Tema 5 Estabilidad y Compensación

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1 CIRCUITOS ANALÓGICOS (SEGUNDO CURSO) Tema 5 Estabilidad y Compensación Sebastián López y José Fco. López Instituto Universitario de Microelectrónica Aplicada (IUMA) Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Las Palmas de Gran Canaria Tfno Fax [email protected] LOPEZ Tema 5

2 OBJETIVOS En el tema anterior se examinaron los efectos de la realimentación negativa sobre parámetros del circuito, tales como ganancia o impedancia terminal. En este tema veremos el efecto de la realimentación negativa sobre la respuesta en frecuencia de un circuito. Se ilustrará la posibilidad de oscilación en los circuitos realimentados y se describirán métodos para superar estos problemas mediante compensación del circuito. Una vez acabado el tema, se podrá saber si un sistema es estable o no, y en caso de que esto último ocurra, se tendrá un dominio de distintas técnicas que permitan asegurar la estabilidad. Duración: 7 horas Tema 5 2

3 ÍNDICE. Determinación de la ganancia de lazo Aβ 2. El problema de la estabilidad 2.. El diagrama de Nyquist 3. Efecto de la realimentación en los polos del amplificador 3.. Estabilidad y localización de los polos 3.2. Polos del amplificador realimentado 3.3. Sistemas con un polo 3.4. Sistemas con dos polos 3.5. Sistemas con tres polos 4. Estabilidad usando diagramas de Bode 4.. Margen de ganancia y margen de fase 4.2. Por qué se hace inestable un sistema con realimentación negativa? 4.3. Método alternativo al estudio del diagrama de Bode de Aβ 5. Compensación en frecuencia 5.. Límite de β 5.2. Otros métodos de compensación Teoría Implementación Compensación Miller y separación de polos Tema 5 3

4 FICHA TÉCNICA. Determinación de la ganancia de lazo Aβ Importancia de la ganancia de lazo en sistemas realimentados: Determina si se trata de realimentación positiva o negativa Determina los polos de la función de transferencia F(s)=A(s)/[+A(s)β(s)] Determina si un sistema es estable o no Existe un método alternativo para determinar ganancia de lazo: x s x i A x o x f β Si la fuente externa x s es nula y abrimos la conexión en x o aplicando una señal de test x t : x i A x o x f A β = x o / x t β x t Tema 5 4

5 Si rompemos el lazo en un circuito amplificador práctico, debemos asegurar que las condiciones que existían originalmente no cambian. Esto se consigue añadiendo una impedancia igual a la que había originalmente donde se rompió el lazo. X Z t V t V r X' Z t 2. El problema de la estabilidad La función de transferencia en lazo cerrado viene expresada por: A f ( s) = + A( s) A( s) β ( s) Por lo tanto, la ganancia en lazo A(jw)β(jw) es un número complejo que se puede representar por su maginitud y fase: L( jw) A( jw) β ( jw) = A( jw) β ( jw) exp( jφ( w)) La forma en la que la ganancia de lazo varía con la frecuencia es la que determina la estabilidad o inestabilidad del amplificador realimentado. Tema 5 5

6 2.. El diagrama de Nyquist. El diagrama de Nyquist es un procedimiento que permite determinar la estabilidad. Se trata simplemente de un diagrama polar de la ganancia de lazo usando la frecuencia como parámetro. Im w<0 w=80 w= (-,0) φ Aβ w=0 Re w>0 El diagrama de Nyquist intercepta al eje real negativo en w=80. Si este cruce ocurre a la izquierda del punto (-,0), sabremos que la magnitud de la ganancia de lazo a esta frecuencia es mayor que la unidad y el amplificador será inestable. Si la intercepción se produce a la derecha del punto (-,0), el amplificador será estable. Por lo tanto, si el diagrama de Nyquist encierra al punto (-,0), estaremos frente a un sistema inestable. 3. Efecto de la realimentación en los polos del amplificador La respuesta en frecuencia de un amplificador y su estabilidad se determinan directamente por medio de sus polos. Tema 5 6

7 3.. Estabilidad y localización de los polos Para que un amplificador (o cualquier otro sistema) sea estable, sus polos deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. Un par de polos complejos conjugados en el eje jw da lugar a oscilaciones mantenidas, mientras que polos situados en el semiplano derecho da lugar a oscilaciones crecientes Polos del amplificador realimentado Los polos de un amplificador realimentado son las raíces de +A(s)β(s). Por lo tanto, los polos se obtienen resolviendo la denominada ecuación característica del lazo de realimentación: + A( s) β ( s) = 0 Si suponemos que un amplificador sin realimentar tiene polos reales y ningún cero finito, y que el factor β es independiente de la frecuencia, nos podemos encontrar con distintos casos Sistemas con un polo jw -w p (+Aoβ) -w p σ Ao A( s) = + s / w p Tema 5 7

8 3.4. Sistemas con dos polos jw -w p2 -w p σ A( s) = ( + s / w Ao ) ( + s / w p p2 ) (w p +w p2 )/ Sistemas con tres o más polos jw A( s) = ( + s / w σ p) ( + s / wp2 ) ( + s / wp3) -w p3 -w p2 -w p A o Como norma general, cada polo puede introducir, como máximo, un desfase de 90º (a frecuencia infinita). El peligro de inestabilidad se produce pues cuando se realimentan Tema 5 8

9 amplificadores con tres o más polos. Cuando estas inestabilidades se producen, se debe recurrir a técnicas de compensación para mantener la estabilidad del sistema. 4. Estabilidad usando diagramas de Bode 4.. Margen de ganancia y margen de fase La representación del diagrama de Nyquist para estudiar la estabilidad de un sistema puede implicar cierta complejidad. Por ello, se utiliza como alternativa un diagrama de Bode de A(jw)β(jw). Este diagrama de Bode contiene toda la información del diagrama de Nyquist y es mucho más simple de dibujar. Según Nyquist, un amplificador realimentado es estable si a una frecuencia, w 80, a la cual la fase es de 80º se cumple que A(jw 80 )β(jw 80 ) <. Una representación de este tipo sería: Aβ db 0 w 80 log(w) margen de gananci a Aβ log(w) -90º -80º margen de fase -270º Tema 5 9

10 El margen de ganancia representa la cantidad a la cual la ganancia de lazo Aβ puede ser aumentada mientras se mantenga la estabilidad. Los amplificadores realimentados se suelen diseñar de forma que tengan un margen de ganancia suficiente para asegurar la estabilidad incluso en caso de cambios inevitables de la ganancia de lazo. Otra forma de comprobar la estabilidad es examinando el diagrama de Bode a la frecuencia a la cual Aβ =, que es la frecuencia a la cual el diagrama en magnitud corta al eje de 0dB. Si a esta frecuencia la fase es menor en magnitud de 80º, el amplificador será estable. La diferencia entre la fase a esta frecuencia y la fase a w 80 se denomina margen de fase. Para garantizar una buena respuesta transitoria es conveniente tener un margen de fase superior a 30º. Un margen de ganancia aceptable puede ser 0dB o superior Por qué se hace inestable un sistema con realimentación negativa? Un síntoma de realimentación negativa es el hecho de que Aβ>0. Esto quiere decir que a frecuencias medias, la fase de Aβ debe ser 0º. Si en ese producto Aβ aparecen polos, estos introducen una variación en la fase. Con un solo polo, la fase irá de 0º para w=0 hasta 90º para w=. Con dos polos, hasta -80º para w= y, con tres hasta -270º para w=. En este último caso, debe existir una pulsación w o para la cual la fase de Aβ lo cual significa que para esa pulsación en particular, el producto A(jw o )β(jw o ) es un número real negativo y por lo tanto el amplificador se comportará como si tuviera realimentación positiva. Si además, Tema 5 0

11 as esa frecuencia, la ganancia en módulo es mayor que (0dB), el sistema no se comportará como un oscilador. Para todos aquellos sistemas con tres o más polos, siempre existe alguna pulsación donde la fase de Aβ es ±Aβ Método alternativo al estudio del diagrama de Bode de Aβ Investigar la estabilidad construyendo diagramas de Bode para la ganancia de lazo Aβ puede ser tedioso y ocupar mucho tiempo, especialmente si se pretende estudiar la estabilidad de un mismo amplificador al que se le conectan distintas redes de realimentación. Un método alternativo, mucho más simple, consiste en construir sólo el diagrama de Bode para A(jw). Suponiendo que β es independiente de la frecuencia, podemos plotear 20log(/β) como una línea horizontal en el mismo diagrama que 20log(A). La diferencia entre las dos curvas será: 20 log A( jw) 20 log(/ β ) = 20 log Aβ que es la ganancia de lazo en db. Si quisiéramos evaluar la estabilidad para un factor de realimentación diferente, solo tendríamos que dibujar una nueva línea recta en 20log(/β 2 ). 5. Compensación en frecuencia Cuando un amplificador realimentado se hace inestable, deben ser compensados. Para ello existen varias alternativas. Todas ellas tratan de evitar que cuando la fase de Aβ sea 80º, el Tema 5

12 módulo sea superior a 0dB. En esencia, lo importante es comerse ganancia. La inestabilidad suele ser debida al hecho de que el producto Aβ tiene una ganancia elevada y existe una acumulación de polos próximos. 5.. Límite de β Una forma de controlar la estabilidad puede ser limitando el valor de β. Por ejemplo, para un sistema sin realimentar como el indicado en el siguiente cuadro: Frecuencia Ganancia Fase 0 KHz 80 db 0º 0 MHz 40 db -35º 30 MHz 20 db -80º Si introducimos un circuito de realimentación, para mantener el sistema estable y con respuesta transitoria aceptable, hemos de limitar β de forma que la ganancia total del amplificador realimentado sea siempre mayor que Otros métodos de compensación Vamos a estudiar otros métodos para modificar la función de transferencia en lazo abierto A(s) de un amplificador con tres o más polos de forma que el amplificador en lazo cerrado sea estable para cualquier valor desado de ganancia en lazo cerrado Teoría El método más simple de compensación en frecuencia se denomina método del polo dominante y consiste en introducir un nuevo polo en la función A(s) a una frecuencia muy baja, f D, de Tema 5 2

13 forma que la ganancia en lazo abierto modificada, A (s), intercepte la curva 20log(/β) a una frecuencia a la cual la fase no sobrepase los 80º. Como ejemplo, supongamos que queremos compensar el amplificador A(s) de la siguiente gráfica. db 20 y' z' 80 A'(s) A''(s) A(s) 40 y z º f D f' D f p f p2 f p3 Hz -90º -80º -270º -360º Hz f D f' D f p f p2 f p3 Evidentemente, resulta necesario compensar por cuanto A(w 80 ) >, o lo que es lo mismo, A(w 80 ) >0dB. Supongamos Tema 5 3

14 también que disponemos de una red de realimentación β con ganancia 40dB, lo cual es alto, o lo que es lo mismo, ganancia 0-2. Lo que se suele hacer es dibujar primero la línea 20log(/β)=40dB. Esta línea intercepta a A(s) en un punto en el cual Aβ=0dB o Aβ=, en el cual la fase es superior en magnitud a 80º, por lo que el sistema seguirá siendo inestable. Vamos a añadir un polo a una frecuencia suficientemente baja. Para ello, localizamos el punto Y en la línea de 40dB, el cual está a la frecuencia del polo más bajo. A partir de ahí, dibujamos una línea de pendiente 20dB/dec y determinamos el punto al cual esta línea intercepta a la ganancia en DC (punto Y ). Este punto nos da la frecuencia f D a la cual tenemos que introducir un polo para que el sistema realimentado sea estable, ya que ahora la frecuencia a la cual Aβ=0dB (f P o punto Y), la fase es inferior a 80º, o lo que es lo mismo, a la frecuencia w 80, Aβ es claramente inferior a la unidad y por lo tanto ahora el sistema será inestable. Así pues, ahora tendremos un sistema con 4 polos, f D, f P, f P2 y f P3. Una desventaja de este método de compensación es que a la mayoría de las frecuencias la ganancia se ve drásticamente reducida. La razón se debe al polo localizado en f P. Si de alguna forma pudiéramos eliminar ese polo, podríamos seguir el procedimiento anterior con el polo en f P2 (trazar 20dB/dec a partir del punto Z) y dibujar la línea ZZ. De esta forma obtendríamos la curva A (s) para la ganancia en lazo abierto, la cual tiene una ganancia considerablemente mayor que A (s) y además también es estable si se realimenta con β. Aunque no es posible eliminar el polo en f P, normalmente es posible desplazar el polo de f P a f D. Esto hace que el polo se Tema 5 4

15 convierta en dominante y elimina la necesidad de introducir un polo adicional a baja frecuencia, como se explicará a continuación Implementación Vamos a estudiar cómo implementar el esquema de compensación en frecuencia comentado anteriormente. El circuito amplificador normalmente consiste en un número de etapas de ganancia en cascada, siendo cada etapa la responsable de uno o más polos de la función de transferencia. Mediante un análisis manual o por medio de un ordenador se puede identificar qué etapa introduce cada uno de los polos importantes, f P, f P2 y demás. Supongamos que el primer polo f P se introduce en la interfaz entre las dos etapas diferenciales de la siguiente figura. B B' Q Q2 Q3 Q4 Tema 5 5

16 Un modelo simple en pequeña señal del circuito en esta interfaz es el siguiente: B' I x C x R x B donde I x es la corriente de salida del par Q-Q2, R x es la resistencia total entre B-B y C x es la capacidad total entre B-B. Para este caso, el polo del circuito estará localizado en: f P = 2πC R x x Vamos a conectar ahora un condensador de compensación C C entre los nodos B-B. B' I x R x C x C C B Ahora, el polo introducido estará a una frecuencia menor que nosotros decidiremos según la expresión: f ' D = 2 π ( C x + C C ) R x Tema 5 6

17 A este tipo de compensación se le denomina compensación polocero. Por lo tanto, se puede seleccionar un valor apropiado para C C de forma que se desplace la frecuencia del polo de f P a f D determinada por el punto Z del diagrama de Bode mostrado anteriormente. Hay que tener en cuenta que la adición de C C normalmente produce cambios en la localización de los otros dos polos (f P2 y f P3 ). Una de las mayores desventajas de este método de implementación es que el valor requerido de C C es normalmente muy alto, lo cual imposibilita su inclusión en circuitos integrados por cuanto ocuparía mucha área. Una solución elegante a este problema es conectar la capacidad de compensación en el camino de realimentación de una etapa amplificadora, de forma que con el efecto Miller, la capacidad de compensación se multiplique por la ganancia de la etapa, dando como resultado una capacidad efectiva mucho mayor. Además, tal y como se explica a continuación, se pueden obtener otros beneficios Compensación Miller y separación de polos La siguiente figura muestra una etapa de ganancia en un amplificador multietapa. B C f C Por simplicidad se trata de una etapa EC pero en la práctica puede ser cualquier circuito más complejo. En el camino de realimentación de esta etapa EC hemos añadido una capacidad de compensación C f. Tema 5 7

18 La siguiente figura muestra el circuito equivalente de esta etapa. C f B C V o I i R V π C R 2 C 2 g m V π R y C representan la resistencia y capacidad total entre el nodo B y tierra. R 2 y C 2 representan la resistencia y capacidad total entre el nodo C y tierra. Además, C y C 2 incluyen la componente Miller debido a C μ y C 2 incluye la capacidad de entrada de la siguiente etapa. Finalmente, I i es la señal de corriente de la etapa anterior. Si suponemos que no hay capacidad de compensación, C f, nos encontramos con dos polos: f f P P2 = 2πC R 2 = 2πC R 2 Si ahora tenemos en cuenta C f : w' w' P P2 g m C C R C 2 2 f g R m + C f C f ( C + C 2 ) Tema 5 8

19 Conforme aumenta C f, w P se reduce y w P2 aumenta. A esto se le denomina separación de polos. El aumento de w P2 es beneficioso, ya que mueve al punto Z del diagrama de Bode a una frecuencia aúm mayor. Finalmente, hay que hacer notar que en w P, C f es multiplicado por la ganancia Miller g m R 2, dando como resultado una capacidad mucho mayor, g m R 2 C f. En otras palabras, el valor requerido de C f será mucho menor que el del C C del método anterior. Tema 5 9