1 Problemas Resueltos

Transcripción

1 1) Con la intención de plantear mejoras en un sistema de control de composición, se realizaron experiencias sobre el sistema a lazo abierto y se obtuvo su respuesta frecuencial, la cual se muestra en la Fig A partir dicho diagrama, usted debe contestar lo siguiente: Figura 1.1: Diagrama de Bode a) Haga la identicación de la función correspondiente al Diagrama de Bode de la Fig. 1.1 (Calculando completamente los parámetros de la Función de Transferencia) b) ¾Es estable el sistema a lazo cerrado?, ¾Porqué? c) Añada a la ganancia a lazo abierto un valor K 1 (especique dicho valor de K 1 ), tal que se logre el mejor margen de fase sin sacricar la rapidez de la respuesta a lazo cerrado. d) A partir del Diagrama de Bode, compare el error ante el escalón unitario para el valor original de la ganancia y para K 1 y discuta, razonadamente, el efecto que tuvo en la respuesta transitoria y permanente del sistema a lazo cerrado el añadir dicha ganancia K 1. e) Finalmente, con la intención de provocar una mejora radical en respuesta permanente, añada un polo en el origen y modique el diagrama de bode de la Fig A partir de allí, analice el efecto 1

2 de dicho polo sobre la respuesta transitoria a lazo cerrado y sobre el margen de fase y el margen de ganancia. Solución a) Al observar el diagrama de de bode del proceso es posible llegar a las siguientes conclusiones, a partir de las cuales se aproximará la forma de la función de transferencia a indenticar. La amplitud del proceso a baja frecuencia no tiene pendiente y la fase tiende a cero, por lo que se puede concluir que el proceso es de tipo 0 y que la ganancia puede calcularse como el 20log (K) = 48 db, pues a ese valor tiende la amplitud a baja frecuencia. A alta frecuencia la pendiente tiende a 40 db dc que la diferencia entre ceros y polos es de dos. y la fase tiende a 180o, por lo que se concluye Cuando la frecuencia comienza a aumentar la pendiente cae con una pendiante aproximada de 40 db dc y la fase, que se hace más negativa, tiende a los 180o. Ambos diagramas indican que lo primero que ocurre son dos polos. Luego, al seguir incrementándose la frecuencia la fase presenta un ligero aumento para nalmente decaer hacia los 180 o. De allí se puede concluir que primero aparece un cero y luego el último polo. Una vez realizado el análisis anterior se puede concluir que la forma de la función de transferencia a identicar podría ser cualquiera de las mostradas en las Ecs 1.1, 1.2 y 1.3. K (T 2 s + 1) (T 1 s + 1) 2 (T 3 s + 1) (1.1) K (T 3 s + 1) (T 1 s + 1) (T 3 s + 1) (T 4 s + 1) (1.2) K (T 1 s + 1) [ ( ) 2 ( ) ] s ω n + 2ξs ω n + 1 (T 2 s + 1) (1.3) La escogencia denitiva de la función de transferencia dependerá de la aproximación asintótica que se pueda realizar sobre el diagrama de amplitud, la cual se muestra en la Fig

3 Figura 1.2: Aproximaciones Asintóticas Se puede observar en dicha que es posible aproximar a la función de transferencia presentada en la Ec. 1.1 y que los valores de las constantes de tiempo se obtienen del cruce de las asintotas, quedando aproximada la función de transferencia del proceso tal como se muestra en la Ec ( ) s + 1 ( ) 2 ( ) (1.4) 1 0,8 s s + 1 b) Para concluir respecto a la estabilidad a lazo cerrado se deben obtener tanto el margen de fase como el de ganancia, los cuales vienen a ser MF = 40 o y MG =, ambos positivos, y pueden observarse en la Fig El margen de ganancia no se destaca pues el diagrama de fase corta los 180 o en el innito y allí el valor de la amplitud será db lo que implica un margen de ganancia positivo e innito. A partir de lo destacado anteriormente se concluye que el sistema a lazo cerrado es estable pues tanto su margen de fase como de ganancia son ambos positivos. c) Por inspección en el diagrama de bode se observa en la Fig. 1.4 que, para la frecuencia en la cual la fase muestra un pico máximo, se podría obtener el máximo margen de fase sin afectar la rapidez del sistema a lazo cerrado pues no se disminuiría el ancho de banda en comparación con el sistema original. 3

4 Figura 1.3: Margen de Fase y de Ganancia Figura 1.4: Margen de Fase Máximo Para ello es necesario añadir una ganancia que se calcula obteniendo del mismo diagrama la cantidad en db que hay que subir el diagrama de fase de forma tal que para dicha frecuencia el diagrama de amplitud corte los 0 db. En este caso el cálculo de ganancia se realiza como sigue. 20lgK 1 = 18dB K 1 = 8 d) El error ante el escalón unitario es nito y se calcula en función de la ganancia del sistema a lazo abierto, es por ello que al añadir una ganancia K 1 mayor que uno el error del sistema disminuirá, por lo que la respuesta permanente se ve beneciada al añadir la ganancia en cuestión. 4

5 En cuánto a la respuesta transitoria, al añadir la ganancia el ancho de banda aumenta provocando una mejora en la rapidez de la respuesta. e) Al añadir un polo en el origen el diagrama de bode del sistema se ve modicado, lo cual se muestra en la Fig. 1.5 y se realiza a partir de las aproximaciones asintóticas que se mostraron en la Fig Figura 1.5: Modicación del Diagrama de Bode (Polo en el Origen) El nuevo sistema modicado será inestable pues, tanto su margen de fase como de ganancia son negativos, por lo cual sus respuestas transitoria y permanente serán malas en comparación con el sistema original. 2) Para un sistema de fase mínima, cuyo Diagrama de Nyquist Simplicado es el que se muestra en la Fig. 1.6, se desea que realice lo siguiente: a) Diga ¾Cómo será la forma de la función de transferencia que generó dicho Diagrama? Razone su respuesta. b) Complete el Diagrama de Nyquist, detallando cada uno de los pasos del Diagrama. c) Utilice, razonadamente, el Criterio de Nyquist para concluir respecto a la estabilidad del sistema a lazo cerrado. Diga si dicha estabilidad depende o no de la ganancia del sistema a lazo abierto. Razone su respuesta. 5

6 Figura 1.6: Diagrama de Nyquist Simplicado Solución a) Como se puede observar del Diagrama de Nyquist Simplicado a baja frecuencia la fase tiende a 270 o, lo cual quiere decir que existen tres polos en el origen ( 90 o por cada polo). Adicionalmente, a alta frecuencia la fase tiende a 90 o, lo que indica que la diferencia entre polos y ceros es uno, es decir, habrá un polo más que ceros. Finalmente, desde el momento en que la frecuencia comienza a aumentar y hasta que tiende a, la fase se hace cada vez menos negativa, o lo que es lo mismo, aumenta monótonamente, lo que indica que no existen más polos que hagan decrecer a la misma. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores la forma de la función de transferencia podrá ser igual a la mostrada en la Ec K (T 1s + 1) (T 2 s + 1) s 3 (1.5) Cabe destacar que los ceros podrían ocurrir simultáneamente, pero la información proveniente del nyquist no es suciente para determinar si los ceros son diferentes o no. b) Para realizar el diagrama de Nyquist completo es necesario realizar la transformación de los todos los tramos del semiplano derecho del plano s, o contorno en el plano s (Γ s ). Como existen polos en el origen el Γ s tiene cuatro tramos a transformar, dos de los cuales corresponden al nyquist simplicado y a su simétrico, en tanto que las otras dos transformaciones se realizan a continuación. Tramo II Este tramo corresponde con la porción del entorno para el cual s = σe θj, por lo que se realiza la transformación sustituyendo, en la función de transformación (G(s)), s = σe θj y estableciendo σ y 90 o θ 90 o. ( ) ( ) ( lím G σe θj) = lím K T 1 σe θj + 1 T 2 σe θj + 1 σ σ σ 3 e 3θj = K σ e θj 6

7 De allí que la transformación del tramo II corresponderá con un círculo cuyo radio tiende a cero (origen) y su ángulo varía tal como se muestra a continuación. K σ 0 90o φ 90 o Como se puede observar la transformación del tramo I (nyquist simplicado) termina con un ángulo φ = 90 o y la transformación del segundo comienza con el mismo ángulo. Esto debe ser así pues la transformación debe resultar en un contorno continuo en el plano F (s). Esta trasformación termina con un ángulo φ = 90 o y continua con la transformación del tramo III (simétrica a la del tramo I), la cual comienza con el mismo ángulo y termina con un ángulo φ = 90 o. Tramo IV Este último tramo se representa sustituyendo, en la función de transformación (G(s)), s = εe θj estableciendo ε 0 y 90 o θ 90 o. y ( ) ( ) ( lím G εe θj) = lím K T 1 εe θj + 1 T 2 εe θj + 1 ε 0 ε 0 ε 3 e 3θj = K ε e 3θj A partir de allí se concluye que la tranformación es un círculo de radio innito y su ángulo varía tal como se muestra. K ε 270o φ 270 o Es importante resaltar que el ángulo φ varía entre esos extremos pero dá tres medias vueltas. El diagrama de nyquist completo se puede observar en sus dos versiones en las Figs. 1.7 (a) y (b) cuya diferencia depende del valor de la ganancia del lazo abierto 7

8 (a) Ganancia Alta (b) Ganancia Baja Figura 1.7: Diagrama de Nyquist Completo c) A partir de los diagramas mostrados se puede observar que dependiendo del valor de la ganancia se encierra o no el punto ( 1, 0), lo cual determina la estabilidad del sistema a lazo cerrado. Como la función de trasferencia de lazo abierto no tiene polos encerrados en el semiplano derecho (Γ s ) entonces P = 0, por lo que para que el sistema a lazo cerrado sea estable el Diagrama de Nyquist no debe encerrar el punto ( 1, 0). Es por ello que, en este caso, la estabilidad depende de la ganancia pues para el caso mostrado en la Fig. 1.7 (a) no hay encierros, pero si la ganancia se reduce se tendrá un encierro al punto ( 1, 0) como se ve en la Fig. 1.7 (b). 3) Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto es la que se muestra en la Ec. 1.6 se desea que usted realice lo siguiente: a) Determine si el sistema a lazo cerrado es estable, utilizando para ello el criterio de estabilidad de nyquist. Especique si la misma depende del valor de la ganancia, razone su respuesta. K (T 4 s + 1) (T 1 s + 1) (T 2 s + 1) (T 3 s + 1) (1.6) donde todas las constantes de tiempo son positivas y cumplen con la relación T 4 > T 3 > T 2 > T 1 b) Si la relación entre las constantes de tiempo fuese inversa, es decir, T 1 > T 2 > T 3 > T 4, ¾se modicará la conclusión que obtuvo en la parte? a). De ser así, analice a la estabilidad del sistema y su dependencia con la ganancia, razone su respuesta. Solución a) Como todas las constantes de tiempo son positivas el sistema es de fase mínima, por lo que no es necesario realizar el diagrama de nyquist completo para concluir respecto a la estabilidad. Es por ello que solamente se realiza el diagrama simplicado (diagrama polar) como se muestra en la Fig

9 Figura 1.8: Diagrama de Nyquist Simplicado b) Si cambiará la ocurrencia de los polos y el cero se modicaría el diagrama anterior, quedando tal como se muestra en la Fig Figura 1.9: Modicación del Diagrama de Nyquist Simplicado En este caso el diagrama de nyquist simplicado encerrará al punto ( 1, 0) dependiendo del valor de la ganancia, por lo que el sistema a lazo cerrado será estable para valores bajos de ganancia e inestable para valores altos ganancia. Así mismo, presentará un valor de ganancia crítica para la cual el sistema será críticamente estable. 9