1 e. s 1. FdT er 1. ts c(t) Error ess % τ 0,632 0,368 36,80% 2 τ 0,865 0,135 13,50% 3 τ 0,950 0,050 5% 4 τ 0,982 0,018 2% 5 τ 0,993 0,007 1%

Transcripción

1 Respuesta de un sistema en el tiempo La respuesta de salida de un sistema de control es la suma de dos respuestas: la respuesta forzada 1 y la respuesta libre. La existencia de numerosas técnicas, por ejemplo la solución de una ecuación diferencial o tomar la transformada inversa de Laplace, hacen posible evaluar esta respuesta de salida, pero éstas son laboriosas y lentas. La productividad es primordial y por ese motivo es auxiliada por técnicas de análisis y diseño que producen resultados en un mínimo de tiempo. Este método es tan rápido que a veces se piensa que se deduce el resultado por inspección. Además se puede crear una gráfica que represente la respuesta en el tiempo del sistema analizado, o bien con este gráfico, se pueden identificar los parámetros y definir la fórmula. Sistema de primer orden ante la entrada escalón unitario. FdT er 1 orden K P 1 e s 1 s c( t) K SP 1 e t K SP K R K P c() ts c(t) Error ess % τ 0,63 0,368 36,80% τ 0,865 0,135 13,50% 3 τ 0,950 0,050 5% τ 0,98 0,018 % 5 τ 0,993 0,007 1% Consideraciones: 1.- Una FdT de primer orden se compone de una función normalizada perteneciente al dominio de la frecuencia. El componente e Θs sólo se considera cuando el sistema presenta un tiempo de retardo (no se obtiene respuesta desde el origen)..- La respuesta en el tiempo de una FdT debe incluir la ganancia del punto de establecimiento. 3.- El K SP es el resultado de la multiplicación de la ganancia de la planta y la ganancia de entrada. C( ) simplemente es la representación al infinito, es decir, indica que el dato se puede obtener de la gráfica y es el punto de establecimiento K SP. 1 La respuesta forzada también se llama respuesta en estado estable. JACG - MEVO Página 1

2 Ejemplo: 1.- R(s) FdT C(s) Datos: R(s) = s (representa a un doble escalón) C(s)=? FdT = 10 3s Normalizar FdT Se comienza factorizando el denominador por el término sin s 10 7 ( 3s 7 + 1) Posteriormente se factoriza por el numerador por (1) 7 ( 3s 7 + 1) Reexpresando ( 3s 7 + 1) Recopilación de datos K P = 10 7 (Es la ganancia de la planta) τ = 3 7 Valor de la constante de tiempo de este ejercicio (medido en segundos).- Normalizar la señal de entrada 1 = doble escalón s Extrayendo datos K R = (Es la ganancia de la entrada) 3.- Utilización de fórmulas K SP = K P K R K SP = 0 7 JACG - MEVO Página

3 .- Obtención de la Respuesta en el tiempo c(t) = K SP (1 e t τ) t 3 c(t) = K SP (1 e 7 ) c(t) = K SP (1 e 7t 3 ) c(t) = 0 7 7t (1 e 3 ) 5.- Generación de la gráfica ts c(t) Error ess Observaciones % Τ 0,63 0,368 36,80% a 1τ se logra el 0,63 del KSP τ 0,865 0,135 13,50% a τ se logra el 0,865 del KSP 3 τ 0,95 0,05 5% a 3τ se logra el 0,95 del KSP τ 0,98 0,018 % a τ se logra el 0,98 del KSP 5 τ 0,993 0,007 1% a 5τ se logra el 0,993 del KSP Desarrollo (recuerde que en este ejercicio τ = 3/7): cuando t = 1τ, cuando t = τ, cuando t = 3τ, cuando t = τ, cuando t = 5τ, 0 7 0, , , , ,993 Tabla Tiempo C(t) 0 0 0, 1,81 0,9,7 1,3,71 1,7,81,1,8 JACG - MEVO Página 3

4 Ejercicios: 1.- R(s) FdT C(s) Datos: R(s) = 1,5 s (representa a un escalón y medio) C(s)=? FdT = 10s + Determine el tiempo de establecimiento para el error de estado estacionario del 3% ts ess= 3%.- Se tienen: FdT 1 = FdT = FdT 3 = 7 s s + 3 8s + a) Cuál es la función de transferencia que tiene la respuesta más rápida? b) Determine en cada una la respuesta en el tiempo [c(t)], si la entrada es de medio escalón. c) Represente las 3 respuestas en un solo gráfico. JACG - MEVO Página

5 Análisis: - La FdT con menor constante de tiempo tiene la respuesta más rápida. - A pesar que la ganancia de la entrada es la misma, las amplitudes (K sp) de las diversas funciones de transferencias no son iguales, esto se debe a la ganancia de cada planta. Tiempo de establecimiento y establecimiento. En los ejemplos anteriores de pudo determinar que las respuestas de algunas funciones de transferencias son más rápidas que otras. Para poder comparar estos valores se definen los conceptos de tiempos de levantamiento y establecimiento. Estos conceptos se aplican tanto a los sistemas de primer orden como a los de orden superior. Tiempo de levantamiento, Tr El tiempo de levantamiento se define como el tiempo necesario para que la forma de onda pase de 0.1 a 0.9 de su valor final. El tiempo de levantamiento se encuentra al despejar la diferencia de tiempo de la de la c(t) correspondiente y/o de una gráfica. Tiempo de establecimiento, T s El tiempo de establecimiento también es llamado tiempo de asentamiento, se define como el tiempo necesario para que la respuesta alcance el % alrededor de su valor final, y permanezca en ese valor. El 0.98 de una gráfica se logra a los τ. JACG - MEVO Página 5

6 Sistemas de segundo orden: Introducción. En comparación con la sencillez de un sistema de primer orden, un sistema de segundo orden tiene una amplia variedad de respuestas que deben ser analizadas y descritas. Mientras que la variación de un parámetro de un sistema de primer orden simplemente cambia la velocidad de la respuesta, cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden modificar la forma de la respuesta. Por ejemplo, un sistema de segundo orden puede mostrar características muy semejantes a las de un sistema de primer orden, o bien, dependiente de los valores de componentes, mostrar oscilaciones amortiguadas o puras para su respuesta transitoria. Para familiarizarse con la amplia variedad de respuestas antes de formalizar un análisis, se analizará una imagen con ejemplos numéricos de las respuestas del sistema de segundo orden. Todos los ejemplos se deducen de la forma general (a), este caso tiene dos polos finitos y ningún cero. El término del numerador es simplemente un escalar o factor multiplicador de entrada que puede tomar cualquier valor sin afectar la forma de los resultados deducidos. Al asignar los valores apropiados a los parámetros a y b, se pueden demostrar todas las posibles respuestas transitorias de segundo orden. La respuesta de escalón unitario que se puede hallar usando C(s)=R(s)*G(s) donde R(s) es una entrada escalón (1/s). Para encontrar la función en el tiempo, se expande la función en fracciones parciales y se aplica la inversa de Laplace. JACG - MEVO Página 6

7 Respuesta Sobreamortiguada (b) C(s) = 9 s(s + 9s + 9) = 9 s(s )(s ) Esta función tiene un polo en el origen que viene de la entrada de escalón unitario y dos polos reales que vienen del sistema. El polo de entrada en el origen genera la respuesta forzada constante y cada uno de los dos polos del sistema sobre el eje real genera una respuesta natural exponencial, esta respuesta se llama sobreamortiguada porque se refiere a una gran cantidad de absorción de energía en el sistema, lo que inhibe la respuesta transitoria para el sobrepaso (sobreimpulso) y la oscilación alrededor del valor en estado estable para una entrada escalón. JACG - MEVO Página 7

8 Respuesta subamortiguada (c) C(s) = 9 s(s + s + 9) Esta función tiene un polo en el origen que viene de la entrada de escalón unitario y dos polos complejos que vienen del sistema. La figura muestra una respuesta general, senoidal amortiguada, para un sistema de segundo orden. La respuesta senoidal recibe el nombre de frecuencia natural amortiguada de oscilación, ω d. Respuesta no amortiguada (d) C(s) = 9 s(s + 9) Esta función tiene un polo en el origen que proviene de la entrada de escalón unitario y dos polos imaginarios que vienen del sistema. El polo de entrada en el origen genera la respuesta forzada constante, y los dos polos del sistema sobre el eje imaginario en ±j3 generan una respuesta libre senoidal. Nótese que la ausencia de una parte real en el par de polos corresponde a una exponencial que no decae (matemáticamente es e -0t =1). Respuesta críticamente amortiguada (e). C(s) = 9 s(s + 6s + 9) = 9 s(s + 3) Esta función tiene un polo en el origen que viene de la entrada de escalón unitario y dos polos reales múltiples que provienen del sistema. El polo de entrada en el origen genera la respuesta forzada constante y los dos polos sobre el eje real en -3 generan una respuesta libre formada por una exponencial y una exponencial multiplicada por t (el tiempo). Este tipo de respuesta es la más rápida posible, se llama críticamente amortiguada, no tiene el sobrepaso que es característico de la respuesta subamortiguada. JACG - MEVO Página 8

9 Figura 1: Respuesta escalón para casos de amortiguamiento de un sistema de segundo orden. El sistema general de segundo orden. Ahora que nos hemos familiarizado con los sistemas de segundo orden y sus respuestas, se generalizará el análisis y se establecerán especificaciones cuantitativas definidas en forma tal que la respuesta de un sistema de segundo orden se pueda describir, sin necesidad de trazar la respuesta. En cualquier FdT de segundo orden se pueden describir las características de la respuesta transitoria analizando dos cantidades, una se llama frecuencia natural y el otro factor de amortiguamiento relativo. Factor de amortiguamiento relativo, ζ El factor o razón de amortiguamiento relativo es una cantidad que compara la frecuencia de decaimiento exponencial de la envolvente con la frecuencia natural. Este cociente es constante cualquiera sea la escala de tiempo de la respuesta. Se debe recordar que cuando se comparan magnitudes mediante una división, se dirá que esas magnitudes se encuentran en una razón. Frecuencia natural ω n La frecuencia natural de un sistema de segundo orden es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento. Procedimiento para normalizar funciones de transferencias de segundo orden En algunas ocasiones, se entregará la función de transferencia de la planta, lamentablemente no todas se presentan de la forma: FdT do n s n K orden P e K P s n s n s s n e s Para normalizar la FdT, se desarrollará el siguiente ejemplo: FdT 1 = 1 s +,3s + JACG - MEVO Página 9

10 Una Función normalizada sólo debe tener el término s multiplicado por 1, en este ejemplo el valor que multiplica es, se procederá a factorizar por para lograr una FdT normalizada. 1 (s +,3 s + ) Posteriormente se deberá obtener el tercer término del denominador en el numerador, por ese motivo se multiplicará por el numerador. Para no alterar la FdT, también se multiplicará el denominador por, es decir: Reexpresando la FdT resultante: Simplificando algunos términos: Se puede concluir que: 1 (s +,3 ( s + ) ( 1 ) ( 1 ) K p = ( 1 ), la función normalizada es: ) (s +,3 s + ) (s +,3 s + ) (s +,3 s+ ) Nota: El componente e Θs no está presente en el ejercicio porque el sistema no presenta un tiempo de retardo. Una vez normalizada la FdT, se podrá crear un gráfico siempre y cuando se determine el tipo de respuesta de la curva y se defina la entrada del sistema. Posteriormente se deberá usar el formulario para obtener todos los datos asociados a la respuesta del sistema. Considere que ya cuenta con los valores del factor de amortiguamiento relativo (ζ) y la frecuencia natural no amortiguada (ω n), analice esta información y reemplácela en las otras fórmulas. ω n = ζω n =,3 Reemplace ω n en la segunda ecuación y despeje ζ. Si ζ= 1, el sistema es críticamente amortiguado. Si ζ> 1, el sistema es sobreamortiguado. Si 0 < ζ < 1, el sistema es subamortiguado. Si el segundo término del denominador (el que contiene a s ) no está presente, indica que el sistema es no amortiguado). JACG - MEVO Página 10

11 En el caso que se otorgue la gráfica, defina la información que podrá obtener de ella y sustitúyala en otras fórmulas, por último, no se olvide de responder las preguntas específicas del ejercicio. Otros conceptos presentes en los sistemas subamortiguados de segundo orden Tiempo Peak (tiempo pico): Es el tiempo necesario para alcanzar el primer peak o máximo. Sobreimpulso (Mp): Es la cantidad que la forma de onda sobrepasa al valor en estado estable, o final, en el tiempo peak, expresado como porcentaje del valor en estado estable. Recuerde que este dato generalmente se expresa como porcentaje de sobreimpulso (Mp %), pero en otras fórmulas (Factor de amortiguamiento relativo, ζ) se debe representar como sobreimpulso en tanto por uno (Mp 0 1 ). Tiempo de levantamiento (t r): Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera vez el 100% del valor final ( [-]/ωd con =arctan(ωd/ ). Sólo se aplica en los sistemas de segundo orden. Tiempo de retardo (t d): Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final (0,5 * Ksp). Se aplica en los sistemas de segundo orden. Constante de atenuación (): Como su nombre lo indica, una constante es un valor numérico, es este caso se determina por el producto de ζ y ωn. JACG - MEVO Página 11