r y y +,5u +,5u u q qr q y y + ( + ) ( ) q ( q ) ( q+ ) ( q+ ) u r y la salida en lazo cerrado es [.8] r [.8] Parece igual que el anterior pero la respuesta del último es la de la figura Hay una oscilación oculta Algo se puede ver analizando el sistema discreto que en lazo cerrado tiene una transferencia Clase 3.doc 3

32 y q( q+ ) ( q+ ) q q+ ( q+ ) q( q+ ) r r q ( q+ ) El sistema es de tercer orden. r Hay una cancelación de polos y ceros [.83] Lo que pasa es que se pierde la observabilidad debido a la elección del controlador. - Oscilaciones Ocultas Son oscilaciones del sistema continuo no observadas por el sistema discreto (también llamadas intersample ripple). Se pueden ver con simulación o con z-modificada Se deben, básicamente, a que el sistema está en lazo abierto entre muestras Se distinguen dos tipos - Oscilaciones debidas al sistema continuo - Oscilaciones debidas al controlador El primer caso se puede deber a pérdida de observabilidad debida al muestreo. En la función de transferencia se cancelan polos y ceros. Clase 3.doc 3

33 Estas oscilaciones ocurren para ciertos valores de muestreo Se puede cambiar el período de muestreo y analizar observabilidad El segundo tipo ocurre con ceros poco amortiguados que son cancelados por el controlador. Son independiente del período de muestreo (caso doble integrador) Resumen: No existen oscilaciones ocultas si el sistema continuo no tiene modos no observables oscilantes y si los ceros inestables o cercanos a la inestabilidad no son cancelados. G s G z Ejemplo: π + s + +, + s π con T su FT discreta es a z a con a e [.84] [.85] el sistema discreto es de primer orden y el continuo es de tercero. Esto indica que existirán oscilaciones ocultas. Clase 3.doc 33

34 La figura muestra la respuesta al escalón del sistema continuo y sus muestras Clase 3.doc 34