Análisis. Sistemas Electrónicos de Control. Álvaro Gutiérrez 14 de febrero de

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1 Análisis Sistemas Electrónicos de Control Álvaro Gutiérrez 14 de febrero de

2 Índice 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

3 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

4 Polos dominantes y estabilidad Los polos en lazo cerrado con efectos dominantes se llaman polos dominantes en lazo cerrado Si algún polo se encuentra en el semiplano derecho del plano s, el sistema es inestable Si todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, el sistema es estable La estabilidad es una propiedad del sistema, no depende de la entrada Si los polos dominantes complejos conjugados se encuentran cerca del eje jω, tendremos oscilaciones abundantes y una respuesta lenta

5 Estabilidad Lyapunov: Un sistema es estable en el sentido de Lyapunov si al introducir una pequeña perturbación a la entrada, se produce un pequeño movimiento a la salida. BIBO:Un sistema es estable en el sentido BIBO si para una entrada acotada su salida está acotada.

6 Estabilidad Lyapunov: Un sistema es estable en el sentido de Lyapunov si al introducir una pequeña perturbación a la entrada, se produce un pequeño movimiento a la salida. BIBO:Un sistema es estable en el sentido BIBO si para una entrada acotada su salida está acotada. Sea P(s) = a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n Hurwitz: El polinomio P(s) es estable en el sentido de Hurwitz si las raíces de la ecuación P(s) = 0 tienen parte real negativa distinta de cero. Sea P(z) = a 0 z n + a 1 z n a n 1 z + a n Schur: El polinomio P(z) es estable en el sentido de Schur si las raíces de la ecuación P(z) = 0 tienen módulo mejor que la unidad.

7 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

8 Criterio de estabilidad de Routh Sea P(s) = a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n Condición necesaria de estabilidad: a i > 0, i Tabla de Routh: s n : a 0 a 2 a 4... s n 1 : a 1 a 3 a 5... s n 2 : b 1 b 2 b 3... s n 3 : c 1 c 2 c 3... s n 4 : d 1 d 2 d s 2 : s 1 : s 0 :... b i = a 1a 2i a 0 a 2i+1 a 1 c i = b 1a 2i+1 a 1 b i+1 b 1 d i = c 1b i+1 b 1 c i+1 c 1 Condición necesaria y suficiente: a i > 0, i y todos los términos de la primera columna del array con signo positivo (a 0, a 1, b 1, c 1, d 1,...)

9 Estabilidad Routh - Casos especiales Término de la primera columna es 0. Se aproxima por ε. Sin cambio de signo: Raíces imaginarias Cambio de signo: Raíces positivas Todos los términos de una fila son cero. Raices con la misma magnitud y signo opuesto. Se cambia por su derivada Pares de raíces reales con signos opuestos Pares de raíces complejas conjugadas en el eje imaginario

10 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

11 Estabilidad Routh - a 0 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 = 0 s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 4 = 0 s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0 s 3 3s + 2 = 0 s 5 + 2s s s 2 25s 50 = 0 H(s) = K p K s 2 + ps + KK p r(t) e(t) u(t) K y(t) + K P s(s + p) s 2 : 1 KK p s 1 : p 0 s 0 : KK p 0 s = p ± p 2 4KK p 2

12 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

13 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

14 Respuesta al escalón Vi R C Vo G(s) = src i R(s) = 1 s Y(s) = G(s)R(s) = 1 s 1 s + (1/RC) y(t) = 1 e t RC e(t) = r(t) y(t) = e t RC

15 Respuesta al escalón Vi R C Vo G(s) = src i R(s) = 1 s Y(s) = G(s)R(s) = 1 s 1 s + (1/RC) y(t) = 1 e t RC e(t) = r(t) y(t) = e t RC

16 Respuesta a la rampa R G(s) = src Vi i C Vo R(s) = 1 s 2 Y(s) = G(s)R(s) = 1 s 2 RC RC + s s + (1/RC) y(t) = t RC + RCe t RC e(t) = r(t) y(t) = RC(1 e t RC )

17 Respuesta a la rampa R G(s) = src Vi i C Vo R(s) = 1 s 2 Y(s) = G(s)R(s) = 1 s 2 RC RC + s s + (1/RC) y(t) = t RC + RCe t RC e(t) = r(t) y(t) = RC(1 e t RC )

18 Respuesta al impulso Vi i R C Vo G(s) = src R(s) = 1 Y(s) = G(s)R(s) = y(t) = 1 RC e t RC e(t) = 1 RC e t RC 1/RC s + 1/RC

19 Respuesta al impulso Vi i R C Vo G(s) = src R(s) = 1 Y(s) = G(s)R(s) = y(t) = 1 RC e t RC e(t) = 1 RC e t RC 1/RC s + 1/RC

20 Propiedades La respuesta a la derivada de una señal de entrada es la derivada de la señal de la salida Señal entrada salida Rampa r(t) = t y(t) = t RC + RCe t RC Escalon r(t) = 1 y(t) = 1 e t RC Impulso r(t 0 ) =, r(t t 0 ) = 0 y(t) = 1 RC e t RC

21 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

22 Ecuación generalizada L R Vi i C Vo G(s) = V o(s) V i (s) = 1 LCs 2 + RCs + 1

23 Ecuación generalizada L R Vi i C Vo G(s) = V o(s) V i (s) = 1 LCs 2 + RCs + 1 G(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n ζ coeficiente de amortiguamiento ω n frecuencia natural no amortiguada En nuestro ejemplo: ωn 2 = 1 LC R C ζ = 2 L

24 Ecuación generalizada y(t) ζ = 0.0 ζ = 0.1 ζ = 0.3 ζ = ζ = 1.0 ζ = ω n t ω d = ω n 1 ζ 2 : frecuencia natural amortiguada

25 Ecuación generalizada Respuesta al escalón: Subamortiguado: 0 < ζ < 1 ωd = ω n 1 ζ2 : frecuencia natural amortiguada Amortiguamiento crítico: ζ = 1 Sobreamortiguado: ζ > 1 y(t) sub-amortiguado crticamente-amortiguado ζ = 0.1 ζ = 1.0 ζ = sobre-amortiguado ω n t

26 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

27 Régimen transitorio y(t) 1.5 (1.193,1.371) (0.725,1) 1 Mp (3.915,1.04) 2ν t t r t p 4 t s Tiempo de subida: t r = 1 ω d tan 1 ( ω d σ ) = π ϕ 0 ω d Tiempo de pico: t p = π ω d Sobreelongación máxima: M p = e (ζ/ 1 ζ 2 )π Tiempo de establecimiento: t s = 4 ζω n (2 %) o 3 ζω n (5 %)

28 Sistemas de orden superior r(t) e(t) u(t) y(t) G c (s) G(s) + Y(s) R(s) = G c(s)g(s) 1 + G c (s)g(s) Si G(s) = p(s) q(s) y G c(s) = n(s) d(s) entonces Y(s) R(s) = p(s)n(s) q(s)d(s) + p(s)n(s) Y(s) R(s) = b 0s m + b 1 s m b m 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n Y(s) R(s) = K(s + z 1)(s + z 2 ) (s + z m ) (s + p 1 )(s + p 2 ) (s + p n )

29 Sistemas de orden superior Para R(s) = 1 s Si los polos en lazo cerrado son reales y distintos Y(s) = a s + n i=1 a i s + p i Si los polos en lazo cerrado son reales y/o pares complejos conjugados Y(s) = a s + q j=1 donde (q + 2r = n) a j s + p j + r b k (s + ζ k ω k ) + c k ω k 1 ζk 2 k=1 s 2 + 2ζ k ω k s + ω 2 k

30 Sistemas de orden superior Entonces q r y(t) = a + a j e pjt + b k e ζ kω k t cosω k 1 ζ 2 t + + j=1 k=1 r c k e ζ kω k t sinω k 1 ζ 2 t, para t 0 k=1

31 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

32 Error en régimen permanente r(t) e(t) u(t) y(t) G c (s) G(s) + Definimos el tipo del sistema en lazo abierto (G c (s)g(s)) como el número de polos en el origen Error en régimen permanente e ss e ss = lim e(t) = lim se(s) t s 0 e ss e ss e ss r(t) = 1 r(t) = t r(t) = 1 2 t2 Tipo 0 cte Tipo 1 0 cte Tipo cte

33 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

34 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

35 Introducción Las características de la respuesta transitoria dependen de la localización de los polos en lazo cerrado La localización de los polos en lazo cerrado depende de la ganancia de lazo Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Esto puede ser muy laborioso El lugar de raíces es un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación caracerística.

36 Introducción El lugar de raíces presenta las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema Normalmente el parámetro es la ganancia Gracias al lugar de raíces podemos: Localizar los polos en lazo cerrado Observar los efectos de la ganancia Añadir polos y/o ceros en lazo abierto Modificar la ganancia del sistema

37 Introducción Lugar de raíces de un vistazo: Los valores de s que hacen que la función de transferencia sea igual a 1 satisfacen la ecuación característica del sistema Se representan los valores en el plano complejo s Se representan los polos en lazo cerrado cuando la ganancia varía de 0 a Se muestra como cada polo y/o cero en lazo abierto contribuye las posiciones de los polos en lazo cerrado

38 Condicion de ángulo y magnitud r(t) e(t) u(t) y(t) G c (s) G(s) + Y(s) R(s) = G c(s)g(s) 1 + G c (s)g(s) Ecuación característica 1 + Gc (s)g(s) = 0 Gc (s)g(s) = 1 Condición de magnitud Gc (s)g(s) = 1 Condición de ángulo G c (s)g(s) = ±180 (2k + 1) ; (k = 0, 1, 2,...)

39 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

40 G(s)H(s) = K s(s + 1)(s + 2)

41 G(s)H(s) = K s(s + 1)(s + 2)

42 G(s)H(s) = K s(s + 1)(s + 2) G(s)H(s) = K(s + 2) s 2 + 2s + 3

43 G(s)H(s) = K s(s + 1)(s + 2) G(s)H(s) = K(s + 2) s 2 + 2s + 3

44 1 Estabilidad Tabla Routh 2 Análisis en el Dominio del Tiempo Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Régimen transitorio Régimen permanente 3 Análisis en el Dominio Complejo Lugar de Raíces Parámetros característicos

45 Parámetros característicos Las líneas con ζ constante son radiales pasando por el origen. ζ determina la localización angular de los polos en lazo cerrado ω n determina la distancia del polo al origen

46 Gracias GRACIAS!!

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