Practica No. 5 CONTROL DE SISTEMAS NO LINEALES POR REALIMENTACION DE ESTADOS

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1 Practica No. 5 CONTROL DE SISTEMAS NO LINEALES POR REALIMENTACION DE ESTADOS Pontificia Universidad Javeriana Facultad de Ingeniería Departamento de Electrónica Laboratorio de Control 1. Introducción En esta práctica se analizarán sistemas dinámicos no lineales mediante linealización. También se realizará el diseño de sistemas de control por realimentación y observadores de estado. 2. Objetivos Obtener modelos aproximados de sistemas no lineales por linealización. Identificar las consideraciones y limitaciones de los modelos aproximados. Diseñar sistemas de control por realimentación de estados. Implementar un sistema de control usando observadores de estado 3. Equipo Necesario Fuente de alimentación Quanser UPM. Tarjeta de adquisición de datos Q4 o Q8. Carro de movimiento lineal IP02. Péndulo invertido. Cables de conexión. Software Matlab*, Simulink*. * Matlab y Simulink están disponibles en el laboratorio de Control (Ed. Ingeniería, lab. 613) PRIMERA SEMANA CONTROL DE SISTEMAS NO LINEALES POR REALIMENTACION DE ESTADOS 4. Trabajo Previo 4.1 Repaso de Linealización: Obtenga una aproximación lineal de las siguientes funciones en los puntos de operación indicados: a) ( ) para: b) ( ) para: ( ) ( ) ( ) ( ) c) para: 1

2 4.2 Modelado de un sistema no lineal Figura 1: Sistema de tanques Ambos tanques, el cilíndrico y el cónico, tienen altura A y diámetro máximo B Exprese el volumen almacenado en cada tanque de la Figura 1 como una función del nivel de líquido respectivo (h1 ó h2). Verifique que las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema son: ( ) ( ) ( ) El flujo a través de las válvulas está dado por los coeficientes k1, k2 y las alturas de nivel de líquido h1, h2 de acuerdo con y. En este caso asuma siempre que Implemente un diagrama en Simulink de las ecuaciones diferenciales no lineales obtenidas. A = 20. B = Obtención del modelo lineal Obtenga un modelo lineal a partir del modelo del numeral anterior. Encuentre el valor de en el punto de equilibrio, para Obtenga la matriz A y B del modelo de espacios lineal. Nota: La variable de entrada al sistema es y la salida es Verifique observabilidad y controlabilidad del sistema. 2

3 4.3.4 Obtenga la respuesta paso del sistema linealizado y determine: Tiempo de Subida Tiempo de establecimiento 4.4 Observador de Estados Investigue que es un observador de estados y como se implementa en un diagrama en bloques Que parámetros se deben tener en cuenta para el diseño de un observador de orden completo? 5. Procedimiento 5.1 Simule el comportamiento de los sistemas, (lineal y No lineal), ante entradas tipo paso de diversa amplitud. Determine la amplitud máxima de la entrada para la cual el valor RMS de la diferencia entre las respuestas es menor al 5%. 5.2 Analice con su instructor el concepto de realimentación de estados y diseñe un controlador con las siguientes características: Tiempo de asentamiento menor a 200s Sobrepico menor a 20%. 5.3 Realice una simulación en Simulink o Matlab en la que verifique el desempeño del controlador. tanto del sistema linealizado como el no lineal. 5.4 Analice con su instructor el concepto de observador de estados y diseñe un estimador de estados de orden completo para el sistema. 5.5 Verifique el desempeño del controlador con observador sobre el sistema lineal, y sobre el sistema no lineal. 6. Análisis de resultados Realice un informe en formato de artículo IEEE, en el que incluya una breve explicación de los procedimientos realizados y el análisis de los resultados obtenidos con los controladores diseñados. 6.1 Cuáles son las consideraciones y limitaciones que se deben tener en cuenta para esta metodología de diseño de controladores usando linealización? 6.2 Realice una tabla en la que compare las ventajas y desventajas de la metodología de diseño de controladores por realimentación de estados, con las metodologías que ya conoce. 3

4 SEGUNDA SEMANA REALIMENTACION DE ESTADOS El sistema de péndulo invertido está formado por un carro que tiene unido, en su parte superior, el eje de giro de una varilla rígida delgada. Se asume que el péndulo y el carro se mueven sobre un solo plano, con el carro desplazándose en línea recta. El objetivo de control es mantener el péndulo en posición vertical, evitando su caída, mediante el movimiento del carro, a la vez que se controla la posición del mismo Xc, ver Figura 2 Figura 2 7. Trabajo previo 7.1 Repase el desarrollo de las ecuaciones que describen el movimiento del péndulo invertido en el apéndice B que se encuentra en el siguiente link. La nomenclatura y los valores numéricos de los parámetros se encuentran en el apéndice A del link anterior, o al final de esta guía. Se asume: La masa de la varilla está concentrada en un solo punto ubicado en su centro de gravedad. 4

5 Se desprecia: El efecto de fricción no lineal sobre el carro. La fuerza ejercida sobre el carro por el péndulo. Las fricciones viscosas. 7.2 Teniendo en cuenta el objetivo de control, escoja un punto de operación para el sistema. 7.3 Obtenga un modelo en espacio de estados Nota 1: Tome como entrada al sistema la fuerza Fc, aplicada por el carro (movido por motor DC). Nota 2: Después de haber hallado las ecuaciones de estado, reemplace la fuerza de entrada Fc en función del voltaje suministrado al motor. 7.4 Linealice las ecuaciones obtenidas en Evalúe controlabilidad y observabilidad del sistema obtenido. 7.6 Implemente en Simulink los modelos lineal y no lineal del sistema. Nota: En un mismo archivo deben estar el modelo lineal y el No lineal 7.7 Compare la respuesta paso de los dos modelos (en malla abierta), y dé un valor aproximado del rango de valores de alfa para el cual sea válido el modelo lineal. 7.8 Usando el método de ubicación de polos, diseñe un controlador que cumpla con los siguientes requerimientos: Sobrepico máximo 10%. Tiempo de asentamiento máximo de 3.4 s. El voltaje aplicado al motor no debe exceder +/- 15 V para una señal de referencia tipo paso en x c de 0.03 m de amplitud. 7.9 Teniendo en cuenta el controlador diseñado, realice una simulación de la respuesta paso del sistema en malla cerrada, del modelo lineal y el No lineal 7.10 Diseñe un observador de orden completo para el sistema. Las variables medidas son x c y α. 5

6 7.11 Realice una simulación y grafique la respuesta a entrada paso: Sistema con observador de estados. Modelo no lineal. Prepare con anterioridad a la práctica todos los diagramas de Simulink que se usarán para el trabajo en el laboratorio 8. Procedimiento 8.1 Realice las conexiones entre la fuente de alimentación, el péndulo invertido, y la tarjeta Q4. Nota: Pida al instructor que realice la conexión, ellos tienen más experiencia en este procedimiento. 8.2 Con el motor apagado (desconectado de la fuente), manipule el carro y el péndulo para asegurarse de estar recibiendo correctamente las señales de posición y ángulo. 8.3 Imponga una referencia fija en cero para la posición del carro y conecte el motor. Tenga presente que el sistema debe iniciarse con el péndulo en posición perfectamente vertical (alfa=0). Configure la medición en Simulink para que la medida inicial de ángulo corresponda con lo anterior 8.4 Una vez que el sistema pueda mantener en equilibrio el péndulo, pertúrbelo empujando suavemente la varilla. Observe las señales correspondientes al vector de estado del sistema, así como la señal de control. 8.5 Establezca como referencia una señal cuadrada: Ciclo útil de 50%. Amplitud = 3 Periodo de 6 segundos. 8.6 Verifique que se satisfagan las especificaciones de desempeño del sistema de acuerdo a las preguntas previas. De ser necesario realice modificaciones al diseño del controlador. 9. Análisis de resultados Realice un informe en formato de artículo IEEE, en el que incluya una breve explicación de los experimentos realizados, el análisis de resultados, así como el trabajo previo y la solución a las preguntas realizadas en la práctica y problemas obtenidos. 6

7 9.1 Compare la respuesta del diseño teórico y simulaciones con los resultados prácticos. Cuáles son, en porcentaje, las diferencias obtenidas? 9.2 Dé ejemplos prácticos donde resulta útil el uso de estimadores de estado. ANEXO Ecuaciones de estado que definen el sistema: ( ) ( ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ))) (( ) ( ( ))) ( ) (( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))) (( ) ( ( ))) Parametro Valor Significado Masa del pendulo Longitud del Pendulo (Pivote al centro de gravedad) Longitud total Masa del carro IP Constante gravitacional 7.88e-3 Momento de inercia Coeficiente de friccion viscosa 5.4 Coeficiente de friccion viscosa 10. Bibliografía Bay, John S. Fundamentals of linear state space systems, B19, Ogata, Katsuhiko. Modern control engineering 5th ed O41I, Smith, Carlos A. Principles and practice of automatic process control 2nd ed., S54, 1997 Quanser Engineering. IP01 and IP02 User Manual Quanser Engineering. IP01 and IP02 - Single Inverted Pendulum User Manual. 7