Universidad Simón Bolívar Departamento de Procesos y Sistemas

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1 Universidad Simón Bolívar Departamento de Procesos y Sistemas Guía de Ejercicios de Sistemas de Control I PS-3 Prof. Alexander Hoyo Junio 00 ahoyo@usb.ve

2 ÍNDICE Pág. Modelaje Matemático Sistemas Dinámicos 3 Análisis de la Respuesta Transitoria de Sistemas 6 Análisis del Error en Estado Estacionario Análisis de Estabilidad 4 Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página de 4

3 MODELAJE MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS. Sea el siguiente tanque con drenaje a través de una tubería larga de longitud L, el área transversal del tanque es A, el flujo de salida se expresa en función de la velocidad del flujo como: Q o ( t) Av( t), donde A es el área transversal de la tubería. La velocidad del flujo de salida v (t) se relaciona con H (t) por la siguiente ecuación no lineal: dv(t) L dt gh(t) f L + v ( t) d Donde f representa el coeficiente de fricción y d el diámetro de la tubería. En estado estacionario los flujos de entrada y salida son constantes Q, H ( t) H y v ( t) v. A tiempo 0 el gasto de entrada varía levemente de Q a Q + qi haciendo que el nivel del tanque varíe de H a H + h, la velocidad del flujo de salida cambia a v + vo y el flujo de salida cambia a Q + qo. Se desea controlar el nivel del tanque (salida del sistema) manipulando el flujo de entrada (entrada del sistema), obtener la función de transferencia global del sistema. Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 3 de 4

4 . Considere el tanque cerrado (tanque presurizado) que contiene un líquido cuyo nivel varía y sobre el cual se encuentra un gas. La entrada y salida del líquido al tanque se realiza a través de válvulas. Se desea controlar el nivel del líquido en el tanque H manipulando la presión de entrada al sistema P. La presión de salida P 3 es la presión atmosférica. Los flujos de entrada y de salida se expresan en función de las diferencias de presiones de la siguiente forma: Q ( Cv P P t) Q ( Cv P P t) Donde C v y C v son constantes de las válvulas. 3 La presión en el fondo del tanque es es el peso específico del líquido. P Po + γ H donde P o es la presión del gas y γ La presión del gas se obtiene por la ley de gases ideales: P V o g m g R T g, donde V g es el volumen del gas, m g es la masa del gas, R constante universal y T g es la temperatura. El volumen del gas se puede expresar como: V V A H (t). Determinar la función de transferencia del sistema, tomando como entrada P y como salida el nivel del líquido H. g T Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 4 de 4

5 3. Dado el motor DC mostrado y sabiendo que el torque del motor es T m K mi y que la fuerza electromotriz es L e ω. b K b R m e a i e b T m ω m J m I f b m J m es la inercia del motor y b m es el coeficiente de fricción. Determine la función de transferencia del sistema, tomando como entrada el voltaje e a y salida la velocidad angular ω m. 4. Linealice la siguiente ecuación en torno al punto de operación x ( 0) 4. y + x y + y x 0 Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 5 de 4

6 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS. Dado el siguiente sistema realimentado, determine el tiempo de estabilización t s para el valor de K indicado. Cuanto varía el t s cuando K 5. G( s) 0.5s + H ( s). Dado los sistemas de segundo orden, especificar el tipo de amortiguamiento, determinar los valores de w n, ζ y graficar la respuesta temporal del sistema. a) c) b) d) 3. En el sistema mostrado, determine los valores de K y b de modo que el sistema tenga una relación de amortiguamiento ζ 0. 7 y un frecuencia natural no amortiguada wn 4. rad seg 4. Determine el valor de b en el sistema de modo que la relación de amortiguamiento sea 0,7 y calcule el porcentaje de sobreimpulso máximo, tiempo de pico y el tiempo de estabilización. Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 6 de 4

7 5. Hallar el valor de K para que el sistema en lazo cerrado presente un amortiguamiento crítico. Hallar el rango de valores de K para que el sistema este sub-amortiguado y para que este sobre-amortiguado. 6. Hallar la función de transferencia de lazo cerrado del siguiente sistema. Si K 0. 5, hallar el valor de K para que el sistema este críticamente amortiguado. Si K y K, especifique que tipo de amortiguamiento posee el sistema, cual es el valor de la relación de amortiguamiento ζ en este caso. Para los casos anteriores determine la expresión matemática de la respuesta temporal del sistema c (t) si se le aplica al sistema una entrada de posición. 7. Determine los valores de ζ y w n de modo que el sistema mostrado responda a una entrada escalón unitario con aproximadamente 5% de sobreimpulso máximo y un tiempo de estabilización de segundo. 8. Dado el siguiente sistema, hallar el valor de K para que el sistema responda con un sobreimpulso máximo de 0%. Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 7 de 4

8 9. Un sistema responde ante una entrada escalón de tamaño 0. como se muestra en la gráfica, determine la función de transferencia del sistema. (Tiempo en segundos) Dadas las gráficas de la respuesta temporal de sistemas a un escalón unitario, estimar los valores de t p, % M p y s t en cada caso. Determine la función de transferencia para cada sistema. (Escala de tiempo en segundos) Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 8 de 4

9 . Dada la función de transferencia de lazo cerrado de tres sistemas, aproxime la función a los polos dominantes y cancelando polos con ceros si es posible, escriba la función de transferencia aproximada, estime la forma de la respuesta temporal ante una entrada escalón unitario. Determine el tiempo de estabilización, porcentaje de sobre pico, tiempo de pico y la ganancia de los sistemas. G ( 0 s) ( s + )( s + 8)( s + ) Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 9 de 4

10 G 6.9s s) ( s + 3)( s +.)( s + s + 450) ( G s + 0. s) ( s )( s + )( s +.4s ) 4 (. Sea el siguiente sistema, determine los valores de a, b y K para que el sistema presente un sobreimpulso máximo igual al 0% a segundos. El sistema posee tres polos en lazo cerrado, defina un par de polos complejos conjugados dominantes que cumplan con el criterio dado, el polo real restante asúmalo como 0 veces la parte real de los polos dominantes para garantizar que no afecten la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario. Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 0 de 4

11 ANÁLISIS DEL ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO DE SISTEMAS. Dado el sistema realimentado, calcular el valor de la ganancia del controlador proporcional K para obtener un error en estado estacionario de 5%. G ( s) s +. Considere un sistema con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto: K G( s) s( Js + B) a. Determinar el tipo de sistema. b. Hallar la función de transferencia en lazo cerrado. c. Si se aplica en la entrada R (s) una rampa unitaria, hallar la expresión en el dominio de Laplace del error E (s). d. Hallar la constante de error estático de velocidad K v y el e ss. 3. Considere el sistema con realimentación unitaria y cuya función de transferencia de lazo cerrado es: C( s) R ( s ) s Ks + b + as + b a. Determine la función de transferencia de lazo abierto G (s) b. Determine el error en estado estacionario para una rampa unitaria. c. Qué le pasa al e ss si K a? 4. Dado el sistema, si la función de transferencia G (s) es la especificada y la función de transferencia del controlador (Control PID Proporcional Integral Derivativo) es: G + + T s c ( s) K p d con K p 4, T i 5 y T d. Ti s G ( s) s( s + )( s + 0) Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página de 4

12 a. Determine el tipo de sistema. b. Hallar el error en estado estacionario si se aplica una entrada de aceleración. c. Determine el error en estado estacionario si se anula la acción integral en el T. controlador ( ) i 5. Hallar el error en estado estacionario en el siguiente sistema si la función de transferencia G (s) es la especificada. G ( s) s + s + a. Para una entrada de posición. b. Para una entrada de velocidad. c. Para una entrada de aceleración. 6. Hallar el error en estado estacionario en el sistema, para cada controlador G c (s) si la función de transferencia G (s) es la especificada. a. G ( s) K( T s) Control PD Proporcional Derivativo c + d R ( s) s G( s) s + bs + a b. G + c ( s) K Control PI Proporcional Integral Ti s 7. Considere un sistema con realimentación unitaria como el mostrado: 0 G ( s) G ( s) 3 s + K 3 s + Parte a) Parte b) a. Si se aplica una entrada de posición, determine el error en estado estacionario y el tiempo de estabilización. Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página de 4

13 b. Cuanto debe ser K para que el sistema tenga un error en estado estacionario del %. En estas condiciones, cual es el tiempo de estabilización del sistema. 8. Dado el siguiente sistema, determine el valor de K para que el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario sea del % y determine el valor del tiempo de estabilización del sistema. 9. Dado el siguiente sistema determine: el error en estado estacionario y las constantes de error estático de posición, velocidad y aceleración en función de K y K. Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 3 de 4

14 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD. Aplique el criterio de estabilidad de Routh a la siguiente ecuación característica y determine el valor de K para la estabilidad. s s + Ks + s + 0. Determine el rango de K para la estabilidad de un sistema con realimentación unitaria, cuya función de transferencia en lazo abierto es: K G ( s) s( s + )( s + ) 3. El sistema con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia de lazo abierto es estable? 0 G ( s) s( s )(s + 3) 4. Dado los sistemas realimentados, obtenga una expresión matemática para calcular el valor de los polos de lazo cerrado y bosqueje el diagrama del Lugar de las Raíces. 5. Utilizando el criterio de estabilidad de Routh, determinar el valor de K para el cual el lugar de las raíces cruza el eje imaginario en la siguiente ecuación característica de un sistema. Para que valores de K el sistema es estable. 4 3 s + 3s + s + ( K 6) s + K 0 6. Determine el valor de K crítico que hace que el sistema se vuelva oscilatorio. A que frecuencia oscila la salida del sistema en ese valor de K. G ( s) ( s + )( s + s + 4) Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas. Página 4 de 4