Tipos de Compensación

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1 - CONTROL DE PROCESOS (segundo cuatrimestre) - CONTROL AVANZADO y AUTOMATISMO Facultad de Ingeniería UNER Carrera: Bioingeniería Planes de estudios: 993 y 2008 Tipos de Compensación + Gc( Gp( + G ( Gp( H( Gc( H( Compensación en serie Compensación en paralelo o de retroalimenación La elección entre una y otra depende de la naturaleza de las señales del sistema, niveles de potencia en los diversos puntos, los componentes disponibles, la experiencia del diseñador con el sistema, las consideraciones económicas, etc. Tipos de compensadores Atraso o retardo de Fase: Adelanto de Fase: Atraso - Adelanto + G ( ) τ c s Kcβ Kc β > β + βτ + G ( ) τ c s Kcα Kc 0 < α < α + UNER

2 Circuito de un Compensador E ( R2. R4 ( R. C. ) T. o K β c E ( R. R3 ( R2. C2. ) β. T. i R4. C K c R3. C2 R. C < R2. C2 Comp. ATRASO T R. C R. C > R2. C2 Comp. ADELANTO β. T R2. C2 Compensación utilizando Métodos de Respuesta en Frecuencia Compensación en adelanto Se utiliza el compensador en adelanto siguiente + G ( ) τ c s Kcα Kc 0 < α < α + donde alfa es el factor de atenuación y Kc es la ganancia del compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es: jωτ + Gc ( jω ) K cα jω + ω m ( α ) 2 ω 0 α ( + α ) 2 θ m ω UNER 2

3 α El ángulo de fase máximo es: senθm + α El diagrama de Bode del compensador, para τ, α 0. es db º 0º ω El ángulo máximo del compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero: log ω m log + log ωm 2 τ Técnicas de compensación en adelanto ) Suponga el compensador en adelanto + Gc () s Kcα α + defina K K c α El compensador y la planta en lazo abierto quedan + G c () s ) s K) s Determine la ganancia K que satisfaga el requisito de constante estática de error propuesta 2) Dibuje el diagrama de Bode K..H( 3) Determine el ángulo de fase que se necesita agregar al sistema. A ese valor, agréguele de 5º a 2º más (por el desplazamiento de la magnitud). 4) Con el ángulo deseado, determine el factor de atenuación α senθm + α después determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado sea: 20log α UNER 3

4 Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Utilizando esta frecuencia la ecuación ωm se obtiene el valor del cero τ y del polo 5) Con K y α, calcule la constante del compensador K K c α 6)Verifique el margen de ganancia del sistema compensado. Ejemplo: Dado diseñe un compensador en adelanto que haga que el error en estado estable ante una rampa sea de 0,05. Al mismo tiempo, el margen de fase sea mayor a 45. Solución: 7.5 s ( 3) ) Se supone un compensador en adelanto de la forma jωτ + Gc ( Kcα se define K K c α j ω + 2) Se encuentra la ganancia K que junto con el sistema cumplan con la constante de error estático de velocidad. + s7.5k Kv limsgc ( lim K lim 2.5K 20 s 0 s 0α + s 0 s( 3) K 8 3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia K: 60 K s ( 3) UNER 4

5 4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el adelanto de fase que se requiere agregar: M f 2. 9 M f deseado 45 φ M deseado M + 5 m φ m f ) De φmse obtiene α α senθm α α 6) Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar el compensador. Se utiliza: 20log(/ α ) 20 log(/ 0.36) se observa en el diagrama de Bode en qué frecuencia se tiene una magnitud de 20log(/ α ) y se define como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. ω c 9.77 rad / seg. f El máximo aporte de fase del compensador debe ocurrir en wm: ω m ω c 7) Se obtiene el cero y el polo del compensador cero τ c αω 5.88 polo ωc 6.24 α 8) Con α y K se obtiene la ganancia del compensador K 22,3 α y el compensador es K c G c 0,7. 5,88 ( 8* 22,3 0,06. 6,24 UNER 5

6 G c G G c G G G c G G c M f 45. a 9.77rad / seg PARA PENSAR: Cómo diseño un compensador en adelanto si el requisito de diseño es un error estático y el MARGEN de GANANCIA? Ejemplo: Dado diseñe un compensador en adelanto que logre un error de posición (offset) menor al 5% y un margen de ganancia superior a 6[dB]. El Margen de ganancia es el requisito de diseño. 20 ( ).( 5).( 0) Compensación en atraso + G ( ) τ c s Kcβ Kc β > β + βτ el valor del polo es más positivo que el del cero. βτ τ El diagrama polar del compensador en retraso es Im K c K c β ω ω 0 Re UNER 6

7 El diagrama de Bode es el siguiente: β 0 τ K c db º 90º ω El valor más negativo de la fase se encuentra entre las frecuencias asociadas al polo y al cero. Mientras que la magnitud total disminuye en 20 db. Técnicas de compensación en atraso ) Suponga el compensador en atraso + G ( ) τ c s Kcβ Kc β > β + se define K K c β βτ y el sistema compensado es + G c ( K βτ 2) Determine la ganancia K que satisfaga el requisito de constante estática de error propuesta 3) Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la ganancia K calculada en el punto anterior. 4) Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados. Entonces encuentre la frecuencia donde el ángulo de la fase es -80º más el margen de fase requerido, más unos 5 o 2 grados. 5) Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la ganancia. 6) Seleccione la nueva frecuencia de corte del cero (/T) una década mas chica que la nueva frecuencia de cruce de la ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar de la frecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. 7) Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a cero db, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta atenuación se determina el valor de β. db 20logβ UNER 7

8 8) Con el valor de β y el cero, se obtiene la frecuencia de corte del polo βτ 9) Por último se obtiene la ganancia del compensador: K K c β Ejemplo: Compense por atraso el siguiente sistema: 2 s( )( 2) de forma tal que la constante de error estático de velocidad sea de. 5 seg, el margen de fase sea al menos de 40 y el margen de ganancia al menos de 0dB. Solución: ) Se utiliza un compensador en atraso de la forma + Gc ( Kcβ β + se define K K c β 2) Ajustar la ganancia K para que junto al sistema cumpla con las especificaciones de error estático de velocidad. + 2 Kv lim s K lim sk 5 s 0 β + s 0 s( )( 2) K 5 3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia K 0 K s( )( 2) 5 K jω) jω( jω + )( j0.5ω + ) UNER 8

9 3) Diagrama de Bode 4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tiene un margen de fase de -3, por lo que es inestable. Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ángulo de fase de el margen de fase deseado + 2 de margen de seguridad. 80º + 40º + 2º 28º 5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia de corte una década menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En este caso correspondería a 0,05 [rad/seg], pero por cuestiones de diseño, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y se opta por asignar al cero una frecuencia de corte de 0, [rad/seg] 0. τ 6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruce seleccionada ( 0,47 [rad/seg] ) la magnitud pase por 0 [db]. De la gráfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruce seleccionada, la magnitud es de 9.4, se aproxima a 20 [db]: 20 20log β β 0 UNER 9

10 7) Con el valor de β y el valor del cero, se obtiene el polo βτ 00 8) Por último se obtiene la ganancia del compensador: G c K 5 K c β 0 El compensador en atraso queda: 0. ( PARA PENSAR: Cómo diseño un compensador de ATRASO si el requisito de diseño es un error estático y el MARGEN de GANANCIA? Ejemplo: Dado diseñe un compensador de ATRASO que logre un error de posición (offset) menor al 5% y un margen de ganancia superior a 6[dB]. El Margen de ganancia es el requisito de diseño. 20 ( ).( 5).( 0) Ejemplo: Colocar un compensador de ADELANTO en serio con el de atraso recién diseñado para mejorar el Margen de FASE y llevarlo a unos 45º conservando el margen de ganancia y el error de posición anteriores. ESTO ES UN COMPENSADOR DE ATRASO ADELANTO!!!! 20 ( ).( 5).( 0) UNER 0