Lectura 2: Diseño de Sistemas de Control mediante la Respuesta de Frecuencia

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1 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN Lectura 2: Diseño de Sistemas de ontrol mediante la Respuesta de Frecuencia Lecturas recomendadas ap., pags , Sistemas de ontrol Automático, KUO Benjamín, Séptima Edición. ap. 9, pags , Ingeniería de ontrol Moderna, OGAA Katsuhiko, ercera Edición. 2 Enfoque de la Respuesta de Frecuencia Es importante señalar que, en el diseño de un sistema de control, por lo general lo más importante es el desempeño de la respuesta transitoria. En el enfoque de la respuesta en frecuencia, especificamos el desempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta. Es decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, que ofrecen una estimación a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema, la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda, que ofrecen una estimación a grandes rasgos de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantes de error estático, que aportan la precisión en estado estable. Aunque la correlación entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia es indirecta, las especificaciones en el dominio de la frecuencia se cumplen adecuadamente en el enfoque de las trazas de Bode. Después de diseñar el lazo abierto mediante el método de la respuesta en frecuencia, se determinan los polos y los ceros en lazo cerrado. Deben verificarse las características de la respuesta transitoria para saber si el sistema diseñado satisface los requerimientos en el dominio del tiempo. De no ser así, debe modificarse el compensador y luego repetirse el análisis hasta obtener un resultado satisfactorio. El diseño en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. La gráfica de la respuesta en frecuencia indica en forma clara la manera en la que debe modificarse el sistema, aunque no sea posible hacer una predicción cuantitativa exacta de las características de la respuesta transitoria. Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque de la traza polar y el otro es el enfoque de las trazas de Bode. uando se añade un compensador, la traza polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar una nueva traza polar, esto toma tiempo y, por tanto, no es conveniente. En cambio, agregar las trazas de Bode del compensador a las trazas de Bode originales es muy simple y, por tanto, graficar las trazas de Bode completas es un asunto sencillo. Asimismo, si varía la ganancia en lazo abierto, la curva de magnitud se mueve hacia arriba o hacía abajo sin que se modifique la pendiente de la curva, y la curva de fase no cambia. Por tanto, para propósitos de diseño, es mejor trabajar con las trazas de Bode. En un procedimiento común de las trazas de Bode, primero se ajusta la ganancia en lazo abierto para cumplir el requerimiento sobre la precisión en estado estable. A continuación se grafican las curvas de magnitud y fase en el lazo abierto sin compensar (con la ganancia en lazo abierto recién ajustada). Si no se satisfacen las especificaciones del margen de fase y del margen de ganancia, se determina un compensador conveniente que vuelva a dar forma a la función de transferencia en lazo abierto. Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF

2 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN 3 ompensador o Red de Adelanto En una Red de Adelanto: p > z x p z o j σ z G K K K entonces: < < p s + donde: y se determinan a partir de la deficiencia de ángulo, mientras que determina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto. K se El diagrama POLAR del ompensador de Adelanto, viene dado por: G G ( j) j + j + ; < < donde: limg G ( j) lim ( j) Im { G ( j)} m φ Am radio El ángulo máximo viene dado por: Senφ A + Re{ G ( j)} El valor mínimo de normalmente se toma alrededor de.5, para lo cual el adelanto de fase máximo del ompensador de Adelanto es de 65º. Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 2

3 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO El diagrama de BODE del ompensador de Adelanto, para., z viene dado por: y DAI-EPN p, G ( j) [ db] db 2 [ db] z m p ( j) G φ Am 45 donde: m resulta ser la media geométrica de las frecuencias de esquina: y por lo que:, 2logm 2 2log + 2log m Por otro lado, al añadir el ompensador en Adelanto, éste desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha, disminuyendo el margen de fase, por lo que es necesario adicionar de 5 º a 2 º al ángulo de adelanto de fase φ A. φ A M deseado M original + F F donde: M original 8 + G ( j) F P se visualiza en el diagrama de BODE. Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 3

4 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN Senφ A + Senφ A + Senφ A ambién, la cantidad en la modificación de la curva de magnitud en a la inclusión del término, es:, debido j + j + j j + + 2log log M [ db] La nueva frecuencia del corte (en el diagrama de BODE) sirve para determinar el valor de, esto es: Además: G K K s + K K G ( j) + j + j + + j j Finalmente, diseñar una Red de Adelanto, usando la Respuesta de Frecuencia, es calcular los valores de y, mediante una componente analítica y una componente gráfica. Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante la respuesta de frecuencia. Suponga el siguiente compensador de adelanto: G ( s) K K s + K 2. Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado. 3. on esta ganancia K, trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF. Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 4

5 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN 4. Determine el ángulo de fase φ necesario a agregar al sistema y calcule a partir de la ecuación de φm. 5. Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a 2 log. Esta será la nueva frecuencia. de cruce de ganancia y corresponde a m. 6. Determine las frecuencias de esquina del compensador (/ y /()) y calcule el valor de K. 7. Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio. Ejemplo de diseño R(s) + - G c (s) s 2 ( ) Y(s) Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: K V 2, MF 5º y MG db. Escogiendo una red de adelanto se tiene: Gc ( s) Kc, < < Y haciendo que K K c, se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del valor de K V, obteniendo: 2 2 KV lim sg ( s) lim sk 2K 2 K s ( ) s s s + s ( ) A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de: 2K s 2 ( ) s( ) Bode Diagram Magnitude (db) 5 System: sys Frequency (rad/sec): 6.69 Magnitude (db): Phase (deg) -35 System: sys Phase Margin (deg): 2.8 Delay Margin (sec):.54 At frequency (rad/sec): 4.42 losed Loop Stable? Yes Frequency (rad/sec) Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 5

6 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN A partir de este diagrama se determina que el MF 2,8º y el MG. omo se requiere de un MF de al menos 5º sin alterar el valor de K, la red de adelanto debe contribuir con el ángulo de fase adicional de 42,2º (se han agregado 5º para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia). Entonces de la fórmula de φm se tiene: sin ( ) ( 42,2º ) sin 42,2º, sin 42,2º ( ) Por lo que: 2log 2log 7,69dB y como se observa en el,96 diagrama de magnitud esta ganancia ocurre aproximadamente a la frecuencia de 6,68 rad/s. Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Entonces de la fórmula de m se obtiene: 6,68 rad m 6,68(,96 ) 2.96 y 5, 7 s Y calculando el valor de K K K K 5,92,96 Finalmente el compensador diseñado es 2,96 G c ( s) 5,92 5,7 5 Bode Diagram Sist. sin compensar ompensador Sist. compensado Magnitude (db) -5 - Phase (deg) System: tot Phase Margin (deg): 5.7 Delay Margin (sec):.32 At frequency (rad/sec): 6.68 losed Loop Stable? Yes Frequency (rad/sec) 4 ompensador o Red de Atraso Su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. Es esencialmente un filtro pasabajos. Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 6

7 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN Diagrama de Nyquist Diagrama de Bode (para β y K ) Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante la respuesta de frecuencia. Suponga el siguiente compensador de atraso: G ( s) K K K β βs + 2. Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado. 3. on esta ganancia K, trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF. 4. Si el sistema no compensado no satisface la especificación de MF, encuentre el punto de frecuencia en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto sea igual a -8º más el MF requerido (generalmente se aumentan de 5º a 2º). Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. 5. Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador deben ubicarse mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia (hasta una década por debajo). 6. Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a db en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta atenuación es de 2log( β ). 7. Usando el valor de K y de β se determina el valor de K. Ejemplo de diseño R(s) + - G c (s) s 2 ( ) Y(s) Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: K V 2, MF 5º y MG db. Escogiendo una red de atraso se tiene: Gc ( s) K cβ, β > β Y haciendo que K K c β, se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación del valor de K V, obteniendo: Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 7

8 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN K V lim sg s 2 s 2 βs + s ( s) lim sk 2K 2 K ( ) ( ) s A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de: 2K s 2 ( ) s( ) Bode Diagram Magnitude (db) 5 System: sys Frequency (rad/sec):.572 Magnitude (db): Phase (deg) -35 System: sys Frequency (rad/sec):.57 Phase (deg): -2 System: sys Phase Margin (deg): 2.8 Delay Margin (sec):.54 At frequency (rad/sec): 4.42 losed Loop Stable? Yes Frequency (rad/sec) A partir de este diagrama se determina que el MF 2,8º y el MG. omo se requiere de un MF de al menos 5º sin alterar el valor de K. Por esto se determina la frecuencia en la cual el ángulo de fase sea de -2º para obtener un MF de 6º. Del gráfico de fase se observa que esta frecuencia es de,57 rad/s. Por lo que,57 rad/s será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. A esta frecuencia se tiene una magnitud de 29,6dB, entonces el compensador de atraso deberá cumplir que: 29.6 ( β ) 29.6dB β 3, 2 2 2log omo la frecuencia de esquina / debe estar entre una década y una octava por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que:, y, 33 β Y calculando el valor de K K K β K, 33 3,2, Finalmente el compensador diseñado es G c ( s),33,33 Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 8

9 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN 5 Bode Diagram Sist. no compensado ompensador Sist. compensado Magnitude (db) 5-5 Phase (deg) System: tot Phase Margin (deg): 5.4 Delay Margin (sec):.52 At frequency (rad/sec):.579 losed Loop Stable? Yes Frequency (rad/sec) 5 omparación de las compensaciones de atraso, de adelanto y de atraso-adelanto.. La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de la fase, en tanto que la compensación de atraso logra el resultado a través de su propiedad de atenuación en frecuencias altas. (En algunos problemas de diseño, la compensación de atraso y la compensación de adelanto pueden satisfacer las especificaciones.) 2. La compensación de adelanto suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad. La compensación de adelanto produce una frecuencia de cruce de ganancia más alta que la que puede obtenerse con la compensación de atraso. La frecuencia de cruce de ganancia más alta significa un mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande significa una reducción en el tiempo de asentamiento. El ancho de banda de un sistema con compensación de adelanto siempre es mayor que la de otro con compensación de atraso. Por tanto, si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rápida, debe emplearse la compensación de adelanto. Sin embargo, si hay señales de ruido presentes, tal vez no sea conveniente un ancho de banda grande, dado que éste hace al sistema más susceptible a las señales de ruido, debido al incremento en la ganancia de frecuencia alta. 3. La compensación de adelanto requiere de un incremento adicional en la ganancia a fin de compensar la atenuación inherente a la red de adelanto. Esto significa que la compensación de adelanto requiere de una ganancia mayor que la que requiere la compensación de atraso. Una ganancia mayor casi siempre implica un mayor espacio, mayor peso y un costo más alto. 4. La compensación de atraso reduce la ganancia del sistema en las frecuencias más altas sin reducirla en las frecuencias mas bajas. Dado que el ancho de banda del sistema se reduce, éste responde a una velocidad más lenta. Debido a la Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF 9

10 SISEMAS DE ONROL AUOMÁIO DAI-EPN ganancia reducida en la frecuencia alta, la ganancia total del sistema se incrementa y, por tanto, también se incrementa la ganancia de frecuencia baja y mejora la precisión en estado estable. Asimismo, los ruidos de frecuencia alta implícitos en el sistema se atenúan. 5. Si se desean respuestas rápidas y suficiente precisión estática, se usa un compensador de atraso-adelanto. Éste incrementa la ganancia de frecuencias bajas (lo cual significa un mejoramiento en la precisión en estado estable) y, al mismo tiempo, se incrementa el ancho de banda y los márgenes de estabilidad del sistema. 6. Aunque con los compensadores de adelanto, de atraso o de atraso-adelanto se realiza una mayor cantidad de tareas prácticas de compensación, para los sistemas complicados, una compensación simple mediante estos compensadores tal vez no produzca resultados satisfactorios. En este caso, deben emplearse diferentes compensadores con distintas configuraciones de polos y ceros. La figura siguiente muestra una curva de respuesta escalón unitario y una curva de respuesta rampa unitaria de un sistema no compensado. Las curvas comunes de respuesta escalón unitario y rampa unitaria para el sistema compensado mediante una red de adelanto, de atraso y de atraso-adelanto se observan en las figuras (b), (c) y (d), respectivamente. El sistema con un compensador de adelanto presenta una respuesta más rápida, en tanto que aquél con un compensdor de atraso presenta la respuesta más lenta, pero con un notable mejoramiento en la respuesta rampa unitaria. El sistema con un compensador de atraso-adelanto logra un equilibrio y un mejoramiento razonable tanto en la respuesta transitoria como en la respuesta en estado estable. Las curvas de respuesta mostradas representan la naturaleza de los mejoramientos que se esperan al usar los distintos tipos de compensadores. Lectura : Diseño de Sistemas de ontrol mediante la RF